精品解析：江西九江市永修县第三中学等校2026-2027学年度九年级上学期期中考试数学试卷

2026-2027学年度上学期期中考试试卷九年级数学 考生须知： 1、全卷满分120分，考试时间120分钟； 2、试卷和答题卡都要写上班级、姓名； 3、请将答案写在答题卡上的相应位置上，否则不给分． 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 下列各组线段中是成比例线段的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm，4cm B. 1cm，2cm，2cm，3cm C. 3cm，5cm，9cm，13cm D. 1cm，2cm，2cm，4cm 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，判断四条线段是否成比例，可通过检查最小线段与最大线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，据此判断即可． 【详解】解：在A中，最小线段1cm与最大线段4cm的乘积为，中间线段2cm与3cm的乘积为，，故 A不成比例； 在B中，最小线段1cm与最大线段3cm的乘积为，中间线段2cm与2cm的乘积为，，故 B不成比例； 在C中，最小线段3cm与最大线段13cm的乘积为，中间线段5cm与9cm的乘积为，，故 C不成比例； 在D中，最小线段1cm与最大线段4cm的乘积为，中间线段2cm与2cm的乘积为，，故 D成比例， 故选D． 2. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A. 0 B. 8 C. D. 0或8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程有两个相等的实数根，则，据此得出关于m的方程，求解即可得出答案． 【详解】方程有两个相等的实数根， ， 解得，， 故选：D． 3. 是关于的一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是（　　　） A. 5 B. －5 C. 4 D. －4 【答案】B 【解析】 【详解】设方程的另一根为，由根据根与系数的关系可得：⋅1=−5， ∴=−5.故选B. 4. 一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A. 100(1+x)=121 B. 100(1-x)=121 C. 100(1+x)2=121 D. 100(1-x)2=121 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，可列方程为：100(1+x)2=121， 故答案为：C 5. 如图，三角形ABC中，D、E、F分别是AB，AC，BC上的点，且，，AD：DB＝1：2，BC＝30cm，则FC的长为（ ） A. 10cm B. 20cm C. 5cm D. 6cm 【答案】B 【解析】 【分析】先由，得出四边形BDEF是平行四边形，那么BF＝DE，再由AD：DB＝1：2，得出AD：AB＝1：3．由，根据平行线分线段成比例定理得出DE：BC＝AD：AB＝1：3，将BC＝30cm代入求出DE的长，即可得FC的长． 【详解】解：∵，， ∴四边形BDEF是平行四边形， ∴BF＝DE， ∵AD：DB＝1：2， ∴AD：AB＝1：3， ∵， ∴DE：BC＝AD：AB＝1：3，即DE：30＝1：3， ∴DE＝10cm， ∴BF＝10cm， ∴（cm），故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，比例的性质，难度不大，得出BF＝DE，利用转化思想是解题的关键． 6. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接，连接，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明为等边三角形，可得，再由勾股定理求出，然后证明四边形为矩形，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 如果线段成比例，且，则d=________． 【答案】3.6 【解析】 【详解】根据题意得：,即，解得：d=3.6.故答案为3.6. 8. 边长为的菱形，一条对角线长是，则菱形的面积是______． 【答案】##24平方厘米 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的性质．根据菱形对角线垂直且互相平分，即可得出菱形的另一条对角线的长，再利用菱形的面积公式求出即可． 【详解】解：如图所示： 设菱形中，对角线， ∵四边形是菱形，对角线， ∴， ， ， ∴菱形的面积为∶．        故答案为：． 9. 若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是________． 【答案】 【解析】 【分析】相似三角形的周长比等于对应边的比，结合已知的周长比可直接得到结果． 【详解】解：∵两个相似三角形周长的比为， ∴这两个相似三角形的对应边的比等于其周长比，即． 10. 如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为_____． 【答案】8 【解析】 【详解】如图： 设正方形的边长为a, 则2a²=(2)²， 解得a=2， 翻折变换的性质可知AD=A′B′,A′H=AH,B′G=DG， 阴影部分的周长=A′B′+(A′H+BH)+BC+(CG+B′G)=AD+AB+BC+CD=2×4=8， 故答案为8． 【点睛】本题考查的是翻折变换质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 11. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，进而结合已知条件求出的值是解题的关键；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图正方形边长为2，为边中点，为射线上一点不与重合），若为直角三角形，则__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况：①如图1，当时，在正方形的内部，先根据直角三角形斜边中线的性质得的长，利用勾股定理得的长，从而可解答；②如图2，当时，在正方形的外部，同理可解答；③如图3，当时，证明，可得，从而可解答． 【详解】解：分三种情况： ①如图1，当时，在正方形的内部， 是的中点，且， ， 四边形是正方形， ，， ， ； ②如图2，当时，在正方形的外部， 同理可得； ③如图3，当时， ，，， ， ， ， 综上，的长是或或； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是运用分类讨论的思想解决问题，并正确画图，不要丢解． 三、解答题（每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【小问1详解】 解：整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：因式分解得， ∴或， 解得，． 14. 已知矩形ABCD，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（不写作法） （1）如图1，点P为CD的中点，画出AB的垂直平分线l． （2）如图2，在矩形ABCD中，以对角线AC为一边构造一个正方形ACFE，画出EF的中点M． 【答案】 如图 【解析】 【详解】分析：（1）连接AC、BD，相较于点O，则O是AC的中点，所以PO是△BCD的中位线，从而可证PO⊥AB； （2）连接BD交AC于点G，则G是AC的中点；连接AF、CE，相较于点H，则H是AF的中点，从而GH是△ACE的中位线，继而可得GH垂直平分AC. 点睛：本题考查了学生的作图能力及矩形的性质、正方形的性质、三角形的中位线等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 15. 如图，延长平行四边形的边到点E，使，连接交于点F，连接，．若，求证：四边形是矩形． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】先根据，证明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一证明，推出，即可证明四边形是矩形． 【详解】略 16. 已知，若，求，，的值． 【答案】 【解析】 【分析】设，构造方程即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴． 17. 如图，在和中，已知，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：在和中， ∵． ∴， ∴． ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质： （1）根据题意得，根据两角相等即可判定相似； （2）根据面积比等于相似比的平方即可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，且， ∴， ∵， ∴． 四、解答题（每小题8分，共24分） 18. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的减价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降元，商场平均每天可多售出件．若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元？这时应进货多少件？ 【答案】每件衬衫应降价元，进货件． 【解析】 【分析】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可． 【详解】设每件衬衫应降价x元． 根据题意,得(44−x)(20+5x)=1600， 解得x1=4,x2=36. ∵“扩大销售量，减少库存”， ∴x1=4应略去， ∴x=36. 20+5x=200. 答：每件衬衫应降价36元，进货200件. 【点睛】考查了一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键. 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，则k的值为 ； （2）若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ； （3）若方程的两根满足，求k的值． 【答案】（1） （2）且 （3）1 【解析】 【分析】（1）将代入原方程即可求解； （2）根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于k的不等式，据此可解决问题； （3）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入方程可得：， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意得：且， ∴， ∴， 则且； 【小问3详解】 解：由题可得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴． 20. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N． （1）求证：△ABM∽△EFA； （2）若AB=12，BM=5，求DE的长． 【答案】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC， ∴∠AMB=∠EAF， 又∵EF⊥AM， ∴∠AFE=90°， ∴∠B=∠AFE， ∴△ABM∽△EFA； （2）4.9 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论； （2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长． 【详解】解：（1）略 （2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5， ∴AM==13，AD=12， ∵F是AM的中点， ∴AF=AM=6.5， ∵△ABM∽△EFA， ∴， 即， ∴AE=16.9， ∴DE=AE－AD=4.9． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 五、解答题（每小题9分，共18分） 21. 已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根． （1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根 （2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （3）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ 【答案】 （1）证明：∵关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0，△＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2 ∵（m﹣1）2≥0 ∴无论m取何值方程总有两个实数根； （2）m＝1，菱形的边长为； （3）平行四边形ABCD的周长为5． 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式求出△的符号进而得出答案； （2）利用菱形的性质以及一元二次方程的解法得出答案； （3）将AB＝2代入方程解得m＝，进而得出x的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB＝BC即（m﹣1）2＝0， ∴m＝1代入方程得： ∴ ∴x1＝x2＝， 即菱形的边长为； （3）解：将AB＝2代入方程x2﹣mx+﹣＝0， 解得：m＝， 将代入方程，x2﹣mx+﹣＝0， 解得：x1＝2，x2＝， 即BC＝， 所以平行四边形ABCD的周长为2+2+＝5． 【点睛】考查了一元二次方程的解法以及菱形的性质和根的判别式等知识，得出m的值是解题关键． 22. 如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B'，折痕为CE．直线CE的关系式是y=﹣x+8，与x轴相交于点F，且AE=3． （1）求OC长度； （2）求点B'的坐标； （3）求矩形ABCO的面积． 【答案】（1）8；（2）点B′的坐标为（0，6）；（3）80. 【解析】 【详解】分析：（1）在直线y=-x+8中令x=0可求得C点坐标，则可求得OC长度；（2）由折叠的性质可求得B′E，在Rt△AB′E中，可求得AB′，再由点E在直线CF上，可求得E点坐标，则可求得OA长，利用线段和差可求得OB′，则可求得点B′的坐标；（3）由（1）、（2）可求得OC和OA，可求得矩形ABCO的面积． 本题解析：（1）∵ 直线与轴交于点为C ∴ 令，则 ∴ 点C（0，8） ∴ OC＝8 （2）在矩形OABC中，AB＝OC＝8，∠A＝90° ∵ AE＝3 ∴ BE＝AB－BE＝8－3＝5 ∵是△CBE沿CE翻折得到的 ∴ EB/＝BE＝5 在Rt△AB/E中，＝ ∵ 点E在直线上，∴ 设E（，3） ∴ ∴ ∴ OA＝10 ∴ OB/＝OA－AB/＝10－4＝6 ∴ 点B/的坐标为（0，6） （3）由（1），（2）知OC＝8，OA＝10 ∴ 矩形ABCO的面积为：OC×OA＝8×10＝80. 点睛：本题为一次函数的综合应用，涉及直线与坐标轴的交点、轴对称的性质、勾股定理、矩形的性质及方程思想等知识点．在（1）中注意求与坐标轴交点的方法，在（2）中求得E点坐标是解题的关键．本题涉及知识点不多，综合性不强，难度不大，较容易得分． 六、综合题（共12分） 23. 如图，矩形中，，点P从点A出发沿向点B移动（不与点A、B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿向点D移动（不与点C、D重合）．运动时间设为t秒． （1）若点P、Q均以的速度移动，则： ； ．（用含t的代数式表示） （2）若点P为的速度移动，点Q以的速度移动，经过多长时间，使为等腰三角形？ （3）若点P、Q均以的速度移动，经过多长时间，四边形为菱形． 【答案】（1）， （2）经过时，，为等腰三角形 （3）经过时，四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）根据路程、速度、时间的关键即可解答； （2）如图：过P作于点E，利用等腰三角形三线合一的性质，据此列方程求解即可； （3）当时，四边形是菱形，然后列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点P、Q均以的速度移动， ∴． 故答案为 ，． 【小问2详解】 解：如图：过点P作于点E， ∴， ∵， ∴， 在矩形中， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴当时，，为等腰三角形． 【小问3详解】 解：在矩形中，，依题知， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴， 解得：t＝ ∴当时，四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了动点问题、菱形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识点，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期期中考试试卷九年级数学 考生须知： 1、全卷满分120分，考试时间120分钟； 2、试卷和答题卡都要写上班级、姓名； 3、请将答案写在答题卡上的相应位置上，否则不给分． 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 下列各组线段中是成比例线段的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm，4cm B. 1cm，2cm，2cm，3cm C. 3cm，5cm，9cm，13cm D. 1cm，2cm，2cm，4cm 2. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A. 0 B. 8 C. D. 0或8 3. 是关于的一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是（　　　） A. 5 B. －5 C. 4 D. －4 4. 一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A. 100(1+x)=121 B. 100(1-x)=121 C. 100(1+x)2=121 D. 100(1-x)2=121 5. 如图，三角形ABC中，D、E、F分别是AB，AC，BC上的点，且，，AD：DB＝1：2，BC＝30cm，则FC的长为（ ） A. 10cm B. 20cm C. 5cm D. 6cm 6. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接，连接，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 如果线段成比例，且，则d=________． 8. 边长为的菱形，一条对角线长是，则菱形的面积是______． 9. 若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是________． 10. 如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为_____． 11. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为______． 12. 如图正方形边长为2，为边中点，为射线上一点不与重合），若为直角三角形，则__________． 三、解答题（每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1） （2） 14. 已知矩形ABCD，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（不写作法） （1）如图1，点P为CD的中点，画出AB的垂直平分线l． （2）如图2，在矩形ABCD中，以对角线AC为一边构造一个正方形ACFE，画出EF的中点M． 15. 如图，延长平行四边形的边到点E，使，连接交于点F，连接，．若，求证：四边形是矩形． 16. 已知，若，求，，的值． 17. 如图，在和中，已知，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 四、解答题（每小题8分，共24分） 18. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的减价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降元，商场平均每天可多售出件．若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元？这时应进货多少件？ 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，则k的值为 ； （2）若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ； （3）若方程的两根满足，求k的值． 20. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N． （1）求证：△ABM∽△EFA； （2）若AB=12，BM=5，求DE的长． 五、解答题（每小题9分，共18分） 21. 已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根． （1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根 （2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （3）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ 22. 如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B'，折痕为CE．直线CE的关系式是y=﹣x+8，与x轴相交于点F，且AE=3． （1）求OC长度； （2）求点B'的坐标； （3）求矩形ABCO的面积． 六、综合题（共12分） 23. 如图，矩形中，，点P从点A出发沿向点B移动（不与点A、B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿向点D移动（不与点C、D重合）．运动时间设为t秒． （1）若点P、Q均以的速度移动，则： ； ．（用含t的代数式表示） （2）若点P为的速度移动，点Q以的速度移动，经过多长时间，使为等腰三角形？ （3）若点P、Q均以的速度移动，经过多长时间，四边形为菱形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $