期中复习：一元二次方程的实际应用专项训练2026-2027学年北师大版九年级数学上册
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内容正文：
期中复习：一元二次方程的实际应用专项训练
期中复习：一元二次方程的实际应用专项训练
考点目录
传播率与增长率问题
营销问题
面积问题
动态几何问题
握手、循环赛问题
考点一 传播率与增长率问题
传播率与增长率问题解题技巧
（1）找准起始量、变化次数和最终量，套用模型 ， 为变化次数。
（2）传播问题逐轮分析：第一轮后为 ，第二轮后为 ，注意每轮被传染的对象基数在扩大。
（3）平均增长用”+“、平均下降（降低）用” “，不要把增长率与下降率混用。
（4）解出两根后结合实际取舍：负根、大于 1 的不合理根一律舍去（变化率通常在 0～1 之间）。
（5）看清”两年共（累计）“与”第三年”等表述，两者对应的方程列法不同。
例1．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）解答题
(1)雅礼中学有1个学生患了肺炎，经过两轮传染后共有169人患病，求每轮传染中平均1个人传染了多少个人？
(2)学生写了一份预防肺炎倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友又邀请n个互不相同的好友转发，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，求n的值．
【答案】(1)每轮传染中平均1个人传染了12个人．
(2)的值为30．
【分析】（1）根据两轮传染后总患病人数的等量关系列一元二次方程，舍去负根得到结果．
（2）根据两轮传播后总参与人数的等量关系列一元二次方程，舍去负根得到结果．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均1个人传染了个人．
∵初始有1人患肺炎，经过两轮传染后共有169人患病，
∴，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均1个人传染了12个人．
（2）解：依题意，两轮传播后参与传播的总人数为发起人、第一轮邀请的好友、第二轮邀请的好友之和，
∴，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：的值为30．
例2．（26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）某种病毒传播速度非常快，若最初有一个人感染这种病毒，经过两轮传染后，一共有144人被感染，设每轮传染中平均一个人传染了x人．
(1)经过第一轮传染后，共有 人感染了病毒；（用含x的式子直接写出答案）
(2)在每轮传染中，平均每人传染了几个人？
【答案】(1)
(2)在每轮传染中，平均每人传染了11个人．
【分析】（1）初始有1名感染者，每1人可以传染个人，第一轮新增感染人数为人，用原有感染人数加上新增感染人数，得到第一轮传染后的总感染人数．
（2）用第一轮结束后的感染人数作为传染源，列出两轮传染后的总人数方程，解一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根，得到平均每人传染的人数．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则经过第一轮传染后，共有人感染了病毒；
（2）解：，
，
∴，，
，
．
答：在每轮传染中，平均每人传染了11个人．
变式1．（26-27九年级上·陕西渭南·阶段检测）随着电池技术的突破，电动汽车已呈现出替代燃油汽车的趋势，某品牌电动汽车在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了3.38万辆．求该品牌汽车销售量的季度平均增长率．
【答案】
【详解】解：设前三季度该品牌汽车销售量的平均增长率为，
则，
，
或，
解得或（舍去），
答：前三季度该品牌汽车销售量的平均增长率为．
变式2．（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）某市推进家电以旧换新．已知年该市家电以旧换新的成交额是万元，年的成交额增加到万元，且两年的年平均增长率相同．
(1)求这个年平均增长率；
(2)如果年仍按这个增长率增长，那么年的成交额预计是多少万元？
【答案】(1)
(2)万元
【分析】（）设这个年平均增长率为，根据题意列方程解答即可；
（）用年的成交额乘（增长率）即可．
【详解】（1）解：设这个年平均增长率为，
根据题意，得，
解得，（不符合题意，舍去），
答：这个年平均增长率为；
（2）解：（万元），
答：年的成交额预计是万元．
考点二 营销问题
营销问题解题技巧
（1）核心等量关系：总利润＝每件利润 × 销售量＝（售价−进价）× 销售量。
（2）设未知数后，用含 的式子分别表示变化后的单件利润和销售量，再列方程。
（3）抓住”每降价 1 元多售 件”的倍数关系：销售量＝原销量＋n×降价数，涨价同理反向。
（4）求出的根要结合实际限制取舍：售价不低于成本、销售量必须为正。
（5）题目出现”让利顾客、减少库存”等要求时，应在合理根中选择降价更多、销量更大的方案。
例1．（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商若以每个元的价格购进此种头盔，销售大数据分析表明：当每个头盔售价为元时，平均每月售出个；若售价每下降元，其月销售量就增加个．
(1)若售价下降元，每月能售出________个头盔，若售价下降元（），每月能售出____________个头盔；
(2)为迎接“双十一”，该经销商决定降价促销，在库存为个头盔的情况下，若预计月获利恰好为元，求每个头盔的售价．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先算出每降价元多卖的头盔数量，再用原有销量加上增加的销量，得到对应销量和表达式；
（2）设降价元，表示出单件利润和销量，列利润方程求解，再根据库存上限舍去不合题意的解，算出最终售价．
【详解】（1）解：已知售价每下降元，其月销售量就增加个，
则售价每下降元，其月销售量就增加个，
可知售价每下降元，每月能售出个头盔，
故售价下降元，每月能售出个头盔．
（2）解：设每个头盔降价元，
降价以后每个头盔的利润为元，
降价后头盔的销售量为个，
根据题意可得，即，
解得，，
已知库存为个头盔，
可得，
解得，
则，
故每个头盔的售价为元．
例2．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）某商家为深圳大运会议提供制作纪念品所需的环保树脂．今年三月份该环保树脂供应千克，四、五两个月供应量的月平均增长率相同，五月份供应量达到千克．
(1)求四、五两个月供应量的月平均增长率；
(2)从六月起，该商家将同款环保树脂面向其他生产商供货，采用降价促销方式．经调查，每千克降价元，月供应量增加千克．已知该环保树脂每千克盈利元，且以五月份供应量千克为基准．当每千克降价多少元时，商家六月份能获利元？
【答案】(1)四、五两个月供应量的月平均增长率为
(2)当每千克降价元时，商家六月份能获利元
【分析】（1）设月平均增长率为，根据增长率公式列出一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的根；
（2）设每千克降价元，表达出降价后每千克利润和总供应量，依据“总利润单件利润销售量”列一元二次方程求解，舍去负根．
【详解】（1）解：设四、五两个月供应量的月平均增长率为，根据题意得：
，
，
或，
故，（不符合题意，舍去）．
答：四、五两个月供应量的月平均增长率为；
（2）解：设每千克降价元，根据题意得：
，
即．
解得（不符合题意，舍去），
答：当每千克降价元时，商家六月份能获利元．
例3．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）中秋是我国传统佳节，赏月、挂灯笼是流传千年的中秋民俗．顺德素有“鱼米之乡”“南国丝都”美誉，中秋赏灯更是顺德水乡特色民俗．某中学学生会开展中秋公益义卖活动，制作顺德水乡花灯文创套装，每套花灯制作成本18元，义卖标价28元/套．9月份第一期义卖售出100套，第三期义卖售出144套．
(1)求销售量的每期平均增长率；
(2)为筹集更多公益资金，学生会计划调整义卖标价．经试验，发现每套花灯的价格每降低1元，平均每期就能多卖出16套．在第三期销售量的基础上，若要使第四期义卖的筹款利润（筹款扣除制作成本）为1120元，则每套花灯的义卖价格应定为多少元？
【答案】(1)销售量的每期平均增长率为
(2)每套花灯的义卖价格应定为元
【分析】（1）设销售量的每期平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可；
（2）设每套花灯的义卖价格降低元，则可得第四期销售量为套，根据题意建立方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设销售量的每期平均增长率为，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：销售量的每期平均增长率为．
（2）解：设每套花灯的义卖价格降低元，
由题意得：，
整理得：，
解得或（不符合题意，舍去），
则（元），
答：每套花灯的义卖价格应定为23元．
变式1．（26-27九年级上·宁夏银川·阶段检测）骑车出行须戴头盔．某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同．
(1)求销售量的月增长率；
(2)若进价为每个元，当售价为每个元时，月销售量为个，售价每上涨元，月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，且尽可能让顾客得到实惠，则每个头盔的实际售价应定为多少元？
【答案】(1)销售量的月增长率为
(2)每个头盔的实际售价应定为元
【分析】（1）根据月、月的销量及相同月增长率，列一元二次方程求解即可；
（2）根据总利润单个利润×销售量的关系，列出方程，结合尽可能让顾客得到实惠的要求选取较低售价的解，即可得出答案．
【详解】（1）解：设销售量的月增长率为，
∵该品牌头盔月份销售个，月份销售个，
∴，
解得，（舍去），
答：销售量的月增长率为．
（2）解：设售价上涨元，
∵售价为每个元时，月销售量为个，售价每上涨元，月销售量将减少个，
∴单个利润为元，月销售量为个，
∵月销售利润达到元，
∴，
解得，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
∴（元），
∴每个头盔的实际售价应定为元．
变式2．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第三季度（7月至9月）该品牌智能头盔的销量情况：7月份销售50个，9月份销售72个．
(1)求该店该品牌智能头盔从7月份到9月份销售量的月均增长率；
(2)已知该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当头盔的售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行，惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠，求该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元?
【答案】(1)
该店该品牌智能头盔销售量的月均增长率为
(2)
该品牌智能头盔的实际售价应定为每个元
【分析】（1）设月均增长率为未知数，根据7月与9月的销售量等量关系列一元二次方程求解；
（2）设实际售价为未知数，根据总利润单个利润月销售量的等量关系列方程，结合“让市民享受实惠”的条件选取较低售价的解；
【详解】（1）解：设该店该品牌智能头盔销售量的月均增长率为，
∵7月份销售50个，
∴9月份销售量为个，
依题意列方程：，
解得，，
∵月均增长率为正数，
∴不符合题意，舍去，
答：该店该品牌智能头盔销售量的月均增长率为；
（2）解：设该品牌智能头盔的实际售价为每个元，
∵售价为400元/个时月销售量为60个，每上涨2元/个，月销售量减少1个，
∴月销售量为个，每个的利润为元，
依题意列方程：，整理得：，
解得，，
∵要尽可能让市民享受实惠，即售价尽可能低，
∴取，
答：该品牌智能头盔的实际售价应定为每个404元．
变式3．（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品涨价x元．
(1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量．
(2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品涨价多少元．
【答案】(1)该商品每日的销售量为件
(2)该商品涨价5元
【分析】通过题目所给的信息列出对应的式子即可解决第一问；通过利润（售价进价）日均销售量列出对应式子即可解决第二小问．
【详解】（1）解：设日销售量为，由题意得：
（2）由题意得：，即
设利润为，则
，
，
解得，，
，
将舍去，即，
答：该商品涨价5元．
考点三 面积问题
面积问题解题技巧
（1）先画示意图，用含 的代数式准确表示变化后的长和宽。
（2）边框问题分清边数：四周都有边框用 2x，只有一侧用 x；通道问题注意交叉部分不重复计算。
（3）善用平移法，把道路、边框”移到一边”，将不规则图形拼成规则矩形，列式更简洁。
（4）利用面积公式列方程，注意单位统一。
（5）根的取舍： 必须为正且不能超过原长（宽）的相应限制，不合实际的根舍去。
例1．（26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．若要建的矩形养鸡场面积为，求养鸡场的长和宽；
【答案】长为，宽为
【分析】本题考查运用一元二次方程解决实际问题．设的长为，则的长为，根据养鸡场面积为列一元二次方程求解，再选出满足题意的解即可．
【详解】解：设的长为，则的长为，根据题意得
，
整理得，
，
，（不合题意，舍去），
∴，．
答：养鸡场的长为，宽为．
例2．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）屏风历史悠久，是中国古代居室内的重要家具和装饰品，具有分隔、美化、挡风等作用．如图是一个屏芯长、宽的矩形黄花梨小座屏风示意图，屏芯周围被边框宽度相同的屏框包围．若整个屏风的面积为，求屏框的宽度．
【答案】屏框的宽度为5．
【分析】设屏框的宽度为，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：设屏框的宽度为，
由题意得：，
解得：，（舍去），
答：屏框的宽度为5．
变式1．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米．
(1)__________米（用含的代数式表示）；
(2)若饲养场面积为160平方米，求木栏的长．
【答案】(1)
(2)10米
【分析】（1）用总长加上两个门宽再减去2个的长，列出代数式即可；
（2）根据矩形的面积公式列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：米；
（2）解：根据题意得：，
解得：，
∵位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，
，
解得：，
∴，
即木栏的长为10米．
变式2．（26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）现对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为．
(1)天头长为___________；（用含的代数式表示）
(2)若装裱后作品的总面积为，求右边宽．
【答案】(1)
(2)装裱后右边宽是
【分析】（1）根据右边宽与天头长之比，直接写出天头长为；
（2）装裱后，竖直方向总长度原长天头长，水平方向总宽度原宽右边宽，利用总面积列一元二次方程，求解并舍去负数解即可．
【详解】（1）解：右边宽与天头长的比为，右边宽为，
天头长为；
（2）解：由题意得，
整理得，
因式分解得，
解得，（不符合题意，舍去），
答：装裱后右边宽是．
考点四 动态几何问题
动态几何问题解题技巧
（1）设运动时间为 ，用”速度 × 时间”表示动点走过的路程，再结合边长表示相关线段。
（2）先确定动点的运动范围和时间分界点（到达顶点的时刻），必要时分段讨论。
（3）结合面积公式、勾股定理或相似关系，建立关于 的一元二次方程。
（4）求出的 必须落在该段运动的时间范围内，超出范围的根舍去。
（5）注意”同时出发”“相距”“重合”等条件，通过画临界位置图辅助分析。
例1．（26-27九年级上·吉林·阶段检测）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿向终点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒.
(1)填空：，___________（用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)0秒或2秒
(3)1
【分析】（1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，，可以求得；
（2）用含的代数式分别表示和的值，运用勾股定理求得为据此求出值；
（3）根据题干信息使得五边形的面积等于的值存在，利用长方形的面积减去的面积即可，则的面积为，由此求得值．
【详解】（1）解：点从点开始沿边向终点以的速度移动，，故为；
（2）解：由题意得：，
解得：，；
当秒或秒时，的长度等于；
（3）解：存在秒，能够使得五边形的面积等于．
理由如下：
长方形的面积是：，
使得五边形的面积等于，则的面积为，
，
解得：不合题意舍去，．
即当秒时，使得五边形的面积等于．
例2．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿边以的速度向点运动，同时点从点出发沿边以的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一点也同时停止，设运动的时间为．
(1)填空：________，________（用含的代数式表示），的取值范围为_______．
(2)当为何值时，的面积为？
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，线段的和差表示解答即可．
（2）根据题意列一元二次方程解答即可．
【详解】（1）解：根据题意得，运动的时间为后，，，
，，
，，
，
运动都停止运动，
．
（2）解：根据矩形，得，
，
，
整理，得，
解得，
，
不满足范围，舍去，
，
当时，的面积为．
变式1．（26-27九年级上·湖南湘西·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发以的速度向点移动．设运动时间为秒．
(1)用含t的式子表示线段：，则__________ ， __________，__________．
(2)当时，的面积为__________；
(3)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能，请说明理由；
【答案】(1)；；
(2)28
(3)解：在运动过程中的面积不能为，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，
∴
，
当时，则，
∵，
∴方程没有实数根，
∴在运动过程中的面积不能为．
【分析】（1）根据题意列式求解即可；
（2）根据列式求解即可；
（3）根据表示出，再令，建立关于t的方程，看是否有正实数解即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴
（2）解：当时，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
，
∴当时，的面积为；
（3）略
变式2．（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，，，，为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动．当点P到达点B时，点Q也停止运动．
(1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？
(2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是？
(3)直接写出P，Q两点从出发开始到几秒时，点P，Q，D组成的三角形是等腰三角形．
【答案】(1)P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为；
(2)P，Q两点从出发开始到秒或秒时，点P和点Q的距离是；
(3)经过2秒、秒、秒或秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形
【分析】（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为，得出，确定运动时间为，然后结合梯形的面积公式即可求解；
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是， 作垂足为E，则，根据题意得出，然后利用勾股定理求解即可；
（3）过点P作于M，于N，根据题意分三种情况分析：①当时，②当时，③当时，结合图形分别利用勾股定理及等腰三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为，
∴，
∵点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动．当点P到达点B时，点Q也停止运动，
∴运动总时间为，
根据梯形的面积公式得，
解得，
∴P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为；
（2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是，
作，垂足为E，则，
，
，
由勾股定理，得，
解得，
∴P，Q两点从出发开始到秒或秒时，点P和点Q的距离是；
（3）解：过点P作于M，于N，连接，
∴，
∵点P，Q，D组成的三角形是等腰三角形，
∴分三种情况：
①当时，则，
∵，
∴；
②当时，在直角中，
由勾股定理得：，
整理，得，
解得；符合题意；
③当时，在直角中，由勾股定理得：，
解得(舍去)
综上所述，经过2秒、秒、秒或秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形．
考点五 握手、循环赛问题
握手、循环赛问题解题技巧
（1）两两握手、单循环赛不重复计数，用 。
（2）互送贺卡、双循环（主客场）有方向性，用 ，注意是否除以 2。
（3） 边形对角线问题：每个顶点连 条，去重后为 。
（4）看到”每两人之间”“每两队之间”的表述，先判断有无重复计算再选公式。
（5）解出的 必须是正整数，负根和非整数根一律舍去。
例1．（26-27九年级上·甘肃临夏·阶段检测）某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图所示的是小米和小诚对比赛总场数的统计．
(1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明；
(2)赛后经查询，小米的统计正确．因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛．
【答案】(1)小诚的说法有道理，理由如下：
设有个人参赛，由题意可得，
，
解得，
∵都不是整数，
∴方程的解不符合题意，故小诚的说法有道理；
(2)原来有个人参加比赛．
【分析】（1）设原来有个人参加比赛，根据比赛场次列方程并解方程即可进行解答；
（2）设原来有个人参加比赛，根据实际情况列出方程并解方程即可求出答案．
【详解】（1）略
（2）解：设原来有个人参加比赛，由题意可得，
，
解得（不合题意，舍去），
即原来有个人参加比赛．
例2．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）2026年江西省城市足球超级联赛（简称“赣超”）的常规赛阶段，每两支球队之间都要进行1场比赛，共要比赛55场，求参加2026年“赣超”的球队数量．
【答案】参加2026年“赣超”的球队数量为11
【详解】解：设参加2026年“赣超”的球队数量为x．
根据题意得，
解得或（舍去），
∴x的值为11．
答：参加2026年“赣超”的球队数量为11．
变式1．（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）某中学九年级（3）班毕业前，每位同学都要向其他每位同学赠送一张自制的纪念卡片，全班共送出纪念卡片张．
(1)求该班的人数；
(2)若该班同学两两之间相互握手一次，共握手多少次？
【答案】(1)
该班人数为人
(2)
共握手次
【分析】（1）以总卡片数为等量关系列一元二次方程，求解得到班级人数；
（2）根据两两握手的计数规则，代入班级人数计算总次数．
【详解】（1）解：设该班共有名学生，
∵每位同学向其他每位同学赠送张卡片，
∴每人送出张卡片，全班共送出张卡片，
依题意得：，
整理得：，
解得，（不符合实际，舍去）．
答：该班的人数为人．
（2）解：∵ 两两之间相互握手一次，每两人的握手仅计数次，
∴ 总握手次数为（次）．
答：共握手次．
变式2．（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）在“九月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，求参加小组赛的球队有多少支？
【答案】参加小组赛的球队有8支．
【分析】根据双循环赛制规则与总比赛场数的等量关系建立一元二次方程，舍去不符合实际意义的根后得到结果．
【详解】解：设参加小组赛的球队有支，
∵双循环赛制为每两支球队之间进行2场比赛，小组赛总比赛场数为56场，
∴，
整理得：，因式分解为：，
解得，（负值舍去），
答：参加小组赛的球队有8支．
2
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$期中复习：一元二次方程的实际应用专项训练
期中复习：一元二次方程的实际应用专项训练
考点目录
传播率与增长率问题
营销问题
面积问题
动态几何问题
握手、循环赛问题
考点一 传播率与增长率问题
传播率与增长率问题解题技巧
（1）找准起始量、变化次数和最终量，套用模型 ， 为变化次数。
（2）传播问题逐轮分析：第一轮后为 ，第二轮后为 ，注意每轮被传染的对象基数在扩大。
（3）平均增长用”+“、平均下降（降低）用” “，不要把增长率与下降率混用。
（4）解出两根后结合实际取舍：负根、大于 1 的不合理根一律舍去（变化率通常在 0～1 之间）。
（5）看清”两年共（累计）“与”第三年”等表述，两者对应的方程列法不同。
例1．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）解答题
(1)雅礼中学有1个学生患了肺炎，经过两轮传染后共有169人患病，求每轮传染中平均1个人传染了多少个人？
(2)学生写了一份预防肺炎倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友又邀请n个互不相同的好友转发，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，求n的值．
例2．（26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）某种病毒传播速度非常快，若最初有一个人感染这种病毒，经过两轮传染后，一共有144人被感染，设每轮传染中平均一个人传染了x人．
(1)经过第一轮传染后，共有 人感染了病毒；（用含x的式子直接写出答案）
(2)在每轮传染中，平均每人传染了几个人？
变式1．（26-27九年级上·陕西渭南·阶段检测）随着电池技术的突破，电动汽车已呈现出替代燃油汽车的趋势，某品牌电动汽车在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了3.38万辆．求该品牌汽车销售量的季度平均增长率．
变式2．（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）某市推进家电以旧换新．已知年该市家电以旧换新的成交额是万元，年的成交额增加到万元，且两年的年平均增长率相同．
(1)求这个年平均增长率；
(2)如果年仍按这个增长率增长，那么年的成交额预计是多少万元？
考点二 营销问题
营销问题解题技巧
（1）核心等量关系：总利润＝每件利润 × 销售量＝（售价−进价）× 销售量。
（2）设未知数后，用含 的式子分别表示变化后的单件利润和销售量，再列方程。
（3）抓住”每降价 1 元多售 件”的倍数关系：销售量＝原销量＋n×降价数，涨价同理反向。
（4）求出的根要结合实际限制取舍：售价不低于成本、销售量必须为正。
（5）题目出现”让利顾客、减少库存”等要求时，应在合理根中选择降价更多、销量更大的方案。
例1．（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商若以每个元的价格购进此种头盔，销售大数据分析表明：当每个头盔售价为元时，平均每月售出个；若售价每下降元，其月销售量就增加个．
(1)若售价下降元，每月能售出________个头盔，若售价下降元（），每月能售出____________个头盔；
(2)为迎接“双十一”，该经销商决定降价促销，在库存为个头盔的情况下，若预计月获利恰好为元，求每个头盔的售价．
例2．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）某商家为深圳大运会议提供制作纪念品所需的环保树脂．今年三月份该环保树脂供应千克，四、五两个月供应量的月平均增长率相同，五月份供应量达到千克．
(1)求四、五两个月供应量的月平均增长率；
(2)从六月起，该商家将同款环保树脂面向其他生产商供货，采用降价促销方式．经调查，每千克降价元，月供应量增加千克．已知该环保树脂每千克盈利元，且以五月份供应量千克为基准．当每千克降价多少元时，商家六月份能获利元？
例3．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）中秋是我国传统佳节，赏月、挂灯笼是流传千年的中秋民俗．顺德素有“鱼米之乡”“南国丝都”美誉，中秋赏灯更是顺德水乡特色民俗．某中学学生会开展中秋公益义卖活动，制作顺德水乡花灯文创套装，每套花灯制作成本18元，义卖标价28元/套．9月份第一期义卖售出100套，第三期义卖售出144套．
(1)求销售量的每期平均增长率；
(2)为筹集更多公益资金，学生会计划调整义卖标价．经试验，发现每套花灯的价格每降低1元，平均每期就能多卖出16套．在第三期销售量的基础上，若要使第四期义卖的筹款利润（筹款扣除制作成本）为1120元，则每套花灯的义卖价格应定为多少元？
变式1．（26-27九年级上·宁夏银川·阶段检测）骑车出行须戴头盔．某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同．
(1)求销售量的月增长率；
(2)若进价为每个元，当售价为每个元时，月销售量为个，售价每上涨元，月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，且尽可能让顾客得到实惠，则每个头盔的实际售价应定为多少元？
变式2．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第三季度（7月至9月）该品牌智能头盔的销量情况：7月份销售50个，9月份销售72个．
(1)求该店该品牌智能头盔从7月份到9月份销售量的月均增长率；
(2)已知该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当头盔的售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行，惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠，求该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元?
变式3．（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品涨价x元．
(1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量．
(2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品涨价多少元．
考点三 面积问题
面积问题解题技巧
（1）先画示意图，用含 的代数式准确表示变化后的长和宽。
（2）边框问题分清边数：四周都有边框用 2x，只有一侧用 x；通道问题注意交叉部分不重复计算。
（3）善用平移法，把道路、边框”移到一边”，将不规则图形拼成规则矩形，列式更简洁。
（4）利用面积公式列方程，注意单位统一。
（5）根的取舍： 必须为正且不能超过原长（宽）的相应限制，不合实际的根舍去。
例1．（26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．若要建的矩形养鸡场面积为，求养鸡场的长和宽；
例2．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）屏风历史悠久，是中国古代居室内的重要家具和装饰品，具有分隔、美化、挡风等作用．如图是一个屏芯长、宽的矩形黄花梨小座屏风示意图，屏芯周围被边框宽度相同的屏框包围．若整个屏风的面积为，求屏框的宽度．
变式1．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米．
(1)__________米（用含的代数式表示）；
(2)若饲养场面积为160平方米，求木栏的长．
变式2．（26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）现对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为．
(1)天头长为___________；（用含的代数式表示）
(2)若装裱后作品的总面积为，求右边宽．
考点四 动态几何问题
动态几何问题解题技巧
（1）设运动时间为 ，用”速度 × 时间”表示动点走过的路程，再结合边长表示相关线段。
（2）先确定动点的运动范围和时间分界点（到达顶点的时刻），必要时分段讨论。
（3）结合面积公式、勾股定理或相似关系，建立关于 的一元二次方程。
（4）求出的 必须落在该段运动的时间范围内，超出范围的根舍去。
（5）注意”同时出发”“相距”“重合”等条件，通过画临界位置图辅助分析。
例1．（26-27九年级上·吉林·阶段检测）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿向终点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒.
(1)填空：，___________（用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由.
例2．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿边以的速度向点运动，同时点从点出发沿边以的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一点也同时停止，设运动的时间为．
(1)填空：________，________（用含的代数式表示），的取值范围为_______．
(2)当为何值时，的面积为？
变式1．（26-27九年级上·湖南湘西·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发以的速度向点移动．设运动时间为秒．
(1)用含t的式子表示线段：，则__________ ， __________，__________．
(2)当时，的面积为__________；
(3)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能，请说明理由；
变式2．（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，，，，为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动．当点P到达点B时，点Q也停止运动．
(1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？
(2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是？
(3)直接写出P，Q两点从出发开始到几秒时，点P，Q，D组成的三角形是等腰三角形．
考点五 握手、循环赛问题
握手、循环赛问题解题技巧
（1）两两握手、单循环赛不重复计数，用 。
（2）互送贺卡、双循环（主客场）有方向性，用 ，注意是否除以 2。
（3） 边形对角线问题：每个顶点连 条，去重后为 。
（4）看到”每两人之间”“每两队之间”的表述，先判断有无重复计算再选公式。
（5）解出的 必须是正整数，负根和非整数根一律舍去。
例1．（26-27九年级上·甘肃临夏·阶段检测）某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图所示的是小米和小诚对比赛总场数的统计．
(1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明；
(2)赛后经查询，小米的统计正确．因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛．
例2．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）2026年江西省城市足球超级联赛（简称“赣超”）的常规赛阶段，每两支球队之间都要进行1场比赛，共要比赛55场，求参加2026年“赣超”的球队数量．
变式1．（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）某中学九年级（3）班毕业前，每位同学都要向其他每位同学赠送一张自制的纪念卡片，全班共送出纪念卡片张．
(1)求该班的人数；
(2)若该班同学两两之间相互握手一次，共握手多少次？
变式2．（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）在“九月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，求参加小组赛的球队有多少支？
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