山东济南市莱芜区2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026—2027学年度第一学期诊断性检测九年级 数学试题（A卷） 注意事项： 1．本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 3．答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 4．本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 选择题部分共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列各数中，属于负数的是 A． B． C． D． 2．若干桶方便面摆放在桌子上，右边所给的是它的三视图，则这一堆方便面共有 A．桶 B．桶 C．桶 D．桶 3．年月日“世界读书日”期间，济南市图书馆联合泉城书房推出“夜读泉城”系列活动，活动首周累计到馆总人次约为．数据用科学记数法表示为 A． B． C． D． 4．中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是 A． B． C． D． 5．下列各式计算正确的是 A． B． C． D． 6．若关于的一元二次方程有实数根，则应满足 A． B．且 C．且 D． 7．计算：的结果是 A． B． C． D． 8．某人经过两个十字路口，每一个路口可能会遇到红、绿、黄三种交通信号灯，可能性相同．则此人两次都遇到绿灯的概率是 A． B． C． D． 9．如图，在中，以为圆心，以长为半径画弧交于点；以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于，两点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交于点，连接，，分别交，于，两点．若ABDF，，则的长为 A． B． C． D． 10．已知二次函数（，，为常数，）图象的对称轴为直线，该函数图象经过点，且．下列结论：①关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；②当时，的值随值的增大而增大；③；④；⑤对于任意实数，总有．其中正确的有 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 非选择题部分共110分 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11．分解因式：                                ． 12．向如图所示的区域（小正方形的边长相等）随机掷一枚石子，石子落在空白部分的概率是                            ． 13．如图，在圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接，若，则阴影部分的面积为                                ． 14．甲、乙两人沿雪野湖环湖步道匀速徒步前行，甲比乙早出发，甲从出发经过抵达目的地．两人之间的距离和甲出发后的时间之间的关系如图所示，则乙从出发到抵达目的地所用的时间是         ． 15．如图，正方形的边长为6，点是边的三等分点（），是边上一动点，连接，将沿翻折得到，当最小时，                    ． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（本题满分7分） 计算：． 17．（本题满分7分） 解不等式组：，并求出它的整数解． 18．（本题满分7分） 如图，在中，点，点在上，且，求证：． 19．（本题满分8分） 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求： （1）的距离； （2）楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，，） 20．（本题满分8分） 如图，内接于，为的直径，于点，将沿所在的直线翻折，得到，点的对应点为点，延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的周长． 21．（本题满分9分） 为响应“阳光体育”号召，某中学随机抽取九年级部分学生，统计学生全天体育总时长（包含上、下午大课间活动，体育课时间不计入统计）（时长用表示，单位：分钟），并对数据时长进行统计整理，下面给出了部分信息： ．统计数据时墨水遮盖住其中一些数据，如下表所示： ．下面是不完整的频数分布直方图和扇形统计图： 请根据以上信息完成下列问题： （1）随机抽取的学生人数为                        ，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中第4组对应的圆心角的度数是                        度； （3）若第4组这组数据的中位数是63.5，则第4组中被墨水盖住的数字是                        ； （4）该校九年级共有1200名学生，请估算该校全天体育总时长不少于50分钟的学生人数． 22．（本题满分10分） 为助力乡村文旅发展，某村落改造、两类特色民宿客房接待游客．已知一间类客房占地面积比一间类客房多5平方米；2间类客房和3间类客房总占地面积为85平方米．改造类客房每平方米费用110元，改造类客房每平方米费用90元． （1）求每间、类客房占地面积各为多少平方米？ （2）该村计划改造、两类客房一共24间，且类客房的数量不超过类客房数量的2倍．如何规划、两类客房改造数量，使改造总费用最少？求出最低费用是多少元？ 23．（本题满分10分） 在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，在轴上，点的坐标为．反比例函数的图象经过的中点，与交于点． （1）如图1，求的值： （2）如图2，将直线沿轴平移得到直线，交的图象于点，若，求直线的解析式； （3）如图3，将直线绕点顺时针旋转后与第一象限的双曲线交于点，求点的横坐标． 24．（本题满分12分） 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，点是第一象限内抛物线上的一动点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，连接，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，连接，过点作交抛物线于点，连接，试问直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 25．（本题满分12分） 如图1，在中，，，以为斜边在上方作等腰． （1）如图2，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，延长交于点，连接．点，分别是，的中点，连接．，． ①求证：； ②求线段的长； （2）如图3，点在直线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点在直线上，连接，．请直接写出的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $2026一2027学年度第一学期诊断性检测九年级 数学试题(A卷)参考答案及评分意见 一、选择题（每小题4分，共40分） 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C D B B A D 二、填空题（每小题4分，共20分） 5 11.(m-3)m+1): 2. 13.4π-4： 14.50; 15.3。 三、解答题（本大题共10小题，共90分） 16.解(226-5-+ -2cos45°+M2 =1-W5-2+2-2x5+25 …5分 =3+√5 ……………7分 2.x+5≤3(5-x)① 17.解： 3x+1>x ② 2 解不等式①，得：x≤2， “*“““2分分 解不等式②，得：x>-1, …4分 ∴原不等式组的解集是：-1<x≤2， …6分 .原不等式组的整数解为：0,1,2。 …7分 18.证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥CB,AD=CB, …1分 ∴.∠DAF=∠BCE, …2分 .'∠DFC=∠BEA,∴.180P-∠DFC=180P-∠BEA, ∴.∠AFD=∠CEB, …3分 九年级数学试题参考答案及评分意见第1页（共8页） 在△ADF和△CBE中 ∫∠DAF=∠BCE ∠AFD=∠CEB,.△ADF≌△CBE(AAS), ……6分 AD=CB .AF=CE。 ……7分 19.解：(1).∠EFM是△EOF的外角， .∴.∠FE0=∠EFM-∠E0F=60°-30°=30°， …2分 ∴.∠EOF=∠FEO,∴.EF=OF=26m: …3分 (2)延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H, …4分 则∠AGO=∠EHO=90°，又，'∠GAC=90°， .四边形ACHG是矩形，∴.GH=AC …5分 由题意得：AG=80,OF=26,∠AOG=70°，∠EFH=60°， 在Rt△AG0中∠AGO=90°， G 0 F H M 、730° V609 70° .0G= AG 80 .80 ≈29.1， …6分 tan∠A0Gtan70°2.75 在Rt△EHF中，∠EHF=90°， ∴.FH=EF.cos∠EFH=26×cos60°=13， …7分 ∴.AC=GH=G0+OF+FH=29.1+26+13=68.1≈68(m)。 答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为68m。 …8分 20.(1)证明：连接OC, .△AFC沿AC翻折得到△ADC,CF⊥AB, ∴.∠ADC=∠AFC=90,∠ACF=∠ACD, ……1分 .'OA=OC,.∴.∠OAC=∠OCA, …h…2分 ∴.∠OAC+∠ACF=90, …3分 .∠OCA+∠ACD=90,即OC⊥CE, 又.OC是⊙0半径，∴.CE是⊙O的切线； …4分 (2)sin∠AED=5,.∠E=30, 2 九年级数学试题参考答案及评分意见第2页（共8页） ,OC⊥CE,∴.Rt△OCE中，∠COE=60 ,·OB=OC,∠COB=60,∴.△OBC为等边三角形， ∴.OB=OC=BC=8,… …5分 在Rt△CFB中，∠CBF=60°，BC=8, BF-BCcos60x4.FC-BCsin60'8x =43, …6分 2 2 ·BC的长=60m-88z …7分 1803 .阴影部分的周长=BF+CF4BC的长=4+4W5+8 …………8分 21.解：（1)20： …1分 统计图略： …3分 (2)72: …5分 (3)63: …7分 (4)1200x 20-2-7 =660, 20 答：该校全天体育总时长不少于50分钟的学生人数有660人。…9分 22.解：（1)设每间A占地x平方米，每间B占地y平方米，…1分 由题意得： x-y=5 …3分 2x+3y=85 解得： x=20 …4分 y=15 ∴.每个A类客房占地面积20平方米，每个B类客房占地面积15平方米。…5分 (2)设改造A类客房m个，B类客房(24-m)个， 由题意得24-m≤2m, …6分 解得m≥8， …7分 设改造客房的总费用为w元， 由题意得w=110×20m+90x15(24-m)=850m+32400, …8分 k=850>0,∴.w随m的增大而增大， ∴.当=8时，w有最小值， …9分 九年级数学试题参考答案及评分意见第3页（共8页） W最小=850×8+32400=39200，此时24-m=24-8=16, ∴.改造A类客房8个，B类客房16个时总费用最少，最少费用39200元。 …10分 23.解：(1).四边形OABC是正方形，B(4,4),点D是BC的中点， CD=2BC=2,即点D(2,4), …1分 将D(2,4)代入y=中，得：k=8: …2分 (2)D(2,4)0(0,0),.直线OD为y=2x, 设直线1与x轴的交点为F,,OD∥l, ∴.k=koD=2,S△DOF-S△DOp=6, …3分 SaD0F20Fx)0=6,解得0F=3, …4分 当点F在点0的左侧时，F为（-3,0)，此时直线1为y=2x+6, …5分 当点F在点O的右侧时，F为(3,0)，此时直线1为y=2x-6: …6分 (3)过D作DM⊥OD交OQ于点M,作x轴的平行线交y轴于点G,过M作y轴的平行 线，交DG于点H, ..∠DGO=∠MHD=90°，又，'DM⊥OD, D H ∴.∠ODM=90°，又.∠D0Q=45°， G .∴.∠DM0=180°-90°-45°=45°， M ∴.∠DOM=∠DMO=45°，∴.DO=DM, 又，'∠GOD+∠GDO=90°，∠GDO+∠HDM=180°-90°=90°， .∠GOD=∠HDM,∴.△GDO≌△HMD(AAS), …7分 ∴.HM=DG=2,DH=OG=4, ∴.GH=6,即M(6,2), …8分 设OM的解析式为y=k1x(k1≠0)，将M(6,2)代入得： y= -x 6=2,解得：方-写六0M的解折式为y=写，联立得： 3 8 y= 九年级数学试题参考答案及评分意见第4页（共8页） 解得x=±2√6， …………………9分 又：x>0,x=2√6，点Q的横坐标是2√6。 ……10分 24.解：(1)由x=2a-2a 1,得：a=-1, …1分 y=-x2+2x+c,将(1,4)代入y=-x2+2x+c,得： 4=-1+2+c,解得：c=3, …2分 ∴.抛物线的表达式为：y=x2+2x+3: …3分 (2)过点P作PG⊥x轴，垂足为G,交BC于点N, 令y=0得0=-x2+2x+3,解得：x1=-1,x2=3, .B(3,0),.C(0,3), ………………4分 .∴.OB=OC=3,.∴.∠OBC=45°，.∠PNM=∠BNG=45°， PM-PN sin4so -PN, …5分 .C(0,3),B(3,0),∴.lBc:y=-x+3, 设Pm,-m2+2m+3),N（m,-m+3), ∴.PN=yprw=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=-0m-3) .9 …6分 当m=3时，PN最大，此时PM最大， ● PM段大=PNxsin45P=9x2_9W2 …7分 428 将m=)代入=+2x+3,解得：5 4 (3,1卢)时，点P到BC的距离PM最大值为 当P(24 W2 …8分 (3)过点D作x轴的平行线，过点P作PH⊥DH,垂足为H,过点E作EF⊥DF,垂足为F, 设E(e,-e2+2e+3),Pp,p2+2p+3), ,'∠FDE+∠EDF=9O°，∠FDE+∠HDP=90°，∴.∠FED=∠HDP, 九年级数学试题参考答案及评分意见第5页（共8页） ,∴.tan∠FED=tan∠HDP, 1-e =4-(-p2+2p+3) 4-(-e2+2e+3) p-1 1-e=p2-2p+1 e2-2e+1p-1-, 1-e=p-2 (e-102 p-1,1-e)p-1)=l, 即：(pte)-pe=2, …10分 设直线PE的表达式：y=kx+b,令kx+b=-x+2x+3, 整理得：x2+(k-2)x+(b-3)=0, p+e=2-k,p-e=b-3,∴.2-k-(b-3)=2,解得：b=3-k, ∴y=kx+(3-k)=k(x-1)+3,∴.直线PE恒过点(1,3)。 ……12分 25.解：（1)证明：，线段DA绕点D顺时针旋转90°得到线段DE, .DA=DE,∠ADE=∠ADF=90°， .'∠CDB=9O°，∴.∠ADC+∠CDB=∠ADE+∠ADC, 即∠BDA=∠CDE, …1分 在△BAD和△CED中 「DA=DE ∠BDA=∠CDE, BD=CD .∴.△BAD≌△CED(SAS), G .AB=E;…3分 (2)连接DG,DH,,:DG,DH分别是AB,CE边上的中线，△BAD≌△CED, .∴.DH=DG,∠EDH=∠ADG, ,'∠EDH+∠HDA=90P, .∴.∠ADG+∠HDA=90°，即∠HDG=90°， 九年级数学试题参考答案及评分意见第6页（共8页） .△HDG是等腰直角三角形， DH=GH×sin45-V2 GH, .'∠ADF=∠CDB=90°， ∴.∠ADF-∠CDF=∠CDB-∠CDF,即∠ADC=∠DB …4分 ,△BDC是等腰直角三角形，.DC=DB,∠DCB=∠DBC=45°， .∠ACB=90°，∴.∠ACD=∠DBC=45°， .△ADC≌△FDB(ASA), …6分 .AC=BF,AD=DF,.AD=DE, .DE=DF,∴点D是EF的中点， :点H是EC的中点，DH=CF, DH-5G..cr-Gu..Gn-cF. 2 2 .CF=BC-BF=BC-AC=4-1=3, …7分 ∴.GH 3V2 2； …8分 (3)AQ+DQ的最小值=√37。 …12分 理由：如图，连接BQ, ,线段DP绕点D逆时针旋转90°得到线段DQ,△BDC是等腰直角三角形， ∴.DB=DC,DP=DQ,∠BDC=∠PDO=90°，∠DBP=∠DCB=45, .∴.∠BDC-∠PDB=∠PDQ-∠PDB,即∠CDP=∠BDQ, D DC=DB 在△CDP和△BDQ中： ∠CDP=∠BDQ, DP=DO M B ∴.△CDP≌△BDQ(SAS), ∴.∠DCP=∠DBQ=45°， ∴.∠CBQ=∠DBC+∠DBQ=45°+45°=90°， ∴.点Q在与BC垂直且垂足为点B的直线I上运动， 九年级数学试题参考答案及评分意见第7页（共8页） .作点D关于直线l的对称点D,连接AD, 交直线l为点Q,此时，AQ+DQ最短=AD', 连接DD'交直线I于点E,过点A作AF⊥I于点F, .四边形ACBF为矩形，.AF=BC=4,BF=AC=1, 在等腰R△BCD中，BD=BCxcos445=4×V5=22, 2 在等腰R△BED中，BE=DE=BDxsin45P=22x 2 2 .∴.EF=BE-BF=2-1=1, 作D'G⊥AG,交AF的延长线于点G, E -D 则四边形EFGD为矩形， A G .EF=DG=1,FG=DE=DE=2, .∴.AG=AF+FG=4+2=6, 在R14GD中，AD=√AG2+D'G2=V62+1P=√37， ∴.AQ+DQ的最小值=√37。 九年级数学试题参考答案及评分意见第8页（共8页）