贵州贵阳市第一中学2026-2027学年第一学期高三年级质量监测（二）数学试卷

贵阳一中2026一2027学年第一学期高三年级质量监测(二)试题 数 学 命题人:钱丹 崔长征 审题人:冯春媛 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 要求的 1.样本数据5,8,9,10,12,14的下四分位数为() A.4 B.5 C.6 D.8 2已知2=2-25 1+i,则22=() A.2 B.4 C.-2 D.-4 3.已知集合A={xk<},B={xx-x-2>0,则AnB=() A.(o,1) B.(-1,2) C.(1,2) D 4.在 ABC中,己知三边a,b,c满足a2-√2ab=c2-b,则∠C=() B c分 D 5.已知抛物线C:x2=y的焦点为F,过点F的直线I交C于P,乃两点,若I的一个方向向量为 (,tana),ae 则R=() 1 A.1+cos2a B.1+sin2a C.1+tan2a D. sin2a 6.在活动筹备过程中,主办方将6名安检人员平均分成3组,到3个不同场馆服务,若每组去一个 场馆,且每个场馆都有人服务,则甲、乙两名安检人员不在同一个场馆服务的分配方案有() A.144种 B.72种 C.36种 D.18种 7.若ae0小,且ema+引号则m2a+得 12 的值为() A.-3W2 B.31v2 C.-175 D.175 50 50 50 50 8.设函数f(x)=(x-a)(x-b),若f(x)20,则ab的最小值为() B.-e c.1 D.e e 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.已知等比数列(an}满足a+a2=6,a,=2a2+a,设其公比为g,前n项和为Sn,则() A.9=2 B.a=2" C.S。=2048 D.S,2a 10.投函数f(x)的定义域为R,定义g(x)=(x-1)f(x),h(x)=f(x)+2x.若g(x)为奇函数,h(x)为 偶函数,则下列说法正确的是() A.f()=0 B.f(x)的解析式为f(x)=-2x(x+1) C:在区向-1-》上单调递增 D.f(x)的最大值为 1双曲线。-,16>>0的左右焦点分别为,,具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限 的交点为P,双曲线和椭圆的离心率分别为%,e2, PFF的内切圆的圆心为,过F作直线PI的 垂线,垂足为D,则() A.若PI的延长线交x轴于点N,则N B.点D的轨迹在圆上 C.若5所-368m则1<653 11=2 D.若1oP卡oF,则+ 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知向量a=(1,-2),b=(-2,y),且a1/6,则3a+26=」 13.若函数f(x)=(x2-ax-1)e在x=1处有极值,则x)的极大值为 14.已知正方体ABCD-A,B,CD,的棱长为2,以AC,为轴的圆柱在正方体ABCD-A,B,C,D1内部, 且圆柱的底面所在平面截正方体所得截面为三角形,则该圆柱体积的最大值为 四、解答题:本题共5小题,共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知函数)=sn(-刘sinx-5cos'x+5 (1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值: (2)若方程f(x)=2在(0,元)上的解为,,求cos(x1一2)的值. 16.如图,在四棱锥P一ABCD中,底面ABCD为正方形,边长为4,E为AB的中点,PE⊥平面ABCD (I)若 PAB为等边三角形,求四棱锥P一ABCD的体积; (2)若CD的中点为F,PF与平面ABCD所成角为45 ,求PC与AD所成角的余弦值, A E C 17.设函数fx)=alnx+,aeR. (1)若函数g(x)=f(x)-x在定义域上单调递减,求a的取值范围: (2)当a>0时,讨论函数f(x)=anx+二零点的个数, 18某实验小组有两套实验装置A和B.每次实验时,若当前使用的装置实验成功,则下一次幄续便F 该装置,若实验失败,则下一次自动切换至另一装置,每个装置的工作相互独立.已知A装置实验度 功的概率为,B装置实验成功的概率为2.实验成功记1分,失败记0分,第1次实验使用装置A. 6 3 (1)求前三次实验中总得分为2分的概率。 (2)设Pm为第n次实验使用A装置的概率 (i)求Pm: (i)已知:若随机变量X服从两点分布,且P(X,=1)=1-P(X,=0)=9,i=1,2,…,n, X29 记X为前n次实验中使用A装置试验的次数,来0 1日已奥点P2D为椭题C:三+茶=a>b>0)上一点,过原有的直线1交精C于AB两保 于点P),且直线PA与直线PB都存在斜率分别为k,k2, (1)求证:kk2为定值。 @)若站=分 (i)求三角形 PAB面积的最大值。 (i)若点M,N在椭圆C上,且PM⊥PN,过点P作MN的垂线,垂足为D,求点D的 轨迹方程。 2027届高三年级第一学期数学第二次月考参考答案 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分. 1.D 2B 3.D 4.A 5.c 6.B 7.D 8.A 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分在每小题给出的选项中,有多项符合 目要求全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.ABD 10.BC① 11.BD 三,填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 251..w、45 0 四、解答题:本题共5小题,共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、解4)fx)=6 osn-5(2osx-1D …2分 当2-子-经+2ake2.即=合+akeZ)时, 32 函数∫(x)取最大值,且最大值为1, 6分 (2)令2x-=+a(k∈Z),解得x=江+色 32 122 (k∈Z) 所以函数了)图象的对称轴为x-合+受(eZ》, 当x∈0,时,对称轴为-子或x=受 12 又方程∫(x)=在(0.)上的解为, x十=(易证十和=不合题意)。 6 .9分 则1=后-双, icw6m-)-om-2刘-fa-副 故cs(-)=号 16、解(I)正方形ABCD的边长为4,且 PAB为等边三角形,E为AB的中 点, .PE=PB-sin∠PBE=AB-sin60 =2V5, 又PE⊥平面ABCD :四棱锥P一8CD的体积-c0 4X25=35 .…7分 (2)如图,连接EF, ,PE⊥平面ABCD, EF,ABC平面ABCD, ∴PE⊥EF,PE⊥AB, 又平面ABCD为正方形, E,F分别为AB,CD的中点, EF⊥AB 'AB,EF,PE两两垂直 以E为坐标原点,EB,EF,EP所在直线分别为x,y,:轴建立空间直角坐标系, 则C2,4,0),A(-2,0,0),D-2,4,0) ,PE⊥平面ABCD,PF与平面ABCD所成角为∠PFE, ∴.∠PFE=45 , ……10分 ∴.PE=EF tan∠PFE=4,∴.PO,0,4), P元=(2,4,-4),D=(0,4,0) 设PC与AD所成的角为0,则 P心而 cos 0= IPCHLADI =16=2 6X43 即PC与AD所成角的余弦值号 15分 17、【详解】(1)由题意,函数g(x)的定义城为(0,+) “8在0上单调递减,“g)=是子-1s0在0,+o)上恒成立。 即当xe+a≤x+相成立,a(+ :当x∈(0,+0),x+-之2,当且仅当x=1时取等号, 当x=1时, =2,∴a≤2 “a的取值范围为(-g2习. 7分 (2)显然x=1不是f)的零点,六f)=0 alnx+L=0一a=- 1 xInx 令x)=- n>0且r1,则h)=1+nx (xInx)' 由i>0=xd很小U+ews<0ro月 在)》上单调造减,在很小0+回上单调遥增 在@D上时、M)有极小值日-e:在化+o)上时,M)<0. ∴Mx)的图象如图: 0<a<e时,f(x)零点个数为0: =x) a=e时,fx)零点个数为l: a>e时,f八x)零点个数为2. 15分 18.【详解】(1)设前三次实验中总得分为2分为事件A,则 P0=2x2x2+x2x25是261 6*6*6+6*行*3+6*6*3216 5分 (2)(i)由题意可知:P=1,且Pa1=P+((1-)1-P)=P.+号 可得Pa+1-子=(Pn-引且P-子=;≠0 可知数列P。一引是以首项为公比为的等比数列, 则P-= G,所以P=d 1 11分 1第欲使用装置4实验 ()由题设随机变量X,= 0,第次不使用装置4实验' 3 3 2可 17分 19、(1)由题意:直线过原点,设A(x,),B(-xo,-), 司专当 -x。-2 所似得:化=凸- 为-1.1-2 6-2-6-24-元 因为点4还P吧在精圆C怎+是=a>6>0上 。+0=1 即: 41 ”+京=, 所以两式相减得: 4-2+1-2-0 所以:kk= 1-2b 4无 为定值。 a .5分 41 (2)点P(2,1)在椭圆上: 示+京=1 b21 由得k人= =2即:a2=26 解得d=6,6=3,稀圆方程C:+兰=1 6 .7分 3 O法一:设则 PAB面积为S,点P到直线I的距离为d D若直线1不存在斜率,易得 PB面积S=)4xd= 25x2=25 =1联 2)若直线存在斜率,不妨设斜率为么,则直线方程为y=人,x,与精圆C:二+ 63 立得:(2k,2+10x2-6=0,解得x2= 6一不妨设 6 6 2k2+1 V22+2+ 6k,2+6 V2+1 6 6x,2- 0V2k2+1 w-失-52尝制 2k2+12k2+1 由分式性质可得:当k。=-1时,M取得最大值3此时 PAB面积S取得最大值3互 综上,三角形 PAB面积S最大值为3√反. 法二:三角形 PAB面积S=2S0=k1-2 y=:-2% 因为x2+2y2=6, 则k-2f=(玉+(22)≤1+2(x2+2%)=18 所似S=k。-2%s8=35, 当组仅当点。公,即无=-儿时,即飞=士5时、面积最大值为35。 12分 (i)设点M(年,),N(,乃), 若直线N斜率存在时,设直线N的方程为:y=:+m, 代入椭圆方程消去y并整理得:(+2水2)x2+4x+2㎡2-6=0, 4kn 2m2-6 可得+名=+2次,=1+2水 因为PM⊥PN,所以PMP示=0,即(-2(3-2)+(3-I)3-)=0, 根据另=气+m乃=气+m,代入整理可得: (k2+1x+(m-k-2(x+x)+(m-)+4=0, 所+-2)a-广+40, 整理化简得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0, 因为P(2,I)不在直线N上,所以2k+m-1≠0, 故2k+3m+1=0,k≠1, 于是MN的方程为y= 引 所以直线过定点直线过定点 当直线MN的斜率不存在时,可得N(:,-片), 由PMPm=0得:(:-2)(:-2)+(3-)(-y-)=0, 得(3-2y2+1-=0,结合若+兰=1可得:3x2-8x+4=0. 解得:名=亏或为=2(舍) 此时直线AN过定点作-》 所以DE,DP=0,即D点轨迹是以线段PE为直径的圆(不包含点P)。 易得圆心为 》 半轻平方为(侣写)-号 即D点轨迹方程为: x-+-gx*2到 .17分