3.2.2双曲线圆的简单几何性质（讲义，知识点&8大题型&刷好题）高二数学人教A版选择性必修第一册

司 第三章 圆锥曲线的方程 3.2.2 双曲线的简单几何性质 课标要点 1.结合双曲线的标准方程，用代数方法研究双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、实轴、虚轴。 2.理解双曲线渐近线的含义，掌握渐近线方程的写法；理解离心率，知道离心率对双曲线张口大小的影响，熟练运用关系式。 3.能利用双曲线几何性质画出简图，根据条件求双曲线标准方程，运用性质解决相关计算问题。 学习重难点 重点： 1.由双曲线标准方程推导范围、对称性、顶点，理解实轴、虚轴、实半轴、虚半轴的几何意义。 2.渐近线方程的推导与应用，会由双曲线方程写渐近线，由渐近线设双曲线方程。 3.离心率的概念与计算，之间的关系，利用几何性质求双曲线方程。 难点： 1.理解渐近线的本质：双曲线无限接近但永不相交，区分渐近线和双曲线图像的关系。 2.离心率，理解离心率大小对双曲线开口宽窄的影响；灵活对进行转化计算。 2.已知渐近线、离心率等条件求双曲线方程；焦点位置不确定时的分类讨论；含参数双曲线的离心率取值范围问题。 知识点 双曲线的几何性质 1、几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 图形 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 2、双曲线渐近线求法 根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程． 3、对双曲线离心率的理解 在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大． 特别提醒 双曲线是非封闭曲线：由知，当无限增大时，也随之无限增大，即双曲线的各支是向外无限延展的，所以双曲线是非封闭曲线，而椭圆是封闭曲线． 随学随练 1．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）双曲线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 知识点 等轴双曲线与共轭双曲线 1、等轴双曲线的性质 在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有： （1）离心率：等轴双曲线的离心率为：； （2）渐近线：等轴双曲线的渐近线为：；等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°． 2、共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线时一对共轭双曲线．例如，双曲线与是一对共轭双曲线，其性质如下： （1）已对共轭双曲线有相同的渐进线； （2）已对共轭双曲线有相同的焦距； （3）共轭双曲线的渐近线与直线及的四个交点，以及双曲线的四个交点，八点共圆，圆心为坐标原点，半径为（半焦距）； （4）由于，，则，可知共轭双曲线的离心率虽然不同，但离心率的倒数的平方和等于常数1． 随学随练 1．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 知识点 直线与双曲线的位置关系（重点） 1、直线与双曲线的位置关系 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 【注意】直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点． 2、弦长公式：若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 3、中点弦问题 与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解 特别提醒 双曲线的焦点弦的最小值：若交点弦与双曲线的交点在同一支上，则最短弦长是通径，若焦点弦与双曲线的交点在两支上，则最短弦长是 随学随练 1．（25-26高二下·河南·期中）若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 拓展 解决双曲线最值问题的基本方法 与双曲线有关的最值问题具有较强的综合性，涉及数学中多个知识点，如几何、三角函数等，亦与双曲线的定义、方程联系紧密，对思维能力要求比较高．解这类问题常用的方法有如下三种． （1）定义法：利用定义转化为几何问题来处理． （2）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解． （3）代入法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再根据函 数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用的方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等． 活学活用 1．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知双曲线C：（），焦距为，点，分别为双曲线的左右焦点． (1)求双曲线C的标准方程与渐近线方程； (2)过点作斜率为k的直线l，与双曲线C交于M，N两点，是否存在实数k使得？若存在，请求出k的值；若不存在说明理由； (3)点Q为双曲线右支上的动点，求的最小值． 2．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限． (1)若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e； (2)若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的斜率的取值范围． 拓展 双曲线中三角形（四边形）面积 1、三角形面积两类核心公式： ①普通三角形：，为双曲线上两点构成的弦长，为第三个顶点到直线的距离；弦长公式，，联立直线与双曲线，用韦达定理求出，代入． ②顶点含焦点/原点的特殊三角形：若顶点是原点，；若三角形一边轴上，直接以轴上线段为底，用纵坐标（横坐标）差的绝对值为高，省去点到直线距离计算． 2、常用技巧与避坑：设直线优先考虑斜率存在与否，斜率不存在单独验算；求面积最值常转化为函数最值，换元、基本不等式求解；注意坐标差取绝对值，面积恒正；面积表达式计算量大，可整体保留，不单独求根． 随学随练 1．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知双曲线：的渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积. 2．（25-26高二下·湖南郴州·阶段检测）设A，B两点的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为3，记点M的轨迹为W，O为坐标原点． (1)求轨迹W的方程； (2)过点的动直线与W的左、右支交于P，Q两点，且与直线交于点C．过点F作直线，直线与直线，分别交于点D，E． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）若的面积与的面积之比为，求点Q的坐标． 题型 根据双曲线方程研究几何性质 ▌例1 （25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知双曲线方程为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 解题贴士 先将双曲线方程化为标准形式，分清焦点在轴还是轴，确定，由算出；再依次求出范围、对称性、顶点坐标、渐近线方程、离心率；注意区分双曲线与椭圆关系式，双曲线是，椭圆为，避免混淆． ▌对点练1-1 （25-26高二上·天津和平·期末）已知双曲线C的实轴长是虚轴长的倍，则C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． ▌对点练1-2 （25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）关于双曲线，下列结论正确的是（    ） A．实轴长为49 B．焦距为50 C．渐近线的斜率为± D．渐近线的方程为y=±x ▌对点练1-3 （25-26高二上·河北衡水·阶段检测）双曲线与的（    ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．渐近线方程相同 D．焦距相等 题型 根据几何性质求双曲线方程 ▌例2 （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 解题贴士 待定系数法求双曲线的标准方程，通常要先定型（确定焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值）．要特别注意的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混淆． （1）如果确定了双曲线的中点在原点，焦点在轴上，则双曲线方程可设为，然后由条件求． （2）如果明确了双曲线的中心在原点，焦点在轴上，则双曲线可设为，然后由条件求． （3）如果已知双曲线的方程为标准形式，但不知焦点所处的位置，也可把双曲线方程设为求，然后由条件求． （4）在利用上述方法求双曲线标准方程时，根据题设条件得到关于或的二元方程组，然后解方程组求出或，最后写出方程即可． ▌对点练2-1 （25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-2 （25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）与双曲线有相同渐近线，且经过点的双曲线的方程是_________. ▌对点练2-3 （25-26高二上·河南周口·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，若点关于其中一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线的标准方程为___________． 题型 求双曲线离心率的值 ▌例3 （25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知双曲线的一个焦点为，且的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 解题贴士 1、由条件寻找所满足的等式，常用的公式变形为，其中． 2、依据条件列出含的齐次方程，利用转化为含的方程，解方程即可，注意依据对所得解进行取舍． ▌对点练3-1 （25-26高二下·云南昭通·阶段检测）设双曲线（，）的左、右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交于，两点，若，，则的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． ▌对点练3-2 （25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过向一条渐近线作垂线，垂足为.若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D． ▌对点练3-3 （25-26高二上·江苏连云港·期中）已知是双曲线右支上的一点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，延长交于点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型 求双曲线离心率的取值范围 ▌例4 （25-26高二下·浙江·阶段检测）已知点在双曲线：（，）上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______. 解题贴士 求双曲线离心率的取值范围，关键是根据条件得到不等式，并想办法转化为的不等关系，结合和得到关于的不等式，然后求解．在建立不等式求时，经常用到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为． ▌对点练4-1 （25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌对点练4-2 （25-26高二上·江西抚州·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌对点练4-3 （25-26高二上·山东烟台·阶段检测）如图，在等腰梯形中，，E为线段上的一点．以A，B为顶点的双曲线M经过点E，且，则M的离心率取值范围是________． 题型 与双曲线渐近线有关的问题 ▌例5 （24-25高二上·河南郑州·阶段检测）如图，已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线垂直于双曲线C的一条渐近线，并分别交两条渐近线于两点(其中点A为垂足)，且点分别在第二、三象限内.若，则双曲线C的渐近线方程为（    ）    A． B． C． D． 解题贴士 双曲线渐近线；焦点在轴：． 解题思路： 2 已知方程直接写渐近线；已知渐近线，可设双曲线方程简化计算； ②点到渐近线距离、渐近线夹角问题，利用直线距离公式、斜率求角； ③注意渐近线不是双曲线本身，双曲线永远不会和渐近线相交． ▌对点练5-1 （25-26高二上·江西宜春·阶段检测）如图，双曲线：的左焦点为，过原点的直线与交于，两点（点位于第二象限），为的中点，直线为的一条渐近线，且，则直线的方程为________． ▌对点练5-2 （25-26高二上·重庆·期中）已知 、 是双曲线 的左右焦点，点 是其渐近线在第一象限内的一点，直线 与 轴相交于点 ， 是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是 （    ） A． B． C． D． ▌对点练5-3 （2025高二上·重庆·专题练习）已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（    ） A． B． C． D． 题型 直线与双曲线的位置关系 ▌例6 （24-25高二上·广东深圳·阶段检测）已知双曲线，则过点与有且只有一个公共点的直线共有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 解题贴士 1、直线与双曲线的位置关系和直线与椭圆的位置关系有类似的处理方法，但要注意所转化的一元二次方程的二次项系数能否零，此时应巧妙利用分类讨论和数形结合的思想方法． 2、直线与双曲线的交点个数与直线的斜率及双曲线渐近线的斜率有关，相关结论如下： （1）斜率为会且不过原点的直线一定与双曲线恰有一个公共点； （2）斜率绝对值小于的直线一定与双曲线有两个交点，且位于不同的分支； （3）斜率绝对值大于的直线与双曲线的交点个数不能确定，但若有两个交点，则一定位于同一分支． ▌对点练6-1 （24-25高二上·河南南阳·阶段检测）（多选）已知直线：，双曲线：.以下说法正确的是（    ） A．当时，直线与双曲线只有一个公共点 B．直线与双曲线只有一个公共点时，或 C．当或时，直线与双曲线没有公共点 D．当时，直线与双曲线有两个公共点 ▌对点练6-2 （25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌对点练6-3 （25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）如果直线与双曲线的右支有两个公共点，求的取值范围（    ） A． B． C． D． 题型 直线与双曲线的交点及弦长 ▌例7 （25-26高二上·山西太原·阶段检测）若经过双曲线的一个焦点，且垂直于实轴的直线l与双曲线交于A，B两点，则线段AB的长为______. 解题贴士 联立直线与双曲线方程，消元得到一元二次方程；先讨论二次项系数：若二次项系数为0，直线与渐近线平行，仅有一个交点（不是相切）；若为一元二次方程，用判别式判断交点个数（两个交点，相切，无交点）；存在两个交点时，设交点，，韦达定理得，，弦长公式； 注意检验联立后的根是否满足双曲线定义域，区分“一个交点”的两种情况：相切、平行渐近线． ▌对点练7-1 （24-25高二下·湖南长沙·阶段检测）已知双曲线的左，右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则（    ） A．1 B．0 C． D． ▌对点练7-2 （25-26高二上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练7-3 （25-26高二上·辽宁朝阳·期末）已知双曲线的焦点在轴上，中心在坐标原点，虚轴长为4，左、右焦点分别为，过的直线交双曲线于两点且的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程及直线被双曲线截得的弦长． 题型 双曲线的中点弦问题 ▌例8 （25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）直线与双曲线相交于，两点，且线段的中点为，则直线 的方程是_____． 解题贴士 1、直线与双曲线相交，求弦的中点坐标，其方法有两种：（1）将直线方程与双曲线方程联立，整理得到关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系求出中点坐标；（2）应用“点差法”获得中点横坐标的关系式，然后和直线方程联立方程组求解． 2、已知弦中点坐标，求直线方程时，也是上述两种方法，但“点差法”虽然是优解，特点是设而不求，需要解后检验． 3、求平行弦中点轨迹，必须知道该组弦的斜率：求相交弦中点轨迹，必须知道该组弦的交点坐标． ▌对点练8-1 （25-26高二上·湖北·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌对点练8-2 （24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练8-3 （25-26高二下·河南信阳·阶段检测）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 基础通关 1．（25-26高二上·河北衡水·期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知双曲线经过点，则的虚轴长为（    ） A．4 B．2 C． D．2 3．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 4．（25-26高二上·山西·阶段检测）若焦点在轴上的双曲线，其焦距为虚轴长的倍，则下列选项中各点在双曲线的渐近线上的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖北·期末）（多选）下列选项中与双曲线的离心率相同的曲线是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河北·期末）（多选）已知双曲线：，：，：，则（    ） A．与的实轴长相等 B．与的焦点相同 C．与的离心率相等 D．与的焦距相等 8．（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线方程为，则______. 9．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）过点的直线与双曲线相交于两点，若点是线段的中点，则直线的方程为______. 10．（25-26高二下·广东广州·期末）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 素养提升 11．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）双曲线的一弦中点为，则此弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 13．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）过原点的直线与双曲线：交于，两点，点在上，若直线与的斜率之积为，则的离心率为______. 14．（24-25高二下·广西南宁·阶段检测）焦点在轴上的双曲线，它的实轴长为4，虚轴长为.那么过焦点且弦长为4的直线有__________条. 15．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 迁移创新 16．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知双曲线，椭圆上一点（不在的渐近线上），过点分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，分别交渐近线于，两点，且，则（    ） A． B．2 C．4 D．8 17．（25-26高二下·甘肃定西·期末）在双曲线（，）中，把以原点为圆心、实轴长为直径的圆O叫做双曲线C的“伴随圆”，过双曲线C上任意一点P（顶点除外）作“伴随圆”O的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x，y轴上的截距分别为p，q，双曲线C的离心率为2，则（    ） A．4 B． C．3 D． 18．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，与双曲线C的右支交于点P．若，，，为的角平分线，则的值为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 司 第三章 圆锥曲线的方程 3.2.2 双曲线的简单几何性质 课标要点 1.结合双曲线的标准方程，用代数方法研究双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、实轴、虚轴。 2.理解双曲线渐近线的含义，掌握渐近线方程的写法；理解离心率，知道离心率对双曲线张口大小的影响，熟练运用关系式。 3.能利用双曲线几何性质画出简图，根据条件求双曲线标准方程，运用性质解决相关计算问题。 学习重难点 重点： 1.由双曲线标准方程推导范围、对称性、顶点，理解实轴、虚轴、实半轴、虚半轴的几何意义。 2.渐近线方程的推导与应用，会由双曲线方程写渐近线，由渐近线设双曲线方程。 3.离心率的概念与计算，之间的关系，利用几何性质求双曲线方程。 难点： 1.理解渐近线的本质：双曲线无限接近但永不相交，区分渐近线和双曲线图像的关系。 2.离心率，理解离心率大小对双曲线开口宽窄的影响；灵活对进行转化计算。 2.已知渐近线、离心率等条件求双曲线方程；焦点位置不确定时的分类讨论；含参数双曲线的离心率取值范围问题。 知识点 双曲线的几何性质 1、几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 图形 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 2、双曲线渐近线求法 根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程． 3、对双曲线离心率的理解 在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大． 特别提醒 双曲线是非封闭曲线：由知，当无限增大时，也随之无限增大，即双曲线的各支是向外无限延展的，所以双曲线是非封闭曲线，而椭圆是封闭曲线． 随学随练 1．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）双曲线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由双曲线方程，得该双曲线焦点在轴上，实半轴长， 所以双曲线的顶点坐标为.故选：B 2．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】双曲线， 由对称性，不妨取右焦点，其中一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离． 知识点 等轴双曲线与共轭双曲线 1、等轴双曲线的性质 在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有： （1）离心率：等轴双曲线的离心率为：； （2）渐近线：等轴双曲线的渐近线为：；等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°． 2、共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线时一对共轭双曲线．例如，双曲线与是一对共轭双曲线，其性质如下： （1）已对共轭双曲线有相同的渐进线； （2）已对共轭双曲线有相同的焦距； （3）共轭双曲线的渐近线与直线及的四个交点，以及双曲线的四个交点，八点共圆，圆心为坐标原点，半径为（半焦距）； （4）由于，，则，可知共轭双曲线的离心率虽然不同，但离心率的倒数的平方和等于常数1． 随学随练 1．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为， 因为该双曲线过点， 所以，即，故选：B 2．（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设等轴双曲线的方程为， 将点的坐标代入等轴双曲线的方程可得， 因此，该双曲线的方程为.故选：C. 知识点 直线与双曲线的位置关系（重点） 1、直线与双曲线的位置关系 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 【注意】直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点． 2、弦长公式：若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 3、中点弦问题 与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解 特别提醒 双曲线的焦点弦的最小值：若交点弦与双曲线的交点在同一支上，则最短弦长是通径，若焦点弦与双曲线的交点在两支上，则最短弦长是 随学随练 1．（25-26高二下·河南·期中）若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】曲线，即（），表示双曲线的右支，其渐近线方程为， 直线过定点，直线与曲线，如图， 观察图形得，当且仅当时，直线与双曲线的右支只有一个公共点， 所以的取值范围为.故选：B 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】法一：由题意，联立方程可得， 当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意. 所以，直线与双曲线只有一个公共点时，. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图， 根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有 交点. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件.故选：C. 拓展 解决双曲线最值问题的基本方法 与双曲线有关的最值问题具有较强的综合性，涉及数学中多个知识点，如几何、三角函数等，亦与双曲线的定义、方程联系紧密，对思维能力要求比较高．解这类问题常用的方法有如下三种． （1）定义法：利用定义转化为几何问题来处理． （2）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解． （3）代入法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再根据函 数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用的方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等． 活学活用 1．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知双曲线C：（），焦距为，点，分别为双曲线的左右焦点． (1)求双曲线C的标准方程与渐近线方程； (2)过点作斜率为k的直线l，与双曲线C交于M，N两点，是否存在实数k使得？若存在，请求出k的值；若不存在说明理由； (3)点Q为双曲线右支上的动点，求的最小值． 【答案】(1)双曲线C的标准方程为，渐近线方程为；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）由双曲线的焦距为，则， 即双曲线C：，则渐近线方程为； （2）不存在，理由如下： 由题意可得直线的方程为，设、， 联立，消去可得， 则，且， 若，则，即有， 即，则该方程无解，故不存在这样的； （3）由双曲线定义可得，则， 由，故. 2．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限． (1)若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e； (2)若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的斜率的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由双曲线，可得， 因为双曲线C的焦距为，可得，所以， 所以双曲线的离心率为. （2）由双曲线C的一条渐近线方程为，即，可得， 因为，可得，所以双曲线， 当直线的斜率不存在时，根据双曲线的对称性，，不满足， 所以直线的斜率一定存在， 因为，说明三点共线，且都在双曲线的右支上， 所以直线的斜率不为0，且， 设直线的方程为，、，且，， 联立方程组，整理得， 显然，则，可得， 且，， 由，可得，且，所以， 可得， 根据对勾函数的性质知，函数在上单调递减， 可得， 又因为， 所以，可得， 所以直线斜率的取值范围为. 拓展 双曲线中三角形（四边形）面积 1、三角形面积两类核心公式： ①普通三角形：，为双曲线上两点构成的弦长，为第三个顶点到直线的距离；弦长公式，，联立直线与双曲线，用韦达定理求出，代入． ②顶点含焦点/原点的特殊三角形：若顶点是原点，；若三角形一边轴上，直接以轴上线段为底，用纵坐标（横坐标）差的绝对值为高，省去点到直线距离计算． 2、常用技巧与避坑：设直线优先考虑斜率存在与否，斜率不存在单独验算；求面积最值常转化为函数最值，换元、基本不等式求解；注意坐标差取绝对值，面积恒正；面积表达式计算量大，可整体保留，不单独求根． 随学随练 1．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知双曲线：的渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由题可知， ，解得， 则双曲线的方程为：. （2）由题可知，， 因此经过，且斜率为的直线， 联立直线与双曲线，得，得， 设，由韦达定理得：， 则， 代入，， 得， 点到直线的距离， 则， 即的面积为. 2．（25-26高二下·湖南郴州·阶段检测）设A，B两点的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为3，记点M的轨迹为W，O为坐标原点． (1)求轨迹W的方程； (2)过点的动直线与W的左、右支交于P，Q两点，且与直线交于点C．过点F作直线，直线与直线，分别交于点D，E． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）若的面积与的面积之比为，求点Q的坐标． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【解析】（1）设动点为． 则由直线，斜率之积为3，得， 整理可得． 因此轨迹W的方程为． （2）（ⅰ）证明：设直线的方程为，，，则． 由得，． 故， 直线的方程为，直线的方程为， 由解得． 同理解得． 故， 因此．即点F是线段的中点， 因此为定值． （ⅱ）方法一：不妨假设点P在第二象限，点Q在第一象限， 此时，，得． 由题意（*）． 由（ⅰ）得，． 代入（*）化简得， 得，即， 解得或（舍去）， 因此，代入双曲线方程得． 由对称性可得当点Q在第四象限时，，． 因此点Q的坐标为． 方法二：由题意， 利用结合，可得． 不妨设，则， 得，， 得． 因此，得．解得（负值舍去）． 故，因此，代入双曲线方程得， 因此点Q的坐标为． 方法三：不妨设，，． 因为利用结合，得， 由，得， 化简得，解得． 因此． 故，因此，代入双曲线方程得， 因此点Q的坐标为． 题型 根据双曲线方程研究几何性质 ▌例1 （25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知双曲线方程为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得， 所以双曲线，焦点在轴上， 则双曲线的渐近线方程为. 解题贴士 先将双曲线方程化为标准形式，分清焦点在轴还是轴，确定，由算出；再依次求出范围、对称性、顶点坐标、渐近线方程、离心率；注意区分双曲线与椭圆关系式，双曲线是，椭圆为，避免混淆． ▌对点练1-1 （25-26高二上·天津和平·期末）已知双曲线C的实轴长是虚轴长的倍，则C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据实轴长与虚轴长的关系得出，再应用计算求解. 【解析】因为双曲线C的实轴长是虚轴长的倍， 所以，所以，则C的离心率为.故选：B. ▌对点练1-2 （25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）关于双曲线，下列结论正确的是（    ） A．实轴长为49 B．焦距为50 C．渐近线的斜率为± D．渐近线的方程为y=±x 【答案】BD 【解析】由双曲线，可得， 所以，则， 对于A，双曲线的实轴长为，所以A不正确； 对于B，双曲线的焦距为，所以B正确； 对于C，双曲线的渐近线的斜率为，所以C不正确； 对于D，双曲线的渐近线方程为，所以D正确.故选：BD. ▌对点练1-3 （25-26高二上·河北衡水·阶段检测）双曲线与的（    ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．渐近线方程相同 D．焦距相等 【答案】C 【解析】对于双曲线的实轴长为4，虚轴长为， 焦距为，渐近线方程为； 对于双曲线，当时，实轴长为， 虚轴长为，焦距为，渐近线方程为； 当时，实轴长为，虚轴长为， 渐近线方程为，焦距为.故选：C 题型 根据几何性质求双曲线方程 ▌例2 （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】当双曲线的焦点在轴上时，方程为， ∵渐近线方程为，实轴长为4， ∴且，解得，∴的方程为． 当双曲线的焦点在轴上时，方程为， ∵渐近线方程为，实轴长为4， ∴且，解得，∴的方程为． 综上，的方程为或．故选：C． 解题贴士 待定系数法求双曲线的标准方程，通常要先定型（确定焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值）．要特别注意的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混淆． （1）如果确定了双曲线的中点在原点，焦点在轴上，则双曲线方程可设为，然后由条件求． （2）如果明确了双曲线的中心在原点，焦点在轴上，则双曲线可设为，然后由条件求． （3）如果已知双曲线的方程为标准形式，但不知焦点所处的位置，也可把双曲线方程设为求，然后由条件求． （4）在利用上述方法求双曲线标准方程时，根据题设条件得到关于或的二元方程组，然后解方程组求出或，最后写出方程即可． ▌对点练2-1 （25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线方程为（）， 所以渐近线方程为，即. 因为焦点到一条渐近线的距离为1 ，则有， 化简解得，又离心率，所以. 所以双曲线的标准方程为.故选：D. ▌对点练2-2 （25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）与双曲线有相同渐近线，且经过点的双曲线的方程是_________. 【答案】 【解析】设双曲线方程为， 将点代入得，得， 故双曲线方程为. ▌对点练2-3 （25-26高二上·河南周口·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，若点关于其中一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线的标准方程为___________． 【答案】 【解析】设双曲线的标准方程为：，如图， 设关于渐近线的对称点为，且点在渐近线上， 连接，与渐近线交于点，则点为线段的中点， ，（其中点为坐标原点）， 再由两渐近线关于轴对称可得：， 即，又， 所以，即渐近线的倾斜角为，， 又因，联立解得， 所以双曲线的标准方程为：． 题型 求双曲线离心率的值 ▌例3 （25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知双曲线的一个焦点为，且的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】由的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点）， 则渐近线的斜率为， 所以双曲线的离心率为. 解题贴士 1、由条件寻找所满足的等式，常用的公式变形为，其中． 2、依据条件列出含的齐次方程，利用转化为含的方程，解方程即可，注意依据对所得解进行取舍． ▌对点练3-1 （25-26高二下·云南昭通·阶段检测）设双曲线（，）的左、右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交于，两点，若，，则的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，如图1， 将代入，得，即，故，， 又，得，解得， 代入得，故，即，所以． ▌对点练3-2 （25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过向一条渐近线作垂线，垂足为.若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【解析】双曲线的一条渐近线方程为，过且与该渐近线垂直的直线方程为， 联立两直线方程可得点坐标为. 因为，所以的面积为. 由，得，所以双曲线的离心率为. ▌对点练3-3 （25-26高二上·江苏连云港·期中）已知是双曲线右支上的一点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，延长交于点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以，所以四边形为矩形， 设，因为，则， 由双曲线的定义可得：，则，， 又因为为直角三角形，所以， 所以，解得， 所以， 又因为为直角三角形，， 所以，即， 所以，即.故选：D. 题型 求双曲线离心率的取值范围 ▌例4 （25-26高二下·浙江·阶段检测）已知点在双曲线：（，）上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______. 【答案】 【解析】双曲线：（，）的两条渐近线的方程为和， 点到两条渐近线的距离之积为， 而恒成立，又因为的最小值为， 故只需，又点满足双曲线的方程， ，，即， 则的离心率，. 解题贴士 求双曲线离心率的取值范围，关键是根据条件得到不等式，并想办法转化为的不等关系，结合和得到关于的不等式，然后求解．在建立不等式求时，经常用到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为． ▌对点练4-1 （25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据双曲线的定义，有， 两式相加得， 又，所以， 又，所以， 当轴时最小，此时， 所以，又， 则，整理得， 又，两边除以得，解得， 又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是.故选：D ▌对点练4-2 （25-26高二上·江西抚州·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设与轴交点为，连接， 由对称性可知， 又因为，所以，所以， 又因为，所以， 在中，，所以，所以， 由，且三角形内角和为， 所以， 所以，即，则， 综上：.故选：. ▌对点练4-3 （25-26高二上·山东烟台·阶段检测）如图，在等腰梯形中，，E为线段上的一点．以A，B为顶点的双曲线M经过点E，且，则M的离心率取值范围是________． 【答案】 【解析】以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 设双曲线，， 则， 所以，则，代入的方程， 得，即， 所以， 所以在单调递减， 所以，所以， 题型 与双曲线渐近线有关的问题 ▌例5 （24-25高二上·河南郑州·阶段检测）如图，已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线垂直于双曲线C的一条渐近线，并分别交两条渐近线于两点(其中点A为垂足)，且点分别在第二、三象限内.若，则双曲线C的渐近线方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】双曲线：（，），右焦点，渐近线方程为. 将渐近线方程化为一般式为，， 由点到直线距离公式可知，所以， 根据题意，则， 设，由双曲线对称性可知， 而，， 由正切二倍角公式可知， 即，化简可得，即， 所以双曲线C的渐近线方程为，故选：B. 解题贴士 双曲线渐近线；焦点在轴：． 解题思路： 2 已知方程直接写渐近线；已知渐近线，可设双曲线方程简化计算； ②点到渐近线距离、渐近线夹角问题，利用直线距离公式、斜率求角； ③注意渐近线不是双曲线本身，双曲线永远不会和渐近线相交． ▌对点练5-1 （25-26高二上·江西宜春·阶段检测）如图，双曲线：的左焦点为，过原点的直线与交于，两点（点位于第二象限），为的中点，直线为的一条渐近线，且，则直线的方程为________． 【答案】 【解析】设的右焦点为，连接，. 因为，分别是，的中点，所以． 又直线是的一条渐近线，所以，故． 由双曲线的对称性，得． 由，得． 又，所以，． 在中，由余弦定理得，整理得， 所以，，所以直线的方程为． ▌对点练5-2 （25-26高二上·重庆·期中）已知 、 是双曲线 的左右焦点，点 是其渐近线在第一象限内的一点，直线 与 轴相交于点 ， 是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】双曲线的焦点在轴上， 左右焦点为，（其中，）， 因为，故， 由双曲线的对称性可得，故， 故，故，而在第一象限的渐近线上，故， 而，故，故， 因此最终渐近线方程为：.故选：B. ▌对点练5-3 （2025高二上·重庆·专题练习）已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 设半焦距为c，延长交于点N，由于PM是的平分线，， 所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中点. 根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点， 所以MO是的中位线，所以， 又双曲线的离心率为，所以，，所以双曲线C的方程为. 所以，，双曲线C的渐近线方程为， 设，T到两渐近线的距离之和为S，则， 由，即， 又T在上，则，即，解得，， 由，故，即距离之和为.故选：A. 题型 直线与双曲线的位置关系 ▌例6 （24-25高二上·广东深圳·阶段检测）已知双曲线，则过点与有且只有一个公共点的直线共有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】C 【解析】分析条件可得：点在双曲线的渐近线上，且位于第一象限， 和双曲线的右顶点有相同横坐标，如图： 所以过且与双曲线有且只有一个公共点的直线只有两条： 一条是切线：，一条是过点且与另一条渐近线平行的直线.故选：C 解题贴士 1、直线与双曲线的位置关系和直线与椭圆的位置关系有类似的处理方法，但要注意所转化的一元二次方程的二次项系数能否零，此时应巧妙利用分类讨论和数形结合的思想方法． 2、直线与双曲线的交点个数与直线的斜率及双曲线渐近线的斜率有关，相关结论如下： （1）斜率为会且不过原点的直线一定与双曲线恰有一个公共点； （2）斜率绝对值小于的直线一定与双曲线有两个交点，且位于不同的分支； （3）斜率绝对值大于的直线与双曲线的交点个数不能确定，但若有两个交点，则一定位于同一分支． ▌对点练6-1 （24-25高二上·河南南阳·阶段检测）（多选）已知直线：，双曲线：.以下说法正确的是（    ） A．当时，直线与双曲线只有一个公共点 B．直线与双曲线只有一个公共点时，或 C．当或时，直线与双曲线没有公共点 D．当时，直线与双曲线有两个公共点 【答案】AC 【解析】由直线方程知，直线过，双曲线的渐近线为，所以时一个交点， 联立直线与双曲线，得，则， 当，即时直线与双曲线相切， 当，即或时没有公共点， 当且，即或或时两个公共点. 所以A、C对，B、D错.故选：AC ▌对点练6-2 （25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立方程，消去后整理为， 当时，或， 当时，，，，直线与双曲线只有1个交点， 当时，，，，直线与双曲线只有1个交点， 所以不满足条件； 当时，有，可得或.故选：B ▌对点练6-3 （25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）如果直线与双曲线的右支有两个公共点，求的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将直线代入到双曲线中消得：， 若直线与双曲线右支相切时，，则（负值舍）， 由的渐近线为，则时直线与双曲线右支有一个交点，如下图示， 要使直线与双曲线的右支有两个公共点，由图知.故选： 题型 直线与双曲线的交点及弦长 ▌例7 （25-26高二上·山西太原·阶段检测）若经过双曲线的一个焦点，且垂直于实轴的直线l与双曲线交于A，B两点，则线段AB的长为______. 【答案】4 【解析】双曲线的，，， 可得一个焦点为，直线， 代入双曲线的方程可得，解得， 则，故答案为：4． 解题贴士 联立直线与双曲线方程，消元得到一元二次方程；先讨论二次项系数：若二次项系数为0，直线与渐近线平行，仅有一个交点（不是相切）；若为一元二次方程，用判别式判断交点个数（两个交点，相切，无交点）；存在两个交点时，设交点，，韦达定理得，，弦长公式； 注意检验联立后的根是否满足双曲线定义域，区分“一个交点”的两种情况：相切、平行渐近线． ▌对点练7-1 （24-25高二下·湖南长沙·阶段检测）已知双曲线的左，右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 联立，可得或， 因为点是直线与双曲线的右支交点，所以. ， 所以.故选：C ▌对点练7-2 （25-26高二上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，， 所以，，所以，，， 所以双曲线的方程为， 因为，直线过点且倾斜角为， 则直线的斜率， 所以直线l的方程为， 与双曲线的方程联立，消去，整理得，解得，， 所以．故选：D． ▌对点练7-3 （25-26高二上·辽宁朝阳·期末）已知双曲线的焦点在轴上，中心在坐标原点，虚轴长为4，左、右焦点分别为，过的直线交双曲线于两点且的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程及直线被双曲线截得的弦长． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题设双曲线， 因为，所以，直线的方程为， 联立方程解得， 故， 又因为， 所以， 所以，则， 而． 所以双曲线C的标准方程为； （2）如图所示： 法一：因为过点的直线与双曲线相交于两点，直线斜率为， 1）当不存在时，直线的方程，显然不是中点（舍）， 2）当存在时，设直线的方程为，即， 联立方程得①， 设，则， 因为为中点，所以，，解得， 故直线的方程为，即， 将代入①，得， 则， ， 故直线的方程为，弦长， 法二：因为过点的直线与双曲线相交于两点， 为线段的中点可知，直线的方程不是， 设，直线的斜率为， 由，得， 所以， 因为为中点，则 即， 直线的方程为，即， 联立方程，得， 则， ， 故直线的方程为，弦长. 题型 双曲线的中点弦问题 ▌例8 （25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）直线与双曲线相交于，两点，且线段的中点为，则直线 的方程是_____． 【答案】 【解析】设，则有，两式相减，可得， 为线段的中点，故有， 即，若，则，即两点重合，不满足题意， 故，因此可得直线的斜率为， 又因为直线过， 故直线，整理得。 解题贴士 1、直线与双曲线相交，求弦的中点坐标，其方法有两种：（1）将直线方程与双曲线方程联立，整理得到关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系求出中点坐标；（2）应用“点差法”获得中点横坐标的关系式，然后和直线方程联立方程组求解． 2、已知弦中点坐标，求直线方程时，也是上述两种方法，但“点差法”虽然是优解，特点是设而不求，需要解后检验． 3、求平行弦中点轨迹，必须知道该组弦的斜率：求相交弦中点轨迹，必须知道该组弦的交点坐标． ▌对点练8-1 （25-26高二上·湖北·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】假设以为中点的弦存在且与双曲线交于，则, 由，两式作差得:, 即， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以过点的直线斜率或时，直线与双曲线只有一个交点或无交点， 因为不存在该中点弦，所以，得；故选：C ▌对点练8-2 （24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，直线的方程为． 由题意知，为的中点， 因为， 两式相减，得， 所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为， 与双曲线联立， 得，即，解得或， 所以. ▌对点练8-3 （25-26高二下·河南信阳·阶段检测）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）双曲线经过点，得， 由渐近线方程为，得，解得，， 双曲线的方程为 . （2）假设是线段 的中点，设， 则由两式相减，可得， 因为是线段 的中点，， 代入上式，可得，即此时直线 的斜率为， 于是直线 的方程为，即 . 联立，消元得， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段 的中点. 基础通关 1．（25-26高二上·河北衡水·期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知：，可得， 所以双曲线的离心率．故选：A． 2．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知双曲线经过点，则的虚轴长为（    ） A．4 B．2 C． D．2 【答案】A 【解析】由点在双曲线上，得，解得， 即双曲线方程为，则的虚轴长为．故选：A． 3．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 则渐近线方程为，实轴长为， 由题意得，，解得， 则该双曲线的标准方程为． 当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 则渐近线方程为，实轴长为， 由题意得，，解得， 则该双曲线的标准方程为． 综上，该双曲线的标准方程为或．故选：B． 4．（25-26高二上·山西·阶段检测）若焦点在轴上的双曲线，其焦距为虚轴长的倍，则下列选项中各点在双曲线的渐近线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，得，所以，即，故， 所以，解得，所以， 故渐近线的斜率为，渐近线方程为， 所以渐近线经过点.故选：A 5．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线与双曲线的右支有两个不同的交点， 联立，消去得， 所以，解得， 故k的取值范围是.故选：A. 6．（25-26高二上·湖北·期末）（多选）下列选项中与双曲线的离心率相同的曲线是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于双曲线，， 所以，即， 对于A：，， 所以，即，正确； 对于B：，， 所以，即，错误； 对于C：，， 所以，即，正确； 对于D：，， 所以，即，正确；故选：ACD 7．（25-26高二上·河北·期末）（多选）已知双曲线：，：，：，则（    ） A．与的实轴长相等 B．与的焦点相同 C．与的离心率相等 D．与的焦距相等 【答案】ACD 【解析】对于，对应参数分别为， 实轴长为4，焦点为，离心率为，焦距为， 对于，对应参数分别为， 实轴长为4，焦点为，离心率为，焦距为， 对于，对应参数分别为， 实轴长为，焦点为，离心率为，焦距为， 所以与的实轴长、离心率相等，与的焦点不同，与的焦距相等. 故选：ACD 8．（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线方程为，则______. 【答案】 【解析】由双曲线方程知其渐近线方程为：， 一条渐近线方程为，，即. 9．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）过点的直线与双曲线相交于两点，若点是线段的中点，则直线的方程为______. 【答案】 【解析】设 ， 在双曲线 上， 且 为 的中点, 则. 由， 两式相减并整理得， 代入 ，，得： 化简得：，即， 又因为直线过点， 故直线方程为 10．（25-26高二下·广东广州·期末）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【答案】(1)；(2)4 【解析】（1）由题意得： ， 又，可得， ，则双曲线的焦距为． （2）双曲线的方程为， 右焦点坐标为， 设直线的斜率为． 直线的方程为：， 联立，整理得， 因 设，则 ． 素养提升 11．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）双曲线的一弦中点为，则此弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线的方程为，即， 联立方程组，消元得， 且，可得， 所以，解得，显然满足， 直线的方程为.故选：C 12．（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由题可设双曲线C的方程为（）， 将点代入上式得：， 故双曲线C的方程为，显然其右顶点的坐标为，渐近线方程为， 当直线斜率不存在时，此时直线方程为，符合题意， 当直线与双曲线的渐近线平行时，即直线方程为时，此时也符合题意， 综上，这样的直线共有3条.故选：D. 13．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）过原点的直线与双曲线：交于，两点，点在上，若直线与的斜率之积为，则的离心率为______. 【答案】 【解析】设，，. 由在双曲线上得，. 两式作差得. ，，. 由题意，离心率，. 代入得，故. 14．（24-25高二下·广西南宁·阶段检测）焦点在轴上的双曲线，它的实轴长为4，虚轴长为.那么过焦点且弦长为4的直线有__________条. 【答案】5 【解析】因为实轴长为，虚轴长为，所以， 双曲线为，右焦点 设直线与双曲线交于， 当直线斜率不存在时，直线方程的方程为， 令，则，得，此时弦长为，不符合题目； 当直线斜率存在时，设直线方程为 联立，可得， ， 解得且 ， 解得或，过右焦点共有3条直线符合条件； 所以根据对称性可知过左焦点与相交所得弦长为4的直线有条. 综上，总共有5条直线符合条件 15．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)或；(3) 【解析】（1）由题意可得，故. （2）当时，双曲线的方程为， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得（*）， 当时，即当时，方程（*）即为，该方程只有一个解，合乎题意； 当时，即当时，则，解得. 综上所述，或. （3）由题知、，当直线的斜率为时，此时，不合题意， 则直线的斜率不为，则设直线的方程为，设点、， 根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数，其中， 由韦达定理可得①，②， ，， 则， 因为、在直线上，则，， 即，即， 将①②代入有， 即  化简得， 所以，代入到，得，所以， 且，解得， 又因为，则， 综上，，. 迁移创新 16．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知双曲线，椭圆上一点（不在的渐近线上），过点分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，分别交渐近线于，两点，且，则（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解析】由双曲线，得，，故双曲线的渐近线为， 设，，，如图： 故直线的方程为，直线的方程为. 由，解得，即； 由，解得，即. 再由四边形是平行四边形，且， ， 所以.故选：B． 17．（25-26高二下·甘肃定西·期末）在双曲线（，）中，把以原点为圆心、实轴长为直径的圆O叫做双曲线C的“伴随圆”，过双曲线C上任意一点P（顶点除外）作“伴随圆”O的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x，y轴上的截距分别为p，q，双曲线C的离心率为2，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【解析】双曲线实轴长为，伴随圆以原点为圆心、实轴长为直径，故半径为，伴随圆方程为： ， 设双曲线上点，根据圆的切点弦方程结论，过的切点弦的方程为：， 令得，即；令得，即， 在双曲线上，满足，即，即， 两边同乘整理得，即， 已知双曲线离心率，故，得， 因此. 18．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，与双曲线C的右支交于点P．若，，，为的角平分线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】双曲线，设双曲线半焦距为， 左、右焦点分别为，，， ，是中点， ，， 是中点，是以为圆心，为半径的圆上的点，故， 设点在双曲线渐近线上，联立得， 点在双曲线渐近线上，且是中点， ，故，解得，， 的斜率，方程为， 联立直线与双曲线方程，得，解得， 在双曲线右支上，，，故点； ， 是的角平分线， ，故D正确．故选：D． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $