3.1.1 椭圆及其标准方程 讲义 --2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 3.1.1椭圆及其标准方程知识归纳与题型总结 思 维 图 定义 椭圆的定义 椭圆定义的集合表示 椭圆在坐标系中的位置 标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系 焦点坐标 椭圆及其标准方程 椭圆的标准方程 a,b,c的关系 用定义法求椭圆的标准方程 椭圆方程的求解 用待定系数法求椭圆的标准方程 焦点三角形的概念 椭圆的焦点三角形 焦点三角形的常用公式 培 练 考点01椭圆的定义 考点梳理 1.椭圆的定义 (L)定义：平面内与两个定点F,B的距离的和等于常数（大于FF)的点的轨迹叫作椭圆这 两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距 (2)椭圆定义的集合表示P=MMF+MF=2a,2a心EFl 典例引领 1/15 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 考向01 椭圆定义及辨析 x2,y2 =1 【例1】己知椭圆259的左、右焦点分别为B,B,P是椭圆上一点，且PF=3, 则P的值为() A.7 B.13 C.2 D.7或13 考向02利用椭圆定义求方程 【例2】（多选)已知椭圆C满足：椭圆上任意一点到其两个焦点的距离之和为12，且椭 圆C上的点到其焦点的距离的最大值为9，则椭圆C的标准方程可能是() x2,y2 y2,x2 A.3627-1 x2.y2 8.36+9-1 C,36+9-1 D. yx 36*27-1 考向03椭圆上点到焦点的距离及最值 y2,x2 =1 【例3)设椭圆C:9+4的上、下焦点分别为R,B,C上的点P满足P=2,则 PF=() A.1 B.3 C.4 D.5 考向04椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值 x2,y2 =1 【例4】已知B为椭圆84 的上顶点，点P是椭圆上的任意一点，则PB的最大值为 () A.2 B.4 C12 D.16 2/15 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 对点提升 【对点1】动点M(x,)与定点F(0,1)的距离和M到定直线1，y=4的距离的比是常数2， 则动点M的轨迹方程是() 2y-1 y2,x2 A.43 8.4+31 x2 C.2+s1 y2 +x2=1 D.2 F(-80)E(8,0) 【对点2】椭圆的两个焦点坐标分别为 且椭圆上一点到两个焦点的距 离之和为20，则此椭圆的标准方程为() y2,x2 y2,x2 y2,x2 A.100+36=1 B.400+336=1 C.100+361 0.20+21 C2 【对点3】已知限+牛两个有为3，点P在圆C上，者P2 PF=() A.2 B.3 C.4 D.5 【对点1己知椭圆云+尔-引(a>b>0)满足长轴的长是焦距的2信，且经过点 (1)求椭圆的方程： (2)求椭圆上的点到定 P飞，0)>0)的最短距离. 3/15 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 考点02椭圆的标准方程 考点梳理 1.椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： y M 椭圆在坐标 F 系中的位置 F 2x2 标准方程 +票=10a>6>0) a+2=1(a>b>0) 焦点坐标 (-G0),(G,0) F(0,-c),F(0,c) a,b,c的关系 b2=a2-c2 b2=a2-c2 2.椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定Q,6的值，结合焦点位置可写出椭圆方程 (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就 可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的，b的 值，从而确定方程（注意焦点的位置） ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论， 分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是 用待定系数法设椭圆的一般方程为4x2+By=14企0.B>0AB,再解答 典例引领 4/15 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义白 考向01判断方程是否表示椭圆 x2 【例1】若方程m一十2一m1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（） A. 2<m<2 B.m>2 C.1<m<2 D.m> 2 考向02根据方程表示椭圆求参数的范围 x2.y2 =1 【例2】若方程8-mm-4表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 考向03根据椭圆方程求a,b,c 【例3】已知椭圆m+y=1(m>0 x2 的一个焦点坐标是(3,0)，则实数m=() 2v2 B.10 8 D.10 考向04椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 【例4】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在原点，焦点在'轴上，且经过两点 0,2)n(1,0) 3 (2)焦点在坐标轴上，且过点A(2,0)和 2) 的椭圆的标准方程。 考向05求椭圆上点的坐标 【制已知C总+若-0>6 上不同两点A,B,如果以线段AB为直径的圆过 2W5 原点O,且O到直线AB的距离是5，则() 5/15 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 A<6、20 25 8.0<b<2f0 c.a2+b2s16 D.点M(L,)在椭圆C上 考向06根据a,b,c求椭圆标准方程 13 【例6】己知椭圆E的两个焦点分别是F(-1,0),B(,0),并且经过点 气22.求椭圆 E的标准方程。 考向07根据椭圆过的点求标准方程 【例7】求适合下列条件的椭圆的标准方程： ()焦点坐标为5,0)和(5,0） ,椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为26； 2)经过点L2,焦点坐标分别为(0)，(0-一3)， +y2=1 3)与椭圆2 有相同的焦点，且经过点 考向08轨迹问题—椭圆 【例8平面直角坐标系0中，点5-20)，B(20),M+M=25,点M的轨迹 为C. (1)求曲线C的方程 ∠FMF2=90° △FMF (2)若 求 的面积. 对点提升 【对点1】下列说法正确的是 6/15 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 A.若定点1 F满足 F引=8，动点P满足 PF+PF=8 则动点P的轨迹是椭圆 日，若定点气，F满足F= ，动点M满足M+hM=8 则动点M的轨迹是椭 圆 x2 y2 =1 C.当1<k<4时，方程4-kk-1表示椭圆 x2+y =1 D.若动点M的轨迹方程为42，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 (±v2,0) x2 2 =1 【对点2】（多选）若方程25-mm+9表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的值可以 是() A.8 B.9 C.16 D.24 【对点3】已知P是左右焦点分别为片、 4x2+16y2=1 2的椭圆 上的一点，则 PR+PF=() A.8 B.4 C.1 D.2 【对点幻方程VR+0+2+2+(y-2=6表示的曲线的标准方程为（) B.95 c6 D.59 x2.y2 【对点5】已知椭圆C:+京=1(a>b>0 的左、右顶点分别为A,B,点M在C上，且 BM=4丽，M=10,m∠B1M-号，则点M的横坐标为() 7/15 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 22 A.3 B.-3 C.-2 D.3 FF 【对点6】（多选）已知椭圆的两个焦点分别为， 5,点P为椭圆C上的动点， IPF+PE=I6.且P 的最小值为4，则椭圆C的标准方程可能是() x2,y2 2 y2 y2,x2 =1 =1 =1 2 2 C.6448 =1 A.6448 B.6416 D.6416 【对点7】分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： 1焦点坐标为30).(3,0) 且椭圆经过点(0,4). ②圆经过0-).（5,0叭两点 3)焦距等于2V5, 且椭圆经过点P(2,2) 【对点8在平面直角坐标系中，已知5(-3,0)，BB,0),0为原点，P为平面内的动点， 且PRI-PE+Po=4 ,则动点P的轨迹方程为() x2,y2 A.2516 =1 8.36271 2 C.2516 D.3627 考点03椭圆的焦点三角形 考点梳理 1.焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，F,B为椭圆的焦点，当点MF,F不在同一条直线上时，它们构成 8/15 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 一个焦点三角形，如图所示， 2.焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L=2a+2c (2)在△MFB中，由余弦定理可得FF'=MF2+MF2-2 MFIMF·cos∠FME (3)设M(,o) ∠FMF2=a,则 NFF=clyol=b2.tan2 典例引领 考向01{ 椭圆中焦点三角形的周长问题 x2.y2 【创】已知精园9十方的焦点分别为R与5，P为椭圆上一点，则△PF5的周长等 于() A.5 B.10 C.3 D.6 考向02椭圆中焦点三角形的面积问题 y2,x2 【例2】已知R、乃为椭圆斤+京=1(a>b>0) 的两个焦点，经过原点的直线与椭圆交于 P、e两点里P、Q不与椭圆长辅顶点重合，若P四=F,四边形PFQ5的面积为8， 则b= 考向03椭圆中焦点三角形的其他问题 x2,y2 =1 【例3】（多选）已知椭圆C:43的左、右焦点分别为F,B,P为椭圆C上一 点，则下列说法正确的是() 9/15 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 △PEE △PEF A 的面积有最大值但无最小值 B 的周长为5 ∠EPF<90° 0 1≤PF≤3 对点提升 x2 y2 【对点1】若椭圆C:。+户1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F,B,上、下顶点 分别为A,B,且四边形 AFBE 16 AFBE 的面积为，则四边形 周长的最小值为 【对点2】在直角坐标系0中，动圆M与圆0，(x+1+少=4外切，同时与圆O。 x2+y2-2x-15=0 内切 (1)求动圆圆心M的轨迹方程： 2若由（山）所得点“的轨迹曲线上有一点P,当△00 ∠OP02 的面积最大时，求 的正 切值。 对点已知P为脂方+少上一点，尽5分别为东、有在点。主四网- x2 则cos<FPS= OP= 好 题 能力提升 一、单选题 C: 1.已知5，B分别为椭圆C:a+F=1a>b>0 的左、右焦点，椭圆C的上顶点为M, 10/15 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 M=4且F45,友P在椭圆C上，若P所-厉=-8，则△FP 2的面积为() A.2V5 8.3 C.4 0.4V5 2,已知.B分别为椭因C的左、右焦点，P,0为C上两点，且P,5,0三点共线， 若线段的中点M在)轴上，PM1,P9=8,则C的标准方程为《) +-1 A.2412 B.3612 x2,y2 C.2436 D.36+24=1 B包，3分图C号+a 的左、右焦点，点P在椭圆C上.若PFPE=0, 则PRI-PEI=c) A.2 B.4 C.6 D.8 4.已知圆C,+少=产上的点到直线-5y-252=0的距离为2的点有且仅有3个， 直线'为圆C的切线，记4(-2,0)，B(2,0两点到直线'的距离分别为4,4，动点P满足 PA=d,P=4,则动点P的轨迹方程为（） x2 y2 A.x2+y2=4 =1 B.1612 x2.y2 c.x2+y2=12 0.8+41 5.椭圆5m的焦距为2，则实数m的值为() 11/15 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 ￥6 B 9 D.2 2 6.设椭圆C:9+严= 的左、右焦点分别为B,B,点P在C上，点满足△FP№是 等边三角形，且Bg=6,则△P5的面积为《) 2 3 A.2 B.√2 C.3 D.5 7.已知稀圆C的焦点为F(5.0,(5,0）,过5的直线与C交于A,B两点，若 145=2EA到MB=B,则C的方程为() x2.y2 A.3+2 =1 8.4+y2s1 + C.4+61 -=1 8.已知A(6y),B()是圆C:6-y+y=4上的动点，且(5-x-)+=-4 3, 当点M满足BM3MA,点P在椭圆上9十8 MP 的最大值为() A.3+5 8.4+V2 c.4+V5 D.5+V2 二、多选题 C.+2 2 9.(多选)已知椭圆園C:)+方 的左、右焦点分别为，B,点P在椭圆上，则下列结 论正确的是() A.PFI+IPE=6 12/15 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 B. 的最小值为1 c. PF “面积的最大值为2V5 E⊥PF D.存在点P,使得 10.(多选)已知A-2,0)、B(2,0),则下列命题中正确的是() A.平面内满足IPAHPB的动点P的轨迹为一条直线 B.平面内满足PA+|PBF4的动点P的轨迹为椭圆 C.平面内满足IPA仆2|PBI的动点P的轨迹为圆 3 D.直线AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积是一4，则M的轨迹是椭圆（除去 A、B两点) 女+y1. 11.(多选)已知椭圆4 ,点A-2,0),过点PL,0)作直线1交椭圆于点M,N, AM,AN 交直线引于点8C,下商正确的有（) B.C A.IPB|+|PCI为定值 B.IPBI-IPCI为定值 C.1PB1+PCI可能为2 D.IPBIIPC可能为2 三、填空题 x2 4y2 12.已知方程m一2+8一m1表示椭圆，则实数m的取值范围是 13.在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，如 图所示的曲线C为卡西尼卵形线且过坐标原点0，其中两定点为 (-1,o).EL0),曲线 C上点P在第一象限内且满足△PF5的面积为2，则PF-PF- 13/15 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 x2,y2 14.设5，乃为椭圆9+与1的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，过焦点5向 ∠FAF 的外角平分线作垂线，垂足为D,则点D的轨迹方程是 15.已知4(-3,0），B0,-3),动点P在曲线y=2-上.过P作直线AB的垂线，垂 足为H,则P+P 的最大值为 四、解答题 16,已知园C过=次函数'=-2x- 的图象与轴的两个交点A,B,同时圆C过椭圆 E:+=1的上焦点。 4 (1)求圆C的方程： (2)若过点P(L,0)且斜率为1的直线I与椭圆E交于M、N两点，求弦MW的长度. 17.已知A是圆M+尸=12 一动点，过A作x轴的垂线，垂足为B,点C为AB中点. (1)求点C的轨迹方程： ②点C的轨迹上有两点P,Q,且线段P0的中点坐标为2)，求P巴的值， xy -=1 18.椭圆E:43,直线1：y=x-2与椭圆E交于不同的两点A、B. (1)求k的取值范围； (2)若OA⊥OB,求k的值. 19.(1)已知椭圆两个焦点的坐标分别是 4,0)、（4,0),椭圆上的一点P到两焦点距离 14/15 高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 NH 的和等于10，求椭圆的标准方程； A(3,4) (2)求过点 ,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程。 x2.y2 C: 20.已知椭圆Ca7+ =1(a>b>0) 的右焦点为F,点 （2)在椭圆C上，且PF垂直 于x轴， (1)求椭圆C的方程： (2)直线I斜率存在，交椭圆C于A,B两点，A,B,F三点不共线，且直线AF和直线BF关于 PF对称，证明：直线I过定点。 15/15高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 3.1.1 椭圆及其标准方程 知识归纳与题型总结 考点01 椭圆的定义 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}. 考向01 椭圆定义及辨析 【例1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，则的值为（     ） A．7 B．13 C．2 D．7或13 【答案】A 【详解】由题意得，， 所以． 考向02 利用椭圆定义求方程 【例2】（多选）已知椭圆C满足：椭圆上任意一点到其两个焦点的距离之和为12，且椭圆C上的点到其焦点的距离的最大值为9，则椭圆C的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题意，得，解得，则， 所以椭圆C的标准方程为或． 考向03 椭圆上点到焦点的距离及最值 【例3】设椭圆：的上、下焦点分别为，，上的点满足，则（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由椭圆，得半长轴长． 因为在椭圆上，所以． 又，所以． 考向04 椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值 【例4】已知为椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，设，由得，且． 所以． 当且仅当时等号成立，此时，点在椭圆上，故的最大值为4． 【对点1】动点与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据动点到定点和定直线的距离比例关系列等式，化简得到轨迹方程后匹配选项即可. 【详解】由题意可知，动点 到定点 的距离为 ， 到定直线 的距离为 ， 则两边平方消去根号和绝对值化简得， 即. 【对点2】椭圆的两个焦点坐标分别为 ，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 20，则此椭圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，椭圆焦点在轴上，， 又∵椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，∴，即， ，椭圆的标准方程为. 【对点3】已知椭圆两个焦点为，点P在椭圆C上，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由椭圆的标准方程，可得，又，故. 根据椭圆的定义：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为定值， 即对椭圆上的点，有. 因为，所以. 【对点4】已知椭圆（）满足长轴的长是焦距的2倍，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)求椭圆上的点到定点（）的最短距离． 【答案】(1) (2)当时，最短距离为；当时，最短距离为 【分析】（1）根据椭圆的标准方程及特征求解即可. （2）根据两点间距离公式，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）由题意知，故， 椭圆经过点，则，即，解得，. 故椭圆的方程为. （2）设椭圆上的点为，则， 又点（）， 所以 若，即时，的最小值为； 若，即时，当时，取最小值为， 综上所述，当时，最短距离为；当时，最短距离为. 考点02 椭圆的标准方程 1．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 2．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 考向01 判断方程是否表示椭圆 【例1】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，. 考向02 根据方程表示椭圆求参数的范围 【例2】若方程 表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为方程 表示焦点在轴上的椭圆，则， 解得． 考向03 根据椭圆方程求a，b，c 【例3】已知椭圆的一个焦点坐标是，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆焦点位置确定参数关系，利用椭圆中 列方程求解 . 【详解】已知椭圆方程为 ，由焦点坐标为 可知 ，半焦距 ， 根据椭圆参数的基本关系 ，代入可得： 解得 ， 又因为 ，得 . 考向04 椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 【例4】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在原点，焦点在轴上，且经过两点和； (2)焦点在坐标轴上，且过点和的椭圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设焦点在y轴上的椭圆标准方程，代入已知两点用待定系数法求解参数； （2）设不含焦点位置限制的椭圆一般方程，代入两点求解参数后整理为标准方程. 【详解】（1）已知椭圆中心在原点、焦点在轴上，设其标准方程为， 将点、分别代入方程，得方程组：，解得， 因此所求椭圆标准方程为。 （2）由于椭圆焦点在坐标轴上且位置不确定，设其方程为， 将点、分别代入方程，得方程组：， 解得，代入，得椭圆的标准方程为. 考向05 求椭圆上点的坐标 【例5】已知椭圆上不同两点A，B，如果以线段AB为直径的圆过原点O，且O到直线AB的距离是，则（   ） A． B． C． D．点在椭圆C上 【答案】A 【分析】由题意知，设点，根据在已知椭圆上，即结合到直线的距离，可得，利用其可判断各个选项. 【详解】根据题意易知，故设点， 由于均在已知椭圆上，则， 所以， 同理可得， 所以，即， 又由于到直线的距离是，所以， 即，所以， 由于，故点在椭圆外，故D错误； 由于，所以，所以， 即，故C错误； 由于，可得，又，则，即得， 即，解得，故A正确，B错误． 考向06 根据a，b，c求椭圆标准方程 【例6】已知椭圆的两个焦点分别是 ，，并且经过点 .求椭圆的标准方程. 【答案】 【分析】利用椭圆定义求出，并用焦点坐标确定 的值，根据椭圆中的关系求出，从而确定椭圆方程. 【详解】焦点在 轴上，设椭圆 ， 由椭圆定义得， 故 ，又 ，.所以椭圆 的标准方程为 . 考向07 根据椭圆过的点求标准方程 【例7】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为26； (2)经过点，焦点坐标分别为，； (3)与椭圆有相同的焦点，且经过点. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可得，椭圆焦点在轴上，， ，， ∴椭圆的标准方程为. （2）由题意可得，椭圆焦点在轴上，， 设椭圆方程为，， 代入点得，化简得，解得或（舍）， ∴，∴椭圆的标准方程为. （3）由题意可得，所求椭圆焦点在轴上，， 设所求椭圆方程为，则， 代入点可得，， 化简得，解得或（舍）， ∴椭圆的标准方程为. 考向08 轨迹问题——椭圆 【例8】平面直角坐标系中，点，，，点的轨迹为． (1)求的方程 (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以此曲线是椭圆，有，即， 由题，，知椭圆的焦点在轴上，有， 设它的标准方程为，即. 所以， 因此曲线的方程为. （2）设，， 因为， 又因为，由勾股定理得， 将两边平方，得，代入，解得，即， 所以的面积. 【对点1】下列说法正确的是 A．若定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆 B．若定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆 C．当时，方程表示椭圆 D．若动点的轨迹方程为，则点的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 【答案】D 【详解】平面内到两个定点（焦点）的距离之和等于常数（大于两焦点间距离）的点的轨迹是椭圆， 对于A，； 对于B，，故AB均错； 对于C，方程表示椭圆，则有，故C错误； 若动点的轨迹方程为，则点的轨迹是椭圆，且，，故焦点坐标为，故D正确. 【对点2】（多选）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的值可以是（      ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据焦点在轴上的椭圆的方程特征列出不等式组，求解得到的取值范围，再逐一判断选项即可. 【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆， 则，解得. 故BCD满足. 【对点3】已知是左右焦点分别为、的椭圆上的一点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】椭圆化成标准方程为，则，故， 又点是椭圆上一点， 所以. 【对点4】方程表示的曲线的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义确定焦点位置、长半轴长，计算短半轴长后即可得到椭圆标准方程. 【详解】表示动点到定点的距离，表示动点到定点的距离， 所以，原方程等价于，因为两定点间距，符合椭圆的定义， 所以，的轨迹为椭圆，其中焦点为、，即焦点在轴上，焦距，得；长轴长，得. 所以，，焦点在轴上的椭圆标准方程为， 所以，方程表示的曲线的标准方程为. 【对点5】已知椭圆：的左、右顶点分别为，点在上，且，，，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以点在轴左侧，如图，作轴，垂足为． 由，得， 所以，即， 则，， 所以，即， 则． 【对点6】（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，，点为椭圆上的动点，，且的最小值为4，则椭圆的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由椭圆的定义确定长半轴长 ；再利用椭圆上一点到一个焦点的距离的最小值为 求出 ，由 求出 ．题目未说明长轴方向，需分别考虑长轴在 轴和 轴上的两种情况． 【详解】由 ，得 ，所以 ． 由题意，，所以 ，从而 若椭圆的长轴在 轴上，则标准方程为 若椭圆的长轴在 轴上，则标准方程为 因此符合条件的是 A、C． 【对点7】分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为，，且椭圆经过点； (2)椭圆经过，两点； (3)焦距等于，且椭圆经过点． 【答案】(1)​ (2)​ (3)或 【详解】（1）∵椭圆焦点在轴上，∴可设其方程为，其中，半焦距为， ∵椭圆经过点，∴，又，∴， ∴椭圆的标准方程为． （2）∵椭圆经过点和，这两点分别为椭圆在轴和轴上的顶点，且， ∴椭圆的长轴在轴上，可设其方程为，其中， 代入两点坐标，得，， ∴椭圆的标准方程为． （3）∵椭圆的焦距为，∴半焦距，由得，即， 焦点可能在轴上，也可能在轴上，故设椭圆方程为或， ∵椭圆经过点，两种情形均有，即，解得或． 由，舍去，得，， ∴椭圆的标准方程为或． 【对点8】在平面直角坐标系中，已知，，为原点，为平面内的动点，且，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设动点的坐标为，根据，结合两点间公式，列出方程，准确化简，即可得到动点的轨迹方程. 【详解】设动点的坐标为，且，，为原点， 因为，所以可得， 即， 可得， 可得， 令，可得， 可得，所以， 可得，即， 整理得，即动点的轨迹方程为. 考点03 椭圆的焦点三角形 1．焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，为椭圆的焦点，当点M,不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示. 2．焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L=2a+2c. (2)在中，由余弦定理可得. (3)设，，则. 考向01 椭圆中焦点三角形的周长问题 【例1】已知椭圆的焦点分别为与，为椭圆上一点，则的周长等于（   ） A．5 B．10 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义求出，进而可求解. 【详解】由椭圆方程可知，如图： 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为. 考向02 椭圆中焦点三角形的面积问题 【例2】已知、为椭圆的两个焦点，经过原点的直线与椭圆交于、两点且、不与椭圆长轴顶点重合，若，四边形的面积为，则________； 【答案】 【分析】根据对称可得四边形为矩形，进而根据垂直关系以及椭圆定义求解，利用面积为即可求解. 【详解】由于，且、在原点处互相平分，因此四边形为矩形， 因此，即， 又，因此，故， 又四边形的面积为，因此，故，即. 考向03 椭圆中焦点三角形的其他问题 【例3】（多选）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点，则下列说法正确的是（   ） A．的面积有最大值但无最小值 B．的周长为5 C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：由椭圆方程，可得左右焦点坐标为，，焦距. 的面积公式，其中为点的纵坐标， 由，得该三角形面积有最大值但无最小值，选项A正确. 选项B：根据椭圆的定义，，，所以的周长为，因此B错误. 选项C：当位于椭圆短轴端点时，取得最大值，此时，， 由余弦定理，因此最大，因此C选项正确. 选项D：由椭圆方程，可知，，椭圆上任意一点到焦点的距离满足，代入，，得，选项D正确. 【对点1】若椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，且四边形的面积为，则四边形周长的最小值为________． 【答案】 【分析】菱形面积转化为对角线乘积的一半，周长借助勾股定理表示，最后借助基本不等式求最值. 【详解】由题，，且四边形为菱形， 又因为菱形的面积为，所以， 四边形周长为，当时，等号成立， 故四边形的周长的最小值为. 【对点2】在直角坐标系中，动圆与圆：外切，同时与圆：内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)若由（1）所得点的轨迹曲线上有一点，当的面积最大时，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将两定圆化为标准方程得圆心与半径，结合动圆与两定圆的切接关系得动圆圆心到两定点距离之和为定值，由椭圆的定义求解轨迹方程. （2）由底边长固定，面积最大对应点纵坐标绝对值最大，得点坐标后解三角形求角的正切值. 【详解】（1）如图所示； 由题知，圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为， 设动圆圆心的坐标为，半径为， 动圆与圆外切，同时与圆内切． ，，. 由椭圆的定义可知动圆圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，. ，，， 动圆圆心的轨迹方程为. （2）如图所示； 由题知，当的面积最大时，点为椭圆短轴端点，不妨设点的坐标为， 此时为等腰三角形，为直角三角形，设, 又，. 的正切值为. 【对点3】已知为椭圆上一点，分别为左、右焦点．若，则________，________． 【答案】 / / 【分析】解法1：依托椭圆定义与余弦定理处理焦点三角形，结合向量中线性质可同步求解夹角与点到原点的距离；解法2：坐标法的核心是将几何条件代数化，代入椭圆方程消元后即可解出点的坐标特征量；解法3：焦半径公式能直接建立横坐标与焦点距离的关系，是简化椭圆焦点类运算的常用技巧. 【详解】解法1：在中，由及余弦定理，得． ， ， 则． 解法2：设点的坐标为，不妨令，由题知， 则，将代入得，同理可得． 所以，解得，则，所以． 解法3：设，由椭圆方程得，离心率，由第二定义以及焦半径公式可得， 可得，所以． 一、单选题 1．已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆C的上顶点为M，且，点P在椭圆C上，若，则的面积为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】由椭圆上顶点到焦点的距离为长半轴长求出,再由焦距求出,进而得;然后由椭圆定义与余弦定理求出,最后用三角形面积公式求解. 【详解】椭圆的上顶点为,左焦点为,所以. 由得. 由得,所以. 设,,由椭圆定义得. 因为. 在中,由余弦定理得. 所以,即. 于是,从而. 所以. 2．已知，分别为椭圆的左、右焦点，，为上两点，且，，三点共线，若线段的中点在轴上，，，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析得知为等边三角形，再根据椭圆的定义即可得到椭圆方程． 【详解】设椭圆的标准方程为， 因为，分别为，的中点，则， 又，则，即，可得， 又，且为的中点，则，所以为等边三角形， 又，则，， 所以，， 即，，则， 所以椭圆的标准方程为． 3．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上．若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】结合椭圆的定义和可求解. 【详解】因为，所以． 由椭圆的定义及题意，得在中， ，， 所以． 4．已知圆：上的点到直线的距离为的点有且仅有个，直线为圆的切线，记，两点到直线的距离分别为，，动点满足，，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可求出圆的半径，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，由题推得，根据椭圆的定义即得轨迹方程． 【详解】设圆：的圆心到直线的距离为，则， 由于圆：上的点到直线的距离为的点有且仅有个， 故，即得，则圆：； 如图，分别过点作直线的垂线，垂足分别为， 则，，切点为， 因为，所以是的中点， 所以是梯形的中位线，所以． 则，即， 所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为 ， 则，所以， 所以动点的轨迹方程为． 5．椭圆的焦距为2，则实数的值为（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【详解】由椭圆，得且，即或. 由椭圆的焦距为2，得，即. 当时，，，，则，得； 当时，，，，则； 综上所述，实数的值为或. 6．设椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，点满足是等边三角形，且，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的标准方程得到，，以及的值，分类讨论点，异侧和同侧两种情况，当点，异侧时，无解，舍去；当点，同侧时，根据椭圆的定义以及等边的边的关系得到点，，三点共线，从而分析出，在中运用余弦定理，最后代入中计算即可. 【详解】由椭圆：，可得，， ，， 所以焦点，，， 因为点在上，则由椭圆的定义可知，， 以为圆心，作一个半径为6的圆，则点在此圆上， 当点，异侧时，如图所示， 设，则， 在等边中，， 在中，由余弦定理得， ， 在中，，故， 所以点，异侧舍去； 当点，同侧时，如图所示， 在等边中，， 则，又因为， 所以，即点，，三点共线， 故， 设，则， 在中，由余弦定理得，， 即， 整理得，，， 所以. 7．已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知可设，则，，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解． 【分析】如图，由已知可设，则，， 由椭圆的定义有，． 在中，由余弦定理，可得． 在中，由余弦定理，可得，解得． 故，解得，则， 故所求椭圆方程为． 8．已知是圆上的动点，且， 当点满足，点在椭圆上运动时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的坐标及已知等式，可得到，结合求出点的轨迹方程为，其轨迹为以为圆心的圆，进而求出的最大值，根据（r为轨迹圆的半径）即可求出答案. 【详解】因为圆，所以圆心， 由是圆上的动点知， 由，得， 由，得， 所以， 将等式两边同时平方，得， 所以，所以动点的轨迹方程为， 由椭圆的方程可设点的坐标为， 由动点的轨迹方程可得该圆的圆心为，半径为，如图， 则， 当时，， 所以. 二、多选题 9．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为1 C．面积的最大值为 D．存在点P，使得 【答案】ABC 【分析】根据椭圆的标准方程，找出，，；对于A选项，利用椭圆的定义即可求解；对于B选项，分析出点在左顶点时，取最小值，计算即可；对于C选项，表示出的面积，，分析出，计算即可得的面积的最大值；对于D选项，假设点存在，设，将转化为，计算求. 【详解】椭圆，则，，， 所以，，，，， 对于A选项，由椭圆的定义可得，，故A正确； 对于B选项，当点在左顶点时，取最小值， 左顶点，此时，故B正确； 对于C选项，， ，， 所以，故C正确； 对于D选项，假设存在点，使得， 设点，则 因为，所以， ，， 由得，， 整理得，，则， 代入， 可得，解得，无实数解， 说明点不存在，故D错误. 10．（多选）已知、，则下列命题中正确的是（    ） A．平面内满足的动点P的轨迹为一条直线 B．平面内满足的动点P的轨迹为椭圆 C．平面内满足的动点P的轨迹为圆 D．直线相交于点M，且它们的斜率之积是，则M的轨迹是椭圆（除去A、B两点） 【答案】ACD 【分析】结合线段垂直平分线、椭圆、圆的定义及轨迹方程求解方法逐一验证选项即可. 【详解】选项：平面内到、两点距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线，在轴上，中点为原点，垂直平分线为直线，是一条直线，正确； 选项：椭圆的定义：平面内到两定点距离之和大于两定点间距离的点的轨迹.本题中，满足的动点的轨迹是线段，不是椭圆，错误； 选项：设，由得，两边平方整理得，是圆心为、半径为的圆，正确； 选项：设，由斜率之积为得，整理得，即轨迹为椭圆除去、两点，正确. 11．（多选）已知椭圆，点，过点作直线交椭圆于点，交直线于点，下面正确的有（   ） A．为定值 B．为定值 C．可能为2 D．可能为2 【答案】BC 【分析】设出直线的方程，与椭圆的方程联立，再根据韦达定理即可进行判断. 【详解】设直线的方程为：，，，不妨设， 则由得， 故，， 故， 直线方程为：， 令，得，故，同理可得， 所以，故B正确，D错误. 因此，当且仅当时等号成立， 而当时，，，故，，进而可得，， 故此时，故C正确，A错误. 三、填空题 12．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据椭圆标准方程的成立条件，列出关于的不等式组，即可求解. 【详解】因为方程表示椭圆，所以， 解得且， 故实数的取值范围是. 13．在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，如图所示的曲线为卡西尼卵形线且过坐标原点，其中两定点为，，曲线上点在第一象限内且满足的面积为，则______ 【答案】 【分析】根据卡西尼卵形线的定义及曲线过原点求出常数，利用三角形面积公式求出点的纵坐标，代入曲线方程求出横坐标，最后利用两点间距离公式计算即可． 【详解】设曲线上任意一点， 由题意可知，（为常数），即． 因为曲线过坐标原点， 所以， 解得， 所以曲线的方程为． 设点， 由题意知，， 因为，， 所以， 已知的面积为， 所以， 将代入曲线的方程，得， 两边平方得， 整理得，即， 化简得，即， 所以， 解得， 因为， 所以， 所以． 14．设，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，过焦点向的外角平分线作垂线，垂足为，则点的轨迹方程是______________． 【答案】 【分析】延长与交于，连接，充分利用外角平分线作垂线的几何特征得到是线段的中点，再结合中位线定理得的长为定值，从而求得的轨迹方程． 【详解】根据椭圆方程可得. 延长与交于，连接，如图所示： ∵直线为的外角平分线，且. ∴为线段的中点，且为等腰三角形，即. ∵ ∴ 又∵为线段的中点 ∴ ∴的轨迹方程为. 故答案为：. 15．已知，，动点在曲线上．过作直线的垂线，垂足为，则的最大值为________． 【答案】7 【分析】由题意得在椭圆上，设，根据椭圆定义得到， 则，再结合三角不等式求的最大值，进一步得到的最大值. 【详解】曲线变形为，为椭圆的一部分，且为椭圆的下焦点， 设为椭圆的上焦点，由椭圆定义得，所以； 所以， 因为（当且仅当共线时取等）， 由，得，直线， 当时，直线为 联立，解得或； 所以当时，取最大值； 到直线的距离， 所以此时，. 四、解答题 16．已知圆过二次函数的图象与轴的两个交点，，同时圆过椭圆的上焦点． (1)求圆的方程； (2)若过点且斜率为1的直线与椭圆交于、两点，求弦的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出二次函数与轴的交点及椭圆上焦点的坐标，设出圆的方程，列方程组求解即可. （2）根据直线的点斜式方程求出直线的方程，与椭圆方程联立，结合弦长公式求解即可. 【详解】（1）令，解得或，可设，. 椭圆的上焦点为. 设圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为，即. （2）过点且斜率为1的直线的方程为. 联立，整理得. 设、，则，. 所以. 17．已知A是圆M：上一动点，过A作x轴的垂线，垂足为B，点C为AB中点． (1)求点C的轨迹方程； (2)点C的轨迹上有两点P，Q，且线段的中点坐标为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相关点法即可求得答案； （2）利用点差法先求出直线的斜率，得到其方程，与C的轨迹方程联立，写出韦达定理，根据弦长公式计算即得. 【详解】（1）设，易得，则， 因为A在圆M上，所以， 故点C的轨迹方程为：； （2）设，，则， 两式相减得，即， 因为线段PQ的中点坐标为，则， 所以， 所以直线PQ的方程为， 联立方程组， 整理得， 则，， ． 18．椭圆 :，直线 :与椭圆 交于不同的两点 、 (1)求 的取值范围； (2)若 ⊥，求 的值. 【答案】(1)<或 >； (2). 【详解】（1）联立 与，消去 得， 故故，即 或 > （2）设，则， ， 而， ， 代入得 19．（1）已知椭圆两个焦点的坐标分别是、，椭圆上的一点到两焦点距离的和等于10，求椭圆的标准方程； （2）求过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可； （2）分截距为和不为两种情况求解即可. 【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，设其标准方程为， 由题意可得，则， 所以椭圆的标准方程为； （2）当直线在两坐标轴上的截距都为时，设其方程为， 因为过点，所以， 此时直线的方程为，即； 当直线在两坐标轴上的截距都不为时，设其方程为， 因为过点，所以，解得， 此时直线的方程为，即； 综上：直线的方程为或. 20．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且垂直于轴． (1)求椭圆的方程； (2)直线斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于对称，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)法一：平移齐次化 ， 椭圆左移个单位，即 设平移后的直线的方程为， 齐次化可得 整理得 同除得 ，故平移后直线过 平移前的直线过 法二：设直线方程，与椭圆方程联立，由，结合韦达定理得系数间的关系，可得直线所过定点 设直线l的方程为，由， 消去，整理得， 因为l交椭圆于两点，所以， 设，所以， 因为直线和直线关于对称， 所以 所以 所以 解得. 所以直线l的方程为， 所以直线l过定点. 【分析】(1)由椭圆焦点以及椭圆上定点坐标，代入椭圆标准方程，联立求解参数，得到椭圆的方程； (2) 设直线的方程，与椭圆方程联立，根据直线关于直线对称得到斜率关系，结合韦达定理化简得到直线参数满足的关系式，进而证明直线过定点. 【详解】（1）点在椭圆上，且垂直于轴，则有 设椭圆的焦距为，则， 点代入椭圆方程，有， 解得，则， 所以椭圆的方程为. （2）略. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $