第14章 全等三角形 易错精练卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第14章 全等三角形 易错精练卷 （2026—2027学年　人教版　八年级数学上册）　参考答案与解析 先独立完成，再逐题核对；错题记入诊断表后只重做错点 班级________　姓名________　学号________　得分________ 易错点 1　对应关系 例1　（1）由 △ABC≌△DEF 得 B↔E、C↔F，所以 BC＝EF＝10，BE＝BC−EC＝10−6＝4。（3分）（2）CF＝EF−EC＝4，BF＝BE＋EC＋CF＝4＋6＋4＝14（或 BF＝BC＋EF−EC＝10＋10−6＝14）。错解把重叠的 EC 加了两次。（3分） 练1　∠C＝180°−52°−68°＝60°，∠F 与 ∠C 对应，∠F＝60°；AB 与 DE 对应，AB＝DE＝8。 练2　△ABC≌△ADE 中 A↔A、B↔D、C↔E，所以 AD＝AB＝5，AE＝AC＝4，∠BAC 的对应角是 ∠DAE。 易错点 2　SSA 不是判定 例2　不正确。如图，△ABC 与 △ABD 中，AB 是公共边，AC＝AD（两边），∠B 是公共角（正是 AC、AD 的对角），满足“两边及其中一边的对角相等”，但两个三角形形状不同、并不全等。原因：以 A 为圆心、AC 长为半径作弧，与射线 BC 交于 C、D 两点——SSA 条件下第三边的端点不唯一，这就是它不能作判定的几何原因。（判断2分，理由3分） 练1　选 B。AB 是 ∠A 与 ∠B 的夹边，DE 是 ∠D 与 ∠E 的夹边，符合 ASA。A、C 中已知角是其中一边的对角，属 SSA；D 是 AAA，只能保证形状相同。 练2　添法一：BC＝EF，用 SAS（BC、EF 是 ∠B、∠E 的夹边）；添法二：∠A＝∠D，用 ASA（AB、DE 是 ∠A、∠B 与 ∠D、∠E 的夹边）；也可添 ∠C＝∠F，用 AAS。不能添 AC＝DF：AC、DF 是 ∠B、∠E 的对边，属 SSA，不能判定全等。 易错点 3　SAS 的边必须是夹边 例3　不正确。AC、DF 分别是 ∠B、∠E 的对边而不是夹边，三组条件实为 SSA，不能判定全等。改法一：把 AC＝DF 改为 BC＝EF，BC、EF 是 ∠B、∠E 的夹边，用 SAS；改法二：把 ∠B＝∠E 改为 ∠A＝∠D，AB、AC 与 DE、DF 是 ∠A、∠D 的夹边，用 SAS。（判断2分，理由2分，两种改法各2分） 练1　BC＝EF 时用 SAS（BC、EF 是 ∠B、∠E 的夹边）；当 ∠A＝∠D 时用 ASA（AB、DE 分别是 ∠A 与 ∠B、∠D 与 ∠E 的夹边）；只知道 AC＝DF＝4 时不能判定全等，因为属 SSA。 练2　错误：BC、DE 不是 ∠BAC、∠DAE 的夹边（夹角两边应是 AB、AC 与 AD、AE），属 SSA。改法：把 BC＝DE 改为 AC＝AE，此时 AB＝AD、∠BAC＝∠DAE、AC＝AE，用 SAS 可证 △ABC≌△ADE。 易错点 4　HL 的规范使用 例4　∵∠B＝∠E＝90°，∴△ABC 与 △DEF 都是直角三角形。在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，AC＝DF（斜边），AB＝DE（直角边），∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。书写三要点：标 Rt△；括号内写 HL；斜边在前、直角边在后。 练1　∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°。在 Rt△ABE 和 Rt△ECD 中，AE＝DE（斜边），AB＝EC（直角边），∴Rt△ABE≌Rt△ECD（HL）。（4分）由全等得 ∠AEB＝∠EDC。在 Rt△ECD 中 ∠EDC＋∠DEC＝90°，所以 ∠AEB＋∠DEC＝90°，而 ∠AEB＋∠AED＋∠DEC＝180°，故 ∠AED＝90°。（4分） 练2　参考答案（写出两种即可）：①AC＝BD，HL（AB 是公共斜边）；②BC＝AD，HL；③∠CAB＝∠DBA，AAS（∠C＝∠D＝90°，AB 公共）；④∠CBA＝∠DAB，AAS。 易错点 5　面积、周长推不出全等 例5　（1）相等。两个三角形同底 BC，顶点 A、D 都在 l1 上，高都等于平行线 l1 与 l2 之间的距离，底相同、高相同，面积相等。（3分）（2）不正确。△ABC 与 △DBC 面积相等，但 AB≠DB、形状不同，不全等。所以“面积相等”推不出“全等”；同理周长相等也推不出全等，如三边为 2、3、4 与 3、3、3 的三角形周长都是 9 但不全等。（3分） 练1　AC＝22−7−9＝6；DF 与 AC 对应，DF＝6；EF 与 BC 对应，EF＝9。 练2　∠C＝180°−50°−60°＝70°，∠F＝∠C＝70°；全等三角形面积相等，△DEF 的面积为 12。 易错点 6　“距离”是垂线段 例6　（1）∵OC 平分 ∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD＝4（角平分线上的点到角两边的距离相等）。（3分）（2）不对。P 到 OB 的距离是垂线段 PE 的长，PQ 与 OB 不垂直，PQ＞PE，它不是距离。（2分） 练1　∵AD 平分 ∠BAC，DC⊥AC（∠C＝90°），DE⊥AB，∴DE＝CD＝3；BD＝BC−CD＝8−3＝5。 练2　过点 P 作 PH⊥BC 于 H。∵BP 平分 ∠ABC，PF⊥AB，PH⊥BC，∴PF＝PH；∵CP 平分 ∠ACB，PG⊥AC，PH⊥BC，∴PG＝PH。∴PF＝PG。（也可以分别证 △BFP≌△BHP、△CGP≌△CHP，用 AAS。） 易错点 7　条件写全、格式规范 例7　在 △ABC 和 △ADC 中，AB＝AD（已知），CB＝CD（已知），AC＝AC（公共边），∴△ABC≌△ADC（SSS）。三个条件缺一不可，公共边必须写出来。 练1　∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∠ABD＝∠CDB（两直线平行，内错角相等）。在 △ABE 和 △CDE 中，∠BAC＝∠DCA，AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，∴△ABE≌△CDE（ASA）。 练2　依次填：∠DEF；两直线平行，同位角相等；BC＝EF；∠B＝∠DEF；BC＝EF；SAS。 易错点 8　分类讨论与检验 例8　由题意 BP＝t，AP＝12−t，BQ＝vt，且 ∠CAP＝∠PBQ＝90°。△CAP 与 △PBQ 全等有两种对应：①CA 与 PB 对应、AP 与 BQ 对应：4＝t，12−t＝vt，把 t＝4 代入得 v＝2；②CA 与 BQ 对应、AP 与 PB 对应：4＝vt 且 12−t＝t，得 t＝6，v＝2/3。两类都在 BD＝10 范围内，均成立。所以 t＝4 s、v＝2 cm/s，或 t＝6 s、v＝2/3 cm/s。（每种情况4分，共8分；只答一种最多得4分） 练1　添法一：BC＝EF，SAS；添法二：∠A＝∠D，ASA；也可添 ∠C＝∠F，AAS。不能添 AC＝DF：它是 ∠B、∠E 的对边，属 SSA。 练2　不存在。理由：若 CA 与 PB 对应、AP 与 BQ 对应，则 t＝4，BQ＝1×4＝4≠AP＝8，不成立；若 CA 与 BQ 对应、AP 与 PB 对应，则 BQ＝t＝4 且 AP＝PB，即 12−t＝t，得 t＝6，与 t＝4 矛盾，不成立。两类都不成立，故这样的 t 不存在。 拓展变式 变式1　（1）∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即 BC＝EF。在 △ABC 和 △DEF 中，AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF（SSS）。（3分）（2）由（1）得 ∠B＝∠DEF，它们是同位角，∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）。（3分）（3）∠B＝∠DEF＝50°，∠F＝∠ACB＝180°−∠A−∠B＝180°−70°−50°＝60°。（4分） 变式2　（1）以 O 为圆心、适当长为半径作弧，交 OA 于 M、OB 于 N；分别以 M、N 为圆心、大于 MN 长度的一半为半径作弧，两弧在 ∠AOB 内部交于点 C；作射线 OC。图略（以原图痕迹为准）。（3分）（2）∵OC 平分 ∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。（4分）（3）连接 CM、CN。OM＝ON（所作），CM＝CN（所作，等半径），OC＝OC（公共边），∴△OMC≌△ONC（SSS），∴∠MOC＝∠NOC，即 OC 平分 ∠AOB。（3分） 附：易错点 × 题号覆盖表 易错点 例题 巩固题 能力要求 1 对应关系 例1（共线型） 练1 角度与边、练2 旋转型 识图与对应 2 SSA 误用 例2（两解反例） 练1 辨析、练2 开放添加 判定辨析 3 夹角夹边 例3（边角错位） 练1 填空、练2 改错 条件定位 4 HL 例4（规范书写） 练1 证明求角、练2 开放添加 直角三角形判定 5 面积周长 例5（同底等高反例） 练1 周长、练2 角与面积 性质与判定分清 6 角平分线 例6（垂线段） 练1 求长、练2 双平分线 性质应用 7 书写规范 例7（公共边） 练1 ASA 证明、练2 补全 证明完整性 8 开放动点 例8（双解动点） 练1 开放、练2 检验无解 分类讨论 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14章 全等三角形 易错精练卷 （2026—2027学年　人教版　八年级数学上册） 共 8 个易错点 · 26 道题　　建议用时 60 分钟 班级________　姓名________　学号________　得分________ 使用说明：本卷按本章最常出错的 8 个点编排。每个易错点先看“典型错解”和“错因”，弄懂后完成对应的例题与巩固题；全部做完对照参考答案，把出错的易错点记入卷末“错因诊断表”，订正时只重做错点对应的题。 易错点总览 序号 易错点 一句话自查 对应题号 1 对应关系找错 全等符号里字母顺序＝对应顺序 例1、练1~2 2 SSA 当判定 两边及其中一边的对角不能判全等 例2、练1~2 3 SAS 用的不是夹角 边和角的位置要对上 例3、练1~2 4 HL 用错、忘写 Rt△ 斜边＋直角边，且仅限直角三角形 例4、练1~2 5 面积/周长相等推全等 全等推得出，反推不成立 例5、练1~2 6 “距离”不是随手连线 点到直线的距离＝垂线段长 例6、练1~2 7 证明条件不给全 公共边、公共角必须写出来 例7、练1~2 8 开放与动点漏解 答案不唯一，对应关系要分类 例8、练1~2 易错点 1　把对应关系当成“长得像”——全等符号里的字母顺序就是对应顺序 【错在哪】两个三角形全等，不是“左边对左边、上面对上面”，也不是“看着一样长就配一样长”。写成 △ABC≌△DEF，意思就是 A 对 D、B 对 E、C 对 F。找对应元素的三把钥匙：公共边、公共角、对顶角；没有时，最长边对最长边、最大角对最大角。 ✗ 典型错解：由 △ABC≌△DEF 得 BC＝EF＝10，所以 BF＝BC＋EF＝20。 ✗ 错因：BC 与 EF 在直线上叠了一段 EC，直接相加把 EC 算了两遍；也没用上“B 对 E、C 对 F”。 例1　如图，点 B、E、C、F 在同一条直线上，△ABC≌△DEF，BC＝10，EC＝6。 （1）求 BE 的长；（2）求 BF 的长。 　 练1　已知 △ABC≌△DEF，∠A＝52°，∠B＝68°，DE＝8，则 ∠F＝________，AB＝________。 　 　 练2　如图，△ABC≌△ADE，AB＝5，AC＝4，则 AD＝________，AE＝________，∠BAC 的对应角是________。 　 　 易错点 2　把“边边角”当判定——SSA 不是定理 【错在哪】能判定全等的只有 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 五条。SSA（两边及其中一边的对角）不在其中；AAA 更不行，它只能保证形状一样。 ✗ 典型错解：正确。两边定长度、角定方向，三角形就唯一确定了。 ✗ 错因：没检查角是不是夹角。满足 SSA 的三角形可能有两个（第三边的端点有两个位置），形状不同。 例2　判断：“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是否正确？若不正确，请结合右图说明理由。（提示：图中 AB 是公共边，AC＝AD，∠B 是公共角） （先自己画一画，再对照答案。） 　 练1　下列条件中，能判定 △ABC≌△DEF 的是（　　） 　 　 A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D　　　B．AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E C．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠F　　　D．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F 练2　在 △ABC 与 △DEF 中，AB＝DE，∠B＝∠E。请你添加一个条件使两个三角形全等，写出两种不同添法并注明判定依据；再说明为什么不能添 AC＝DF。 　 　 　 　 易错点 3　写 SAS 用的却是“对边”——边和角的位置没对上 【错在哪】SAS 的两条边必须夹着那个角（夹角），ASA 的边必须夹在两个角中间（夹边）。条件写成“AB＝DE，∠B＝∠E，AC＝DF”时，AC、DF 是 ∠B、∠E 的对边，实际是 SSA。 ✗ 典型错解：正确。AB＝DE、∠B＝∠E、AC＝DF，两边一夹角，SAS。 ✗ 错因：∠B 的两条边是 AB 和 BC，∠E 的两条边是 DE 和 EF；AC、DF 都“伸到角外面”去了，是 SSA。 例3　如图，在 △ABC 与 △DEF 中，AB＝DE，∠B＝∠E，AC＝DF。小明据此判定 △ABC≌△DEF，依据写的是 SAS。他是否正确？若不正确，请改动其中一个条件使判定成立（写出两种改法及依据）。 　 练1　在 △ABC 与 △DEF 中，AB＝DE＝5，∠B＝∠E＝40°。当 BC＝________时，可用 SAS 判定全等；当 ∠A＝________时，可用 ASA 判定全等；若只知道 AC＝DF＝4，能否判定全等？答：________。 　 　 练2　下面是小明的证明：在 △ABC 与 △ADE 中，∵AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE（SAS）。请指出错误，并给出一种正确的改法。 　 　 　 易错点 4　HL 写成 SSA，还忘了写 Rt△ 【错在哪】HL 只对直角三角形成立，条件是“斜边和一条直角边”，书写时必须标出 Rt△。两条直角边对应相等用的是 SAS；斜边和一锐角对应相等用的是 AAS。 ✗ 典型错解：∵∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF（SSA）。 ✗ 错因：两处硬伤：①SSA 不是判定；②没写 Rt△，等于放弃了 HL 的前提。 例4　如图，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，AC＝DF。求证：Rt△ABC≌Rt△DEF。 　 练1　如图，AB⊥BC 于点 B，DC⊥BC 于点 C，点 E 在 BC 上，AE＝DE，AB＝EC。求证：Rt△ABE≌Rt△ECD，并求 ∠AED 的度数。 　 　 　 　 　 练2　如图，∠C＝∠D＝90°，AB 为公共边。请你添加一个条件，使 Rt△ABC≌Rt△BAD，并注明依据（写出两种）。 　 　 　 易错点 5　面积相等、周长相等都能推出全等？——都不能 【错在哪】全等可以推出对应边、对应角、周长、面积都相等；反过来一律不成立。 ✗ 典型错解：△ABC 与 △DBC 面积相等，所以 △ABC≌△DBC。 ✗ 错因：面积只由“底×高÷2”决定：底相同、高相同就有相同面积，但形状可以完全不同。 例5　如图，直线 l1∥l2，点 A、D 在 l1 上，点 B、C 在 l2 上。 （1）判断 △ABC 与 △DBC 的面积是否相等，并说明理由；（2）由（1）说明“面积相等的两个三角形全等”是否正确。 　 练1　已知 △ABC≌△DEF，△ABC 的周长为 22，AB＝7，BC＝9，则 DF＝________，EF＝________。 　 　 练2　已知 △ABC≌△DEF，∠A＝50°，∠B＝60°，则 ∠F＝________；若 △ABC 的面积为 12，则 △DEF 的面积为________。 　 　 易错点 6　角平分线的“距离”不是随手连的线 【错在哪】点到直线的距离是垂线段的长度。性质定理说的是“到角两边的距离相等”，从 P 随便连到 OB 上一点 Q，PQ 不垂直 OB，比垂线段 PE 长，不是距离。 ✗ 典型错解：PE 与 PQ 都行，反正 Q 在 OB 上；由性质得 PE＝PD＝4，所以 PQ 也等于 4。 ✗ 错因：PQ 不垂直于 OB。“距离”必须垂直于这条直线。 例6　如图，OC 平分 ∠AOB，P 是 OC 上一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，PD＝4。 （1）求 PE 的长；（2）有同学说“连接 P 与 OB 上一点 Q，PQ 就是 P 到 OB 的距离”，对吗？ 　 练1　如图，在 △ABC 中，∠C＝90°，AD 平分 ∠BAC，交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E。若 CD＝3，BC＝8，则 DE＝________，BD＝________。 　 　 练2　如图，△ABC 中 ∠ABC 与 ∠ACB 的平分线交于点 P，PF⊥AB 于 F，PG⊥AC 于 G。求证：PF＝PG。 　 　 　 　 　 易错点 7　证明条件不给全——公共边、公共角也要写出来 【错在哪】判定定理的条件必须一条不少地写全，公共边、公共角不能“心领神会”；还要先写“在 △××× 和 △××× 中”，让条件各有归属。 ✗ 典型错解：∵AB＝AD，CB＝CD，∴△ABC≌△ADC（SSS）。 ✗ 错因：SSS 要三组边，AC 是公共边必须写出；而且没有“在 △ABC 和 △ADC 中”这一句。 例7　如图，AB＝AD，CB＝CD。求证：△ABC≌△ADC。 　 练1　如图，AB∥CD，AB＝CD，对角线 AC、BD 相交于点 E。求证：△ABE≌△CDE。 　 　 　 　 　 练2　如图，点 B、E、C、F 在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF。补全证明： ∵AB∥DE，∴∠B＝________（____________________）。 　 　 ∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即________＝________。 在 △ABC 和 △DEF 中，AB＝DE，________，________， ∴△ABC≌△DEF（________）。 　 易错点 8　条件开放、点会动——答案不唯一，漏解就丢分 【错在哪】开放题只写一种答案就收工；动点题不讨论对应关系，默认对应固定。“与 △××× 全等”没指明顺序时，对应关系往往不止一种，要逐类检验。 ✗ 典型错解：CA 对应 PB、AP 对应 BQ，得 t＝4 s、v＝2 cm/s，所以只有这一组解。 ✗ 错因：两个直角三角形没指明对应顺序，还有“CA 对应 BQ、AP 对应 PB”这一类，要分类讨论再检验。 例8　如图，AB＝12 cm，CA⊥AB 于点 A，DB⊥AB 于点 B，AC＝4 cm，BD＝10 cm。点 P 从点 B 出发，沿 BA 以 1 cm/s 的速度向点 A 运动；同时点 Q 从点 B 出发，沿 BD 以 v cm/s 的速度向点 D 运动。设运动时间为 t s，当 △CAP 与 △PBQ 全等时，求 t 与 v 的值。 　 练1　在 △ABC 与 △DEF 中，∠B＝∠E，AB＝DE。请你添加一个条件使 △ABC≌△DEF，写出两种添法并注明依据；并说明能否添 AC＝DF。 　 　 　 　 练2　在例8的条件下，若点 Q 的速度改为 1 cm/s，当 △CAP 与 △PBQ 全等时，求 t；若不存在，请说明理由。 　 　 　 　 拓展变式（综合两个以上易错点） 变式1　如图，点 B、E、C、F 在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF。 （1）求证：△ABC≌△DEF；（2）求证：AB∥DE；（3）若 ∠A＝70°，∠DEF＝50°，求 ∠F 的度数。 　 　 　 　 　 　 变式2　如图，已知 ∠AOB。 （1）用尺规作 ∠AOB 的平分线 OC（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在 OC 上任取一点 P，过点 P 作 PD⊥OA 于 D、PE⊥OB 于 E，求证：PD＝PE； （3）说明（1）中作图的依据。 　 　 　 　 　 　 错因诊断表（做完对照答案后填写） 易错点 典型表现 自查问句 错题号 1 对应关系 按位置或长短乱配对应 字母顺序读对了吗？ 2 SSA 两边一角就下结论 这个角是夹角吗？ 3 边角错位 写 SAS 却用的是对边 角的另一条边在哪？ 4 HL 忘写 Rt△、把直角边当斜边 斜边是哪条？ 5 面积周长 由面积/周长相等推全等 这是“推得出”还是“推不出”？ 6 距离 把斜连线当距离 垂直记号画了吗？ 7 条件不全 漏公共边、漏“在△…中” 三个条件都落纸了吗？ 8 开放动点 只答一种、不检验 对应关系有几种？每类都验了吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $