贵州贵阳雅礼高级中学(贵阳市第九中学)2027届高三上学期10月考试数学试题

贵阳雅礼高级中学（贵阳市第九中学）2027届高三10月考试 数学科目试卷 2026年10月 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】C 8、【答案】D 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．【答案】ABC 10．【答案】BC 11．【答案】AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】12 13．【答案】． 14．【答案】9 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【小问1详解】 因为，所以令，可得，解得． 当时，，则，即， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式为． （2）因为，所以，即，， 所以． 因为，所以，即，所以． 16．【小问1详解】 由题意得：，解得， 设第60百分位数为，则， 解得，第60百分位数为85． 【小问2详解】 由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人， 设为、，在的有人，设为、、． 则样本空间为，． 设事件“两人分别来自和”，则，，因此， 所以两人得分分别来自和的概率为． 【小问3详解】 由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个． 记在区间的数据分别为，，…，，平均分为，方差为； 在区间的数据分别为为，，…，，平均分为，方差为； 这20个数据的平均数为，方差为． 由题意，，，，，且，， 则． 根据方差的定义， 由，， 可得 故得分在内的平均数为81，方差为26.8． 17． （1）证明：连接，因侧面平面，平面平面， 又为等边三角形，点是的中点，则，则平面， 又平面，则． 因四边形为直角梯形，，，，， 则，，由可得， 又因点为的中点，则，故，因，，平面， 则得平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用面面垂直的性质推出平面，得，再由勾股定理证明，继而推得，根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）依题意建系，写出相关点的坐标与向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得； （3）利用点到平面的距离的向量公式计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图取的中点G，连接，易得，则，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系； 则，，，，， 故，，． 因平面，则可作为平面的一个法向量； 设平面的法向量为，则，故可取． 设平面与平面所成角为，则； 【小问3详解】 依题意，点M是的中点，则，，平面的法向量为， 则点M到平面的距离为 18．【答案】（1）（2） 【解析】解：（1）在上，①． 由题意知，，，． 由，得，解得②． 由①②联立解得，，的方程为． （2）联立消得． 由，得③． 如图，设，， 则，． ，则． ，代入③得，． ， 点到直线的距离， ， 当时，最大，最大值为． 【点拨】本题考查椭圆方程的求解及直线与椭圆相交的面积最值问题，利用韦达定理和弦长公式，结合二次函数求最值． 19．【答案】（1） （2）①；②由①知，，且，， 则 ， 要证，即证，就证， 令函数，，求导得， 由函数，在上都单调递减，得函数在上单调递减， 又，，则，使，即， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，， 因此， 由函数在上单调递增，得当时，， 于是，即，所以． 【详解】（1）当时，，求导得，则， 而， 所以曲线在处的切线方程为，即． （2）①函数的定义域为，求导得， 令函数，，由恰有两个极值点，， 得方程有两个不等的正实根，，即， 则有，解得，所以的取值范围是． ②由①知，，且，， 则 ， 要证，即证，就证， 令函数，，求导得， 由函数，在上都单调递减，得函数在上单调递减， 又，，则，使，即， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，， 因此， 由函数在上单调递增，得当时，， 于是，即，所以． 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳雅礼高级中学（贵阳市第九中学）2027届高三10月考试 数学科目 试卷 2026年10月 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．复数z满足，则（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．已知，，则（ ） A． B． C． D． 6．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，若a，b，c互不相等，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8、设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．下列命题为真命题的是（ ） A．若，则A与B相互独立 B．若A与B互斥，则 C．方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度 D．数据3，4，5，6，7，8，9，10的第75百分位数为8 10．已知是等差数列的前n项和，且，，则下列选项正确的是（ ） A．数列为递减数列 B． C． D．的最大值为 11．已知函数的部分图象如图所示，且点和最低点在曲线上，则（ ） A． B．点为曲线的一个对称中心 C．将曲线向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称 D．函数在上的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的系数为________． 13．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是________． 14．在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式． （2）设，数列的前项和为，证明：． 16．（15分）某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分．参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示． （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数； （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练．现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率； （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差． 17．（15分）四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，，为等边三角形，点，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）点在线段上，且，求点到平面的距离． 18、（17分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，且满足． （1）求的方程； （2）设直线与交于，两点，若线段中点的纵坐标为1，求面积的最大值． 19．（17分）已知函数，． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若恰有两个极值点，． ①求的取值范围；②证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $