山东济南市钢城区2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026-2027 学年度上学期期中诊断性评价 九年级数学试题 注意事项： 1.答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确。 2.本试题.分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷 (非选择题)两部分，共150 分，考试时间为 120 分钟。 3.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上：解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔。 4.考试结束后，由监考教师把答题卡收回。 第I卷(选择题40 分) 一、选择题(本题共10 小题，每小题4 分，共40 分，每小题只有一个选项符合要求.) 1.下列函数中，是二次函数的是( ) A. B C D 2.已知的半径为,点为平面内一点,且,则点与的位置关系是( ) A.点在上 B.点在内 C.点在外 D.无法判断 3.将抛物线 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为( ) A B C D 4.对于抛物线 下列判断不正确的是( ) A.抛物线的开口向下 B.当时,有最大值1 C.对称轴为直线 D.当时，随的增大而增大 5. 点 (), , 均在二次函数. 的图象上, 则的大小关系是( ) A. B. C. D. 6.如图, 已知、是的弦,且,如果∠,则∠的度数是( ) A.42° B.44° C.47° D.49° 7.如图，本学期在学习二次函数时，小明借助“”软件绘制了函数 的图象.下列说法错误的是( ) A.当时,随的增大而减小 B有三个不相等的实数根 C.该函数图象关于点 (2，2)成中心对称 D.当时，函数取得最大值为4 8.在同一坐标系中，二次函数 与 的图象可能是( ) 9. 如图,内接于,点是的中点,是的直径. 若30°,,则的长为( ) A.5 B.4 C.4 D.5 10.在平面直角坐标系 中，已知抛物线 .已知是抛物线上的点，的横坐标是.抛物线的顶点为，且可以由抛物线平移得到(特别地，当是的顶点时，即为)，若对，抛物线都与轴有两个交点，则的取值范围( ) A. 或 B. 或 C. D. 第Ⅱ卷 (非选择题110 分) 二、填空题(本题共5 小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4 分，共20 分) 11.函数 的自变量的取值范围是 . 12.如图,已知直线与正五边形的边 分别相交于点形成夹角和,则 . 13.数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具、伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识——抛物线.如图2，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，点为抛物线顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称.已知抛物线的表达式为 若点到轴的距离是,则两点之间的距离是 . 14. 已知:如图,为的直径,且,与相切于点,交延长线于点,连接,平分交于点,过点作,垂足为,线段的长 . 15.如图，二次函数 的部分图象与轴交于点,与轴的交点位于和 之间,顶点为,对称轴为直线. 下列说法: ①:②;③ ④设抛物线与轴的另一交点为,当时, 其中正确的是 . 三、解答题(本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题7分)已知函数 是二次函数： (1) 求的值: (2)写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 17.(本小题7分)石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶(如图1)，赵州桥是我国古代石拱桥的代表.图2是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为 桥的跨度(弧所对的弦长)，设所在圆的圆心为，，为半径，半径，垂足为.拱高(弧的中点到弦的距离).求这座石拱桥主桥拱的半径. 18.(本小题7分)如图, 点在上, ∥,. (1)求的度数; (2)求的度数. 19.(本小题8分)已知，二次函数 的与的部分对应值如下表. 0 1 2 ... 9 3 1 3 ... (1)求 ，并在平面直角坐标系中画出函数图象： (2) ①当时,的取值范围是 ; ②当时，的取值范围是 . 20.(本小题8分)抛物线 经过 , 两点. (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与轴的另一个交点的坐标. 21.(本小题9分)如图,是的切线,切于点, 的周长为12,. 求:(1) 的长; (2) 的度数. 22.(本小题10分)今年清明节前后，钢城区南湖公园美丽的风景吸引了众多的孩子去那里玩耍，锁大爷看到了商机，决定进一批风筝销售，经过他几天的市场调研：燕子型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题： (1)求出燕子型风筝销售量(个)与售价(元)之间的函数关系式： (2)当售价定为多少时，锁大爷获得的利润最大，最大利润是多少? 23.(本小题10分) 如图,是的直径,点在上,,点在线段的延长线上,且. (1) 求证:与相切; (2) 若 求的长. 24.(本小题12分)近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境.图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点B 到地面的距离为4米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点和点的水平距离为6米. (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点 离地面高约2.5米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架.如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点 与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架.求出第二段钢架长度的最大值. 25.(本小题12分)如图，抛物线 与轴交于 , 两点, 与轴交于点. (1)求抛物线的表达式. (2)若为直线上方的抛物线上一动点，连接，若的面积为3，求点的坐标. (3)抛物线上是否存在一点，使得 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $初四期中试题答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 1 8 9 10 答案 B B D D B 二、填空题 11、x22且x4312、144° 13、2W214、9 215、②④ 三、解答题 16(满分7分) (1)由题意： rm-1≠0 m2+1=2 …2/ 解得m=-l, …4 (2)二次函数的解析式为y=-2x2+4x-5=2(x-1)2.3, 这个二次函数的开口向下，对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,3).…7 17.(满分7分)：OCLAB,AB=30m, 8D=号AB=30×15(m)(垂径定理），2 解：设这座石拱桥主桥拱的半径为rm, 根据题意得，2.(-5)2=152，…4 整理得，10=250， 解得=25， …71 答：这座石拱桥主桥拱的半径为25m…7 18、(满分7分)解：(1)AC∥OB,∠OBA=25°， 第1页， ∴.∠A=∠OBA=25°，…2' ,弧BC=弧BC .∠BOC=2∠A=2X25°=50°，…4' .∠B0C的度数是50°. (2),OB=OC, ∠OCB=∠OBC,…5 ∴.∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，且∠BOC=50°， ..2∠OBC+50°=180°， .∠OBC=65°，…6 .∠ABC=∠OBC-∠OBA=65°-25°=40°， ∴.∠ABC的度数是40°.…7 19.(满分8分)(1)9： …21 作图 …4 (2)①1y<9;…6 ②x≤-1或x龙1.…8 20、(满分8分)(1)由题意可得： r4a+2b-2=0 a+b-2=-3 …2/ 解得62-二号3' 抛物线的解析式为y=2x2.3x-2;…4 (2)当y=0时，即2x2.3x-2=0, …5 方法2：也可用对称性求 解得=2（舍），=- 71 抛物线与x轴的另一交点坐标为（-子0)。8 共4页 21.(满分9分) （1)CA,CE都是圆O的切线， .CA=CE .…1′ 同理DE=DB,PA=PB, …2′ △PCD的周长=PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB-2PA=12,…3' 即PA的长为6： …4 (2)2P=60°， ∠PCE+∠PDE=120°， …5 ∴LACD+∠CDB=360°-120=240°，…6′ CA,CE是圆O的切线， DB OCE-ZOCA-ACD: …7/ 同理：∠ODE-CDB,. ∠OCE+∠ODE-1(LACD+∠CDB)=120°， …8 ∴∠COD=180-120=60°. ..9 22.:(满分10分) 解：(1)根据题意可知：y=180-10(x-12) 3 =-10x+300(12≤x≤30)， 销售量y与售价×之间的函数关系式为y=-10x+300(12≤x≤30)；…4' (2)由题意，设锁大爷获得的利润为W元，…5 则W=(x-10)y…6' =-10x+400x-3000 .71 =-10(x-20)2+1000, a=-10<0, 当x=20时，W取最大值，最大值为1000. 答：当售价定为20元时，锁大爷获得利润最大，最大利润是1000元. …10 23.(满分10分) （1)证明：如图，连接0E, .0A=0E, ∠0AE=L0EA, …1 .∠FOE=LOAE+∠0EA=2∠OAE, .∠CAB=2∠EAB, .LCAB=∠FOE, …2' 又∠AFE=∠ABC, ∴.∠CAB+∠ABC=∠FOE+∠AFE …3/ AB是⊙O的直径， ∴.LACB=90°， ·.LCAB+LABC=90°=LFOE+LAFE, …4 .∴.∠0EF=90°， 即OE1EF, OE是半径， EF是⊙O的切线： …5 (2)解：在Rt△E0F中，设半径为r,即OE=OB=r,则0F=r+1, sAFE=8器= .T=4, …71 ∴.AB=2r=8, 在Rt△ABC中，sin-ABC=-胎=sin-AF6=手AB=8,…8' 4c=x8=3 5 …9/ ·BC=VAB2-AC=24 …10' 24.(满分12分) (1)由题可得：抛物线的顶点B的坐标为(6,4).1' 设y与x的函数解析式为y=a(x-h)2+k(0sx≤6)， 抛物线的函数解析式为y=a(x-6)2+4.…2' 点A的坐标为(0,2)， :将点A代入函数解析式中，得2a(0-6)2+4,解得a一18 1 .3′ 第2页，共4页 抛物线的函数解析式为y=得(x-6)2+4(0巡6)；…4 (2)根据题意：设点P的坐标为(x,2.5), 将y=2.5代入y=8(x-6)2+4中， …5 得：25=6(x6)24, 解得：x1=6+3V3(舍去)，x2=6-3V3. .7 .6-3V3+5<6, ·车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点P离地面高约2.5米时， 方.…8 (3)设直线AB的函数解析式为y=kx+2(k0)· 将点A(6,4)代入y=x+2中， 得k子 y+2。 .9 抛物线的一般式为y一2+号x+2, ,设点C的坐标为(x62+号x+2)· CDIy轴，点D在AB上，点D的横坐标为x, D(x5x+2), …10 0D62+号x+2-x-2=BX+, …11′ 当x=3时，CD取最大值，最大值为 钢架CD长度的最大值是米. …12' 25.（满分12分) 解：(1)抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A(1,0),B(3, 468+6320 …1' 解得，=4 …2/ 抛物线的表达式为y=x2+4x-3; …3 （2)对于抛物线y=-x2+4x-3,令x=0,则y=-3, C(0,-3). 设直线BC的解析式为y=k'x+b', 直线BC过点B(3,0),C(0,-3), f3k+b'=0 b'=-3 解 直线BC的解析式为yx3, …4 过点P作PMIy轴，交BC于点M, 这辆观光车可以完全停进遮阳棚正下 备用图 设Pt,-t2+4t-3)(0<t<3),则M(t,t-3), PM-t2+4t-3.(t-3)=-t2+3t ..5 SPBc-XPMX3-3 ∴.PE2 …6′ -t2+3t.=2 解得：t=1,2=2 .7 .点P的坐标为(1,0)或(2,1) .…8 (3)存在，点Q的坐标为(2,1)或(4,3)，理由如下： 分两种情况讨论：①若点Q在x轴的上方，如图 0)两点， 第3页，共4页 QAB=ZABC, .∴AOIBC 设直线AQ的解析式为yx+m, 直线AQ过点A(1,0), 1+1m=0, 解得m=-1, ∴直线AQ的解析式为yx-1, 解方程，十权-6 y=x-1 点Q的坐标为(2,1). …10 ②若点Q在x轴的下方，如图， A B C Q 由(2)有△BOC是等腰直角三角形， ∠0BC-45°， LQAB=LABC-45°， 延长QA交y轴于点E, ∴LEAO=∠QAB=45°， .∴.∠AE0=90°-∠EAO=45° .OA=OE, A(1,0), ∴A0=1, 0E=1, E(0,1). 设直线AQ的解析式为ym'x+n', 直线AQ过点A(1,0),E(0,1), n+n'=0 n'=1 解得n'-1 n'=1 直线AQ的解析式为y=-x+1. 前方程，”权-3和0)手 点Q的坐标为(4,3)： 综上所述，点Q的坐标为（2,1)或(4,3).…12 第4页，共4页2026-2027学年度上学期期中诊断性评价 九年级数学试题 注意事项： 1.答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确。 2.本试题.分第1卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，共150分，考试时问为120分钟。 3.进择题每小题选出答素后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答表标号涂黑：非进择题用0.5m黑色 签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上：解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔。 4.考试结束后，由监考教师把答题卡收回。 第I卷（选择题40分) 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合要求） 1.下列函数中，是二次函数的是() A.y=3x-1 B.y-3x2-1 C.y=3 D.y=2x2+ 2.已知⊙0的半径为10cm,点A为平面内一点，且0A-8cm,则点A与⊙0的位置关系是() A.点A在⊙O上 B.点A在⊙0内C.点A在⊙0外 D.无法判断 3.将抛物线y一2(x1)2+1先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为() A.=-2(x41)2+4 B.y=-2(x+1)22 C.y=-2(x-3)244 D.y=-2(x-3)2-2 4.对于抛物线=.(x-2)2+1,下列判断不正确的是() A.抛物线的开口向下 B.当x=2时，y有最大值1 C.对称轴为直线x=-2 D.当x<2时，y随x的增大而增大 5.点P1(-1,y1),P2(0,y2),P3(6,y3)均在二次函数y=mx22mx+1(m>0)的图象上，则y1,2,y3 的大小关系是() A.y1>2>3 B.y3>y2>y1 C.2>3>y1 D.y3>1>2 6.如图，已知AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD,如果LBOD-86°，则∠ACO的度数是() A.42° B.449 C.47 D.49° 7.如图，本学期在学习二次函数时，小明借助“GeoGebra”软件绘制了函数yx(x-3)2的图象.下列说法 错误的是() A.当1<x<3时，y随x的增大而减小 B.x(x-3)2-3有三个不相等的实数根 初四数学 C.该函数图象关于点(2,2)成中心对称 D.当x=1时，函数取得最大值为4 8.在同一坐标系中，二次函数y-2-x与y=的图象可能是() 9.如图，△BCD内接于⊙O,点B是CD的中点，CD是⊙O的直径.若LABC=30°，AC-4,则BC的长为() A.5 B.4V2 C.43 D.52 10.在平面直角坐标系xoy中，己知抛物线Cy=(x+3)(ar+1)(a0).已知M是抛物线C上的点，M的横 坐标是，抛物线C2的顶点为M,且可以由抛物线C平移得到（特别地，当M是C的顶点时，C2即为C), 若对-2<<-1，抛物线C2都与x轴有两个交点，则a的取值范围() A.a<0或a≥1 B.a<0或a>1C.0<a≤1 D.0<a<1 A D (第6题图) (第7题图) (第9题图) 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 1山.函数y=的自变量x的取值范围是 I2.如图，已知直线FG与正五边形ABCDE的边AB,DE分别相交于点H,I,形成夹角a和B,则 a+B- A F a B (第12题图) 第1页，共4页 13.数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具、伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识一抛物线。 如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨OA,OB的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，点C为抛物 线顶点，点A,B在抛物线上，OA,OB关于y轴对称，已知抛物线的表达式为y0.2x2+1,若点A到x轴的 距离是0.6dm,则A,B两点之间的距离是 dm. 图2 (第13题图) (第14题图) 14.已知：如图，AB为⊙0的直径，且AB=18,CD与⊙O相切于点C,交AB延长线于点D,连接AC,BC, ∠D=30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E,过点B作BF⊥CE,垂足为F,线段BF的长二 15.如图，二次函数ya2+bx+c的部分图象与x轴交于点A(1,0),与y轴的交点C位于(0,2)和(0， 3》之间，顶点为八对称轴为直线.下列说法：①abc0:②4a+b0:回1<a<-子：④设抛物线与 x轴的另一交点为B,当∠CPB=-90时，。=.要其中正确的是】 =2 (第15题图) 三、解答题（本题共10小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(本小题7分)已知函数(m-1)xm2+1+4x-5是二次函数： (1)求m的值： (2)写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 17.(本小题7分)石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），赵州桥是我国古代石拱桥的代表.图2 是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为AB,桥的跨度（弧所对的弦长）A一30m,设 AB所在圆的圆心为O,OB,OC为半径，半径OCL AB,,垂足为D.拱高（弧的中点到弦的距离）CD5m.求这座 石拱桥主桥拱的半径. 图1 图2 18.(本小题7分)如图，点A,B,C在⊙0上，AC∥0B,∠OBA=25. (1)求∠BOC的度数： B (2)求∠ABC的度数。 y 19.(本小题8分)已知，二次函数)=22+1的y与x的部分对应值如下表 -2 0 1 2 9 3 1 3 (1)求m= 并在平面直角坐标系中画出函数图象： (2)①当-1<x<2时，y的取值范围是： ②当23时，x的取值范围是 20.（本小题8分)抛物线yar+bx-2经过(2,0)，(1，-3)两点. (1)求抛物线的解析式： (2)求抛物线与x轴的另一个交点的坐标. 21.(本小题9分)如图，PA、PB是⊙0的切线，CD切⊙0于点E,△PCD的周长为12，∠APB-60°.求： (1)PA的长； (2)∠COD的度数. DB 22.(本小题10分)今年清明节前后，钢城区南湖公园美丽的风景吸引了众多的孩子去那里玩要，锁大爷看 到了商机，决定进一批风筝销售，经过他几天的市场调研：燕子型风筝进价每个为10元，当售价每个为12 元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题： (1)求出燕子型风筝销售量y(个)与售价x(元)之间的函数关系式(12s≤30)： (2)当售价定为多少时，锁大爷获得的利润最大，最大利润是多少？ 23.(本小题10分)如图，AB是⊙O的直径，点C,E在⊙0上，∠CAB=2∠EAB,点F在线段AB的延长线上， 且∠AFE=LABC. (1)求证：EF与⊙0相切： E (2)若BF=1,sinAFE=,求BC的长。 0 BE Q 24.(本小题12分)近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更 舒适、安全的充电环境.图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚项的横截面可以看作是抛物线的一部 分，棚顶的端点B为该抛物线的最高点，点B到地面的距离为4米，棚顶与立柱的交点A到地面的距离为2 米，且点A和点B的水平距离为6米. y B 图① (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式： (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触 点P离地面高约2.5米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方： A (o 图② (3)为了让弧形遮阳栩更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架.如图③所示，钢架分两段，其中一 段连接点A与点B,然后在棚顶上某处取点C,在钢架AB和棚顶之间竖直安装第二段钢架CD,求出第二段 钢架CD长度的最大值 C B D 图③ 25.(本小题12分)如图，抛物线y=x2+bx3(a0)与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点，与y轴交于 点C. (1)求抛物线的表达式 (2)若P为直线BC上方的抛物线上一动点，连接PB,PC若△PBC的面积为3，求点P的坐标 (3)抛物线上是否存在一点2，使得∠QAB=∠ABC?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理 由 B 备用图