精品解析：江西九江外国语学校2026-2027学年九年级上学期10月期中数学试题

九江外国语学校2026-2027学年度上学期第二次综合练习 九年级 数学 考试时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，由此即可完成解答．本题考查了一元二次方程的各项系数，理解一元二次方程的概念是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项． ∴对于方程， 其二次项系数、一次项系数、常数项依次为． 故选：B． 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 四条边相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，原命题条件不足，为假命题． B．对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题． C．四条边相等的四边形是菱形，不是矩形，为假命题． D．对角线互相平分、垂直且相等的四边形才是正方形，原命题条件不足，为假命题． 3. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可． 【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3， ∴. ∵AB=5，BC=6，EF=4， ∴. ∴DE=. 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 4. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了36次手．设参加此次会议的人数为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：设参加此次会议的人数为． ∵每个人需与其余人握手， ∴所有握手的总计数为． ∵每两人之间的握手仅算1次，存在重复计数， ∴实际总握手次数为． 由题意得． 5. 如果把一个的三边都扩大到原来的2倍，那么的（ ） A. 周长扩大2倍 B. 面积扩大2倍 C. 对应角扩大2倍 D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】根据周长比等于相似比、面积比是相似比的平方即可求出． 【详解】解：把一个的三边都扩大到原来的2倍，原三角形与扩大后的三角形相似，相似比为， 相似三角形的周长比等于相似比，因此周长会扩大到原来的2倍，选项A说法正确； 相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此面积应该扩大到原来的4倍，不是2倍，选项B说法错误； 相似三角形的对应角大小完全相等，角度不会随边长放大而变化，选项C说法错误． 6. 如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程与图形有关的应用，解此题的关键在于将等腰三角形拆解拼成另一个没有缝隙的矩形，再利用面积相等得到相关边的长度关系．如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，根据题意得，求出，进而求出正方形的边长与等腰三角形的底边长的比，再根据面积为4求得，得，求出即可． 【详解】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形， 根据题意，得， ∴， 解得： (负值舍去)， ∴正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为： ， ∵将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形， ∴，即：， ∴，即：． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 关于x的方程有一个根是1，则k的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】将代入，即可求解． 【详解】解： 1是的一个根， ， 解得：， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，解题的关键是理解一元二次方程的根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根． 8. 中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段与全长的比值为，结合图形判断出为较长线段，代入的长度进行计算即可． 【详解】解：点为线段的黄金分割点，且由图可知 为较长线段 ． 9. 已知，是一元二次方程的两根，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用方程根的定义得到，结合根与系数的关系得到两根之和，通过整体代入化简计算代数式的值． 【详解】解：是一元二次方程的根， ，即， ，是方程的两根， 由根与系数的关系得， ． 10. 如图，将两条等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成四边形．若，两点间的距离为2，，两点间的距离为4，则四边形的面积为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】由纸条两边平行，先得到四边形是平行四边形，利用纸条等宽，结合平行四边形面积相等推出邻边相等，推出四边形是菱形，菱形对角线互相垂直，代入对角线长，用对角线乘积一半求面积． 【详解】解：如图，连接、， 由题意得，，，， 四边形是平行四边形， 两条纸条等宽，设纸条宽为， 四边形的面积为，也为， ， ， 四边形是菱形， ， 四边形的面积为． 11. 如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别为边的中点，连接，相交于点O，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，菱形的性质，解题的关键是作出辅助线证明四边形是菱形． 连接，，，，根据中位线定理得到，即可得到四边形是菱形，结合菱形对角线互相垂直及勾股定理即可得到答案． 【详解】解：连接，，，，如图所示，设与的交点为O， E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，． 又∵， ∴． ∴四边形是菱形． ∴． ∴的值为． 故答案为：． 12. 在矩形中，，，点在边上，点在边上，且．当的长为整数时，的长为___． 【答案】或或 【解析】 【分析】连接，作交于，根据矩形的性质和勾股定理，求出的取值范围，从而得出或3，分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，作交于， 矩形， ，， ，即， 四边形是矩形， ，， ， ， 在中，，， ， 点在边上，点在边上， ， 的长为整数， 或3， 当时，则，即点E与点M重合， ，即， 点E是的中点， ； 当时， 在中，， 如图1，， ，则； 如图2，， ，则； 综上所述：的长为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：由， 移项得， 提取公因式得， 可得或， 解得，． 【小问2详解】 由， 因式分解得， 可得或， 解得，． 14. 已知，且，求，，的值． 【答案】x=4，y=6，z=8． 【解析】 【分析】设，得出x=2k，y=3k，z=4k，代入2x+3y-z=18即可求出k，再求出答案即可． 【详解】设， 则x=2k，y=3k，z=4k， ∵2x+3y-z=18， ∴4k+9k-4k=18， 解得：k=2， 即x=4，y=6，z=8． 【点睛】此题考查比例的性质，能得出关于k的方程是解题的关键． 15. 如图，是的对角线，点，是上的点，且，，求证：四边形是矩形． 【答案】证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】证明，可得，从而得到，进而得到，可得到四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】略 16. 如图，在正方形中，是的中点，射线交于点，．请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图（1）中，作出线段的中点； （2）在图（2）中，以线段的中点为顶点作一个菱形． 【答案】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：如图，菱形即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接交于点即可； （2）连接并延长交于点，连接并延长交于点，依次连接，，，四边形即为所求． 【小问1详解】 证明：连接交于点，连接交于点， ∵是正方形， ∴， 又是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 即点是线段的中点． 【小问2详解】 证明：连接并延长交于点，连接并延长交于点，依次连接，，， 则点是线段的中点， ∵， ∴设正方形边长为， 则，． ∴， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 17. 某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． （1）__________米（用含的代数式表示）； （2）若饲养场面积为160平方米，求木栏的长． 【答案】（1） （2）10米 【解析】 【分析】（1）用总长加上两个门宽再减去2个的长，列出代数式即可； （2）根据矩形的面积公式列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：米； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， ∵位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米， ， 解得：， ∴， 即木栏的长为10米． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于的一元二次方程． （1）当为何值时，方程有实数根； （2）设，是该方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】（1） 当时，方程有实数根 （2） 的值为 【解析】 【分析】（1）方程有实数根，，解不等式即可； （2）将转化为，根据根与系数的关系得到，，代入解一元二次方程即可，同时k满足（1）． 【小问1详解】 解：在方程中， ，，， ， 方程有实数根， ， ； 【小问2详解】 ，是该方程的两个实数根， ； 由根与系数的关系可得：，， ， ， ， ， 或， （舍去），， 答：的值为． 19. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm. 点P从点A出发，沿AB边以2 cm/s的速度向点B匀速移动；点Q从点B出发，沿BC边以1 cm/s的速度向点C匀速移动， 当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t(s). （1）当PQ∥AC时，求t的值； （2）当t为何值时，△PBQ的面积等于cm 2. 【答案】（1）t=；（2）当t为2s或3s时，△PBQ的面积等于cm 2. 【解析】 【分析】（1）根据PQ∥AC得到△PBQ∽△ABC，列出比例式即可求解； （2）解法一：过点Q作QE⊥AB于E，利用△BQE∽△BCA，得到，得到QE=t，根据S△PBQ =BP·QE=列出方程即可求解； 解法二：过点P作PE⊥BC于E，则PE∥AC，得到△BPE∽△BAC，则，求出PE=(10-2t).，利用S△PBQ =BQ·PE=列出方程即可求解. 【详解】（1）由题意得，BQ= tcm，AP=2 cm，则BP=（10—2t）cm 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm ∵ PQ∥AC， ∴ △PBQ∽△ABC， ∴ ，即 ， 解得 t=. （2）解法一: 如图3，过点Q作QE⊥AB于E，则∠QEB =∠C=90°. ∵ ∠B =∠B,∴ △BQE∽△BCA， ∴ ，即 ， 解得 QE=t. ∴ S△PBQ =BP·QE=， 即·(10-2t)·t =. 整理，得t2-5t+6=0. 解这个方程，得t1=2，t2=3. ∵ 0＜t＜5，∴ 当t为2s或3s时，△PBQ的面积等于cm 2. 解法二：过点P作PE⊥BC于E，则PE∥AC（如图4）. ∵ PE∥AC. ∴ △BPE∽△BAC， ∴ ，即 ， 解得 PE=(10-2t). ∴ S△PBQ =BQ·PE=， 即·t·(10-2t)= 整理，得t2-5t+6=0. 解这个方程，得t1=2，t2=3. ∵ 0＜t＜5， ∴ 当t为2s或3s时，△PBQ的面积等于cm 2. 【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理、适当构造辅助线进行求解. 20. 奔赴苍穹，逐梦九天，神舟二十号开创了中国航天的新里程，航天员出舱安装防护装置取得圆满成功．某航模商店为了弘扬中国航天精神，特推出神舟系列航空模型，已知该模型平均每天可售出200个，平均每个可盈利40元，为了扩大销售增加盈利，并且尽可能让顾客得到实惠，该店决定准备适当降价，经过测算发现每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出20个． （1）若设每个模型降价元，平均每天可售出___________个： （2）要使该模型平均每天销售利润达12000元，每个模型应降价多少元？ （3）该商店平均每天销售利润能达到12800元吗？请用你所学过的一元二次方程或者是二次函数的知识分析，并写出你的理由． 【答案】（1） （2） 应降价20元 （3） 不可能达到12800元 【解析】 【分析】该题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是列出对应函数式，根据题意进行解答； （1）根据“平均每天可售出200个，售价每降低1元，平均每天可多售出20个”即可求解； （2）根据“每天的利润=降价后每个模型利润×每天售出数量”解答即可； （3）结合（2）中的配方解答即可； 【小问1详解】 由题干，每降价1元，每天可多售20个， 故：降价元，平均每天可售个， 【小问2详解】 由于未降价前每天售出200个，故降价后，每天售出个； 由于降价前每个模型利润为40元，故降价后，每个模型利润为元， 故每天的利润， 由题干，即得方程：， 解得：，或， 要使顾客优惠程度更大，应降价力度更大， 故应降价20元； 【小问3详解】 由（2）即得： 每天的利润， 配方，即得：， 故的最大值为12500，即不可能达到12800元． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ，， ，即的最小值是1． 利用“配方法”解决下列问题： （1）当__________时，代数式有最小值，最小值为__________； （2）求代数式的最大值； （3）如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用配方法化简计算即可； （2）利用配方法化简计算即可； （3）表示出四边形的面积，再利用配方法求解即可； 【小问1详解】 ， 当，即时，代数式有最小值为． 【小问2详解】 ， ， ， ， 代数式的最大值为． 【小问3详解】 ， ， ， 设，则， 由图可得 ， ， ， ， 四边形面积的最大值为． 22. 在学习了“特殊的平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据以上定义，回答下列问题： （1）下列关于“双直四边形”的说法，正确的有_______（把所有正确的序号都填上）； ①“双直四边形”的对角线不可能相等： ②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半； ③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形． （2）如图①，正方形中，点、分别在边、上，连接，，，，线段、于点O，若，证明：四边形为“双直四边形”； （3）如图②，在平面直角坐标系中，已知点，，点在线段上，且，在第一象限内，是否存在点，使得四边形为“双直四边形”，若存在；请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）②③ （2） 证明：如图，设与的交点为， ∵四边形是正方形， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为“双直四边形”． （3）存在，点的坐标或 【解析】 【分析】（1）由“双直四边形”的定义依次判断即可． （2）设的交点为点，先根据SAS证明 ，于是得，再证明，即可得 ，由此得四边形为“双直四边形”． （3）先求出的解析式，再分三种情况讨论：，，，分别求出点D的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵正方形是“双直四边形”，正方形的对角线相等． 故①不正确． ∵“双直四边形”的对角线互相垂直， ∴“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半． 故②正确． ∵中心对称的四边形是平行四边形，对角线互相垂直且有一个角是直角的平行四边形是正方形． ∴若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形． 故③正确． 故答案为：②③； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：假设存在点在第一象限，使得四边形为“双直四边形”． 如图，设的交点为 ∵，， ， 即， ， 解得， ， 是的中点， ， 设直线的解析式为则 解得 ∴直线的解析式为 设， ①当时，则， ， 则； ②当时， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 此时点坐标还是； ③当时， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ∵，， ∴， ∴， 整理得， ， 当时，， 此时在第四象限，不符合题意． 当时，， 此时在第一象限，符合题意． 综上，或． 【点睛】本题是一道四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数等知识，综合性较强，题目难度较大．熟练掌握以上知识以及分类讨论思想是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【观察与猜想】 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，若，则和的数量关系是______； 如图2，在矩形中，，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，若，则和的数量关系是______． 【类比探究】 （2）如图3，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，当时，求证：； 小颖同学通过对比图2，发现图3中和并不相似，经过思考，提出了如下问题：能否构造以和为对应边的相似三角形来转化呢？ 请你根据小颖的思考完成证明，也可以用其他思路完成证明； 【拓展延伸】 （3）如图4，在四边形中，，，E是上的点，，连接，，，，点F在边上，连接与交于点O，当时，求的值． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形和矩形的性质，证明三角形全等和相似即可； （2）以点C为圆心、为半径画弧，交于点G，则，利用平行四边形的性质以及三角形内角和定理得出相等的角，证明，即可得出结论； （3）过点D作的平行线，交的延长线于点G，作，交于点M，在上截取，连接，，得出相等的边，设，表示出相关线段的长度，根据线段的数量关系列出方程求解． 【小问1详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，以点C为圆心、为半径画弧，交于点G，则， ， 由四边形是平行四边形得，， ， ， ，， ， ， ， 即 ； 【小问3详解】 解：如图所示，过点D作的平行线，交的延长线于点G，作，交于点M，在上截取，连接， ∴四边形是平行四边形，， ， ， ，， 由（2）得，即， ， ， 是等边三角形，，， ， ， ， ， ， ， ，， ∵四边形是平行四边形，， ， 设，则，，，， ， 解得， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江外国语学校2026-2027学年度上学期第二次综合练习 九年级 数学 考试时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 四条边相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 3. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 4. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了36次手．设参加此次会议的人数为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果把一个的三边都扩大到原来的2倍，那么的（ ） A. 周长扩大2倍 B. 面积扩大2倍 C. 对应角扩大2倍 D. 以上都有可能 6. 如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 关于x的方程有一个根是1，则k的值为_______． 8. 中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 9. 已知，是一元二次方程的两根，则的值为_________． 10. 如图，将两条等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成四边形．若，两点间的距离为2，，两点间的距离为4，则四边形的面积为__________． 11. 如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别为边的中点，连接，相交于点O，则的值为___________． 12. 在矩形中，，，点在边上，点在边上，且．当的长为整数时，的长为___． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 已知，且，求，，的值． 15. 如图，是的对角线，点，是上的点，且，，求证：四边形是矩形． 16. 如图，在正方形中，是的中点，射线交于点，．请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图（1）中，作出线段的中点； （2）在图（2）中，以线段的中点为顶点作一个菱形． 17. 某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． （1）__________米（用含的代数式表示）； （2）若饲养场面积为160平方米，求木栏的长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于的一元二次方程． （1）当为何值时，方程有实数根； （2）设，是该方程的两个实数根，且，求的值． 19. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm. 点P从点A出发，沿AB边以2 cm/s的速度向点B匀速移动；点Q从点B出发，沿BC边以1 cm/s的速度向点C匀速移动， 当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t(s). （1）当PQ∥AC时，求t的值； （2）当t为何值时，△PBQ的面积等于cm 2. 20. 奔赴苍穹，逐梦九天，神舟二十号开创了中国航天的新里程，航天员出舱安装防护装置取得圆满成功．某航模商店为了弘扬中国航天精神，特推出神舟系列航空模型，已知该模型平均每天可售出200个，平均每个可盈利40元，为了扩大销售增加盈利，并且尽可能让顾客得到实惠，该店决定准备适当降价，经过测算发现每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出20个． （1）若设每个模型降价元，平均每天可售出___________个： （2）要使该模型平均每天销售利润达12000元，每个模型应降价多少元？ （3）该商店平均每天销售利润能达到12800元吗？请用你所学过的一元二次方程或者是二次函数的知识分析，并写出你的理由． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ，， ，即的最小值是1． 利用“配方法”解决下列问题： （1）当__________时，代数式有最小值，最小值为__________； （2）求代数式的最大值； （3）如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 22. 在学习了“特殊的平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据以上定义，回答下列问题： （1）下列关于“双直四边形”的说法，正确的有_______（把所有正确的序号都填上）； ①“双直四边形”的对角线不可能相等： ②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半； ③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形． （2）如图①，正方形中，点、分别在边、上，连接，，，，线段、于点O，若，证明：四边形为“双直四边形”； （3）如图②，在平面直角坐标系中，已知点，，点在线段上，且，在第一象限内，是否存在点，使得四边形为“双直四边形”，若存在；请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【观察与猜想】 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，若，则和的数量关系是______； 如图2，在矩形中，，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，若，则和的数量关系是______． 【类比探究】 （2）如图3，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，当时，求证：； 小颖同学通过对比图2，发现图3中和并不相似，经过思考，提出了如下问题：能否构造以和为对应边的相似三角形来转化呢？ 请你根据小颖的思考完成证明，也可以用其他思路完成证明； 【拓展延伸】 （3）如图4，在四边形中，，，E是上的点，，连接，，，，点F在边上，连接与交于点O，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $