精品解析：山东济南市高新区2026-2027学年第一学期期中阶段学情测试九年级数学试题

2026—2027学年第一学期期中 九年级数学参考样题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷满分为 40 分；第Ⅱ卷满分为110 分．本试题共 8 页，满分为 150 分．考试时间为 120 分钟．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第 I 卷（选择题 共 40 分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若，则的值（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（） A. B. C. D. 3. 如图所示是一个收藏于深圳市博物馆的钧瓷月白釉碗，它具有很高的历史价值和艺术价值．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 4. 图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（ ）． A. 30 B. 36 C. 45 D. 56 5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 6. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点B，C的坐标分别是，，点D在抛物线的图像上，则b的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，点F是边上的一点，把矩形沿折叠，点C落在边上的点E处，，点M是线段上的动点，连接，过点E作的垂线交于点N，垂足为H．以下结论：①；②；③；④=．其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分） 注意事项： 1．第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．） 11. 华州皮影戏又称“灯影”“影子”．在灯光照耀下，舞动影人，隔亮布演唱，观众在外观听．华州皮影中的“影”属于________投影．（填“平行”或“中心”） 12. 将抛物线先向右平移3个单位 ，再向上平移4个单位 ，得到的抛物线是_____________． 13. 如图是抛物线的一部分，由图象可知，不等式＞0的解集是____． 14. 如图，在中，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过______秒钟后，以点，，为顶点的三角形与相似． 15. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是______（请填写序号）． 三、解答题：（本大题共 10 个小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 已知：线段a、b、c，满足 ，且，求的值． 17. 如图，学习完投影后，小光同学在灯光下观察自己的影子．线段表示小光站立的位置，线段表示此时操场上的灯杆，点为路灯所在位置． （1）画出小光在路灯C照明下的投影示意图，并记作； （2）如果小光身高，他站在距离灯杆为的处时，测得自己的影长，求灯杆的高度． 18. 如图，在中，过点B作，使边交于点D． （1）求证：． （2）若，求线段的长． 19. 在如图的方格纸中，与是关于点 P 为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心 P 的位置； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为____________ ． 20. “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． 如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． （1）以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式： （2）花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． 21. 如图① ，在中， ，．点D，E分别在边上，且． （1）在图①中，则 的值为 ； （2）图①中． 保持不动，将 绕点A 按顺时针方向旋转到图②的位置，其它条件不变，连接，则（1）中的结论是否仍然成立? 请说明理由． 22. 已知二次函数． （1）写出顶点坐标； （2）在坐标系中，画出该二次函数的图象； （3）当 时，y 的取值范围是 ； （4）若直线与这条抛物线有且只有一个交点，求 b 的值 ． 23. 如图，某中学准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（其中墙留宽的入口），现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为m． （1）的长为 ，的取值范围是 ； （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为？ （3）当为何值时，矩形花园的面积取得最大值，并求出此时面积的最大值． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式． （2）若为直线上方的抛物线上一动点，过点作于点，当的面积最大时，求线段的值． （3）抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 【问题情境】如图1，小明把直角三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别落在、、上，他发现线段与存在一定的数量关系，请你能帮他写出结论并给出证明； 【变式探究】如图2，小颖把直角三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别在、、边上，若，，请求出的长． 【拓展应用】如图3，小强把另一个三角形纸板放置到平行四边形中，使得顶点E、F、G分别在、、边上，若，，，你能求出的值吗？试一试． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期期中 九年级数学参考样题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷满分为 40 分；第Ⅱ卷满分为110 分．本试题共 8 页，满分为 150 分．考试时间为 120 分钟．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第 I 卷（选择题 共 40 分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，由已知得，再把分式转化为，进而代入计算即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 2. 抛物线的顶点坐标是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】抛物线顶点式的顶点坐标为，据此即可获得答案． 【详解】解：对于抛物线，其顶点坐标为． 3. 如图所示是一个收藏于深圳市博物馆的钧瓷月白釉碗，它具有很高的历史价值和艺术价值．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，根据三视图的定义求解即可． 【详解】这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同． 故选：B． 4. 图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（ ）． A. 30 B. 36 C. 45 D. 56 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似图形得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， 根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴与的面积比是 6. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定二次函数的对称轴与开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线． ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大． 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． ∵ ， ∴ ． 7. 如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意． 8. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据黄金分割的定义，代入数值计算即可． 【详解】解：由题意可知，C是的黄金分割点，， ， 故选：C． 9. 如图，在正方形中，点B，C的坐标分别是，，点D在抛物线的图像上，则b的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，作轴，轴，证明，进而求出点坐标，代入解析式进行求解即可． 【详解】解：如图所示，作轴，轴，则：， 四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点B，C的坐标分别是，， ∴， ∴， ∴， ∵点D在抛物线的图像上， ∴， ∴； 故选B． 10. 如图，在矩形中，点F是边上的一点，把矩形沿折叠，点C落在边上的点E处，，点M是线段上的动点，连接，过点E作的垂线交于点N，垂足为H．以下结论：①；②；③；④=．其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质以及相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握勾股定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．利用矩形的折叠相关知识，先用勾股定理求出，设，结合和利用勾股定理列出方程可求出，从而判定③错误，利用一线三直角模型可证明，从而判定①正确，利用相似三角形的性质可知，而，从判定故②错误，作，证明，可判断故④正确，从而得解． 【详解】由矩形的性质得：，，， 由折叠的性质得，，， 在中，， ∴， 设， ∴， 在中，， 解得，即，故③错误； 在矩形中，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； 作， 则四边形 是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故正确的有①④，共两个． 故选B． 第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分） 注意事项： 1．第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．） 11. 华州皮影戏又称“灯影”“影子”．在灯光照耀下，舞动影人，隔亮布演唱，观众在外观听．华州皮影中的“影”属于________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【解析】 【分析】本题主要考查了平行投影和中心投影，熟练掌握中心投影和平行投影定义，是解题的关键．根据中心投影定义，进行判断即可． 【详解】解：华州皮影中的“影”属于中心投影． 故答案为：中心． 12. 将抛物线先向右平移3个单位 ，再向上平移4个单位 ，得到的抛物线是_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位 ，再向上平移4个单位 ，得到的抛物线是． 13. 如图是抛物线的一部分，由图象可知，不等式＞0的解集是____． 【答案】或 【解析】 【分析】由抛物线与轴的一个交点（3，0）和对称轴可以确定另一交点坐标为（-1，0），又时，图象在轴上方，由此可以求出x的取值范围． 【详解】∵抛物线与x轴的一个交点（3，0） 而对称轴， ∴抛物线与x轴的另一交点（-1，0）， 当时，图象在轴上方， 此时或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与轴的交点，然后由图象找出当时，自变量的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法． 14. 如图，在中，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过______秒钟后，以点，，为顶点的三角形与相似． 【答案】秒或秒 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．设在开始运动后第秒，与相似，由题意表示出，，，分两种情况考虑：当，时，；当，时，，分别由相似得比例，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可得到结果． 【详解】解：设在开始运动后第秒，与相似， 由题意得：cm，cm，cm， 分两种情况考虑： 当，时，； ， 即， 解得：， 当秒时，与相似； 当，时，， ∴，即， 解得：， 当秒时，与相似， 综上，当秒或2秒时，与相似． 故答案为：秒或秒 15. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是______（请填写序号）． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设两点横坐标与对称轴的距离为，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断． 【详解】解：①∵抛物线的顶点的坐标为， ∴， ∴，即， 由图可知，抛物线开口方向向下，即， ∴， 当时，， ∴，故①正确，符合题意； ②∵直线是抛物线的对称轴， ∴， ∴， ∴ 由图象可得：当时，， ∴，即，故②正确，符合题意； ③∵直线是抛物线的对称轴， 设两点横坐标与对称轴的距离为， 则，， ∴， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴，故③错误，不符合题意； ④如图， ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴，故④错误，不符合题意． 故答案为：①② 三、解答题：（本大题共 10 个小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 已知：线段a、b、c，满足 ，且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】设,则，再根据构建方程，求出的值，从而解决问题． 【详解】设，则， ∵， ∴, 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是比例运算，解题的关键是根据题意列出方程． 17. 如图，学习完投影后，小光同学在灯光下观察自己的影子．线段表示小光站立的位置，线段表示此时操场上的灯杆，点为路灯所在位置． （1）画出小光在路灯C照明下的投影示意图，并记作； （2）如果小光身高，他站在距离灯杆为的处时，测得自己的影长，求灯杆的高度． 【答案】（1） 如图， （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）连接并延长交直线于点E，线段即为所作； （2）根据相似三角形的判定与性质得出，代入数据求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知，， ， ， ， ． 答：灯杆的高度为． 18. 如图，在中，过点B作，使边交于点D． （1）求证：． （2）若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：在和中，， ． （2）5 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，而，则，求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 即， ， ． 19. 在如图的方格纸中，与是关于点 P 为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心 P 的位置； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为____________ ． 【答案】（1）如下图，点即为所求； （2）如下图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）分别连接并延长，，交于点，即为所求； （2）分别延长到点，使得，连接，则即为所求； （3）结合所作图形并根据位似图形的性质，即可获得答案． 【小问1详解】 解：在图中标出位似中心 P 的位置略； 【小问2详解】 在图中画出略； 【小问3详解】 ∵与为以原点O为位似中心且在位似中心的同侧的位似图形，位似比为， ∴点与点在同一象限， ∵点M的坐标为， ∴的坐标为． 20. “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． 如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． （1）以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式： （2）花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得抛物线的顶点C的坐标为，，则可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可； （2）由题意可把，代入（1）中函数解析式进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：抛物线的顶点C的坐标为，则可设抛物线的解析式为， ∴将点代入解析式得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意可得：当时，则有， 解得：； 当时，则有， 解得：； ∵花枪在下落过程中，即， ∴当时，； 当时，； ∴的取值范围为． 21. 如图① ，在中， ，．点D，E分别在边上，且． （1）在图①中，则 的值为 ； （2）图①中． 保持不动，将 绕点A 按顺时针方向旋转到图②的位置，其它条件不变，连接，则（1）中的结论是否仍然成立? 请说明理由． 【答案】（1） （2）仍然成立； 理由：由题可知， 由（1）知， ， ， ， ，， ． 【解析】 【分析】（1）证明得到，即可得到答案； （2）根据旋转的性质得到，，即可证明，即可得到答案． 【小问1详解】 ， ， ， ， ，， ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，旋转的性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 22. 已知二次函数． （1）写出顶点坐标； （2）在坐标系中，画出该二次函数的图象； （3）当 时，y 的取值范围是 ； （4）若直线与这条抛物线有且只有一个交点，求 b 的值 ． 【答案】（1） （2）解：在中，取点列表如下： 二次函数的图象如下： （3） （4） 【解析】 【分析】（1）用配方法把二次函数的解析式化为顶点式即可； （2）列表，描点，连线，画出二次函数的图象即可； （3）根据图象即可得的取值范围； （4）根据题意可得的根的判别式为0，解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ∴二次函数的顶点坐标； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象可得，当时，的取值范围是． 故答案为：． 【小问4详解】 解：由得， ， ∵直线与抛物线有且只有一个交点， ∴， ∴． 23. 如图，某中学准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（其中墙留宽的入口），现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为m． （1）的长为 ，的取值范围是 ； （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为？ （3）当为何值时，矩形花园的面积取得最大值，并求出此时面积的最大值． 【答案】（1）； （2）当时，矩形花园的面积为 （3）当时，面积取得最大值，此时 【解析】 【分析】（1）根据题意列代数式，再结合旧围墙的长度列不等式组求解； （2）根据矩形花园的面积为列一元二次方程，取范围内的解即可； （3）根据矩形花园面积列二次函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：根据题意得 整理得 解得（舍）， 答：当时，矩形花园的面积为 【小问3详解】 解：依题意， ∵ ∴当时，面积取得最大值，此时 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式． （2）若为直线上方的抛物线上一动点，过点作于点，当的面积最大时，求线段的值． （3）抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）对于抛物线，令，求得．运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴，交于点M，设（），则，，通过解直角三角形得到，则，根据二次函数的性质即可求解； （3）分点Q在x轴上方和下方两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：对于抛物线，令，则， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴，交于点M， 设（），则， ∴． ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴ ∴当时，有最大值，此时． 【小问3详解】 解：存在，点Q的坐标为或．理由如下： 分两种情况讨论： ①若点Q在x轴的上方，如图， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得，， ∴点Q的坐标为． ②若点Q在x轴的下方，如图， 由（2）有是等腰直角三角形， ∴， ∴， 延长交y轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 解方程组得，， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或． 25. 【问题情境】如图1，小明把直角三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别落在、、上，他发现线段与存在一定的数量关系，请你能帮他写出结论并给出证明； 【变式探究】如图2，小颖把直角三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别在、、边上，若，，请求出的长． 【拓展应用】如图3，小强把另一个三角形纸板放置到平行四边形中，使得顶点E、F、G分别在、、边上，若，，，你能求出的值吗？试一试． 【答案】问题情境： ，理由如下： 如图1， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 变式探究：； 拓展应用： 【解析】 【分析】问题情境：先根据特殊角三角函数得出，再证明，根据相似三角形对应边成比例可得； 变式探究：过点F作，同（1）可证，根据相似三角形对应边成比例可得，求出，再证四边形是矩形，即可求解； 拓展应用：延长至M，连接交于P，使，则，再证，推出，再利用平行四边形的性质证明，即可求得的值． 【详解】解：问题情境：略 变式探究： 如图2，过点F作于H， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 拓展应用： 如图3，延长至M，连接交于P，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质等，通过添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $