山东济南市莱芜区2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试题

2026一2027学年度第一学期诊断性检测九年级 数学试题(A卷)参考答案及评分意见 一、选择题（每小题4分，共40分） 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C D B B A D 二、填空题（每小题4分，共20分） 5 11.(m-3)m+1): 2. 13.4π-4： 14.50; 15.3。 三、解答题（本大题共10小题，共90分） 16.解(226-5-+ -2cos45°+M2 =1-W5-2+2-2x5+25 …5分 =3+√5 ……………7分 2.x+5≤3(5-x)① 17.解： 3x+1>x ② 2 解不等式①，得：x≤2， “*“““2分分 解不等式②，得：x>-1, …4分 ∴原不等式组的解集是：-1<x≤2， …6分 .原不等式组的整数解为：0,1,2。 …7分 18.证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥CB,AD=CB, …1分 ∴.∠DAF=∠BCE, …2分 .'∠DFC=∠BEA,∴.180P-∠DFC=180P-∠BEA, ∴.∠AFD=∠CEB, …3分 九年级数学试题参考答案及评分意见第1页（共8页） 在△ADF和△CBE中 ∫∠DAF=∠BCE ∠AFD=∠CEB,.△ADF≌△CBE(AAS), ……6分 AD=CB .AF=CE。 ……7分 19.解：(1).∠EFM是△EOF的外角， .∴.∠FE0=∠EFM-∠E0F=60°-30°=30°， …2分 ∴.∠EOF=∠FEO,∴.EF=OF=26m: …3分 (2)延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H, …4分 则∠AGO=∠EHO=90°，又，'∠GAC=90°， .四边形ACHG是矩形，∴.GH=AC …5分 由题意得：AG=80,OF=26,∠AOG=70°，∠EFH=60°， 在Rt△AG0中∠AGO=90°， G 0 F H M 、730° V609 70° .0G= AG 80 .80 ≈29.1， …6分 tan∠A0Gtan70°2.75 在Rt△EHF中，∠EHF=90°， ∴.FH=EF.cos∠EFH=26×cos60°=13， …7分 ∴.AC=GH=G0+OF+FH=29.1+26+13=68.1≈68(m)。 答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为68m。 …8分 20.(1)证明：连接OC, .△AFC沿AC翻折得到△ADC,CF⊥AB, ∴.∠ADC=∠AFC=90,∠ACF=∠ACD, ……1分 .'OA=OC,.∴.∠OAC=∠OCA, …h…2分 ∴.∠OAC+∠ACF=90, …3分 .∠OCA+∠ACD=90,即OC⊥CE, 又.OC是⊙0半径，∴.CE是⊙O的切线； …4分 (2)sin∠AED=5,.∠E=30, 2 九年级数学试题参考答案及评分意见第2页（共8页） ,OC⊥CE,∴.Rt△OCE中，∠COE=60 ,·OB=OC,∠COB=60,∴.△OBC为等边三角形， ∴.OB=OC=BC=8,… …5分 在Rt△CFB中，∠CBF=60°，BC=8, BF-BCcos60x4.FC-BCsin60'8x =43, …6分 2 2 ·BC的长=60m-88z …7分 1803 .阴影部分的周长=BF+CF4BC的长=4+4W5+8 …………8分 21.解：（1)20： …1分 统计图略： …3分 (2)72: …5分 (3)63: …7分 (4)1200x 20-2-7 =660, 20 答：该校全天体育总时长不少于50分钟的学生人数有660人。…9分 22.解：（1)设每间A占地x平方米，每间B占地y平方米，…1分 由题意得： x-y=5 …3分 2x+3y=85 解得： x=20 …4分 y=15 ∴.每个A类客房占地面积20平方米，每个B类客房占地面积15平方米。…5分 (2)设改造A类客房m个，B类客房(24-m)个， 由题意得24-m≤2m, …6分 解得m≥8， …7分 设改造客房的总费用为w元， 由题意得w=110×20m+90x15(24-m)=850m+32400, …8分 k=850>0,∴.w随m的增大而增大， ∴.当=8时，w有最小值， …9分 九年级数学试题参考答案及评分意见第3页（共8页） W最小=850×8+32400=39200，此时24-m=24-8=16, ∴.改造A类客房8个，B类客房16个时总费用最少，最少费用39200元。 …10分 23.解：(1).四边形OABC是正方形，B(4,4),点D是BC的中点， CD=2BC=2,即点D(2,4), …1分 将D(2,4)代入y=中，得：k=8: …2分 (2)D(2,4)0(0,0),.直线OD为y=2x, 设直线1与x轴的交点为F,,OD∥l, ∴.k=koD=2,S△DOF-S△DOp=6, …3分 SaD0F20Fx)0=6,解得0F=3, …4分 当点F在点0的左侧时，F为（-3,0)，此时直线1为y=2x+6, …5分 当点F在点O的右侧时，F为(3,0)，此时直线1为y=2x-6: …6分 (3)过D作DM⊥OD交OQ于点M,作x轴的平行线交y轴于点G,过M作y轴的平行 线，交DG于点H, ..∠DGO=∠MHD=90°，又，'DM⊥OD, D H ∴.∠ODM=90°，又.∠D0Q=45°， G .∴.∠DM0=180°-90°-45°=45°， M ∴.∠DOM=∠DMO=45°，∴.DO=DM, 又，'∠GOD+∠GDO=90°，∠GDO+∠HDM=180°-90°=90°， .∠GOD=∠HDM,∴.△GDO≌△HMD(AAS), …7分 ∴.HM=DG=2,DH=OG=4, ∴.GH=6,即M(6,2), …8分 设OM的解析式为y=k1x(k1≠0)，将M(6,2)代入得： y= -x 6=2,解得：方-写六0M的解折式为y=写，联立得： 3 8 y= 九年级数学试题参考答案及评分意见第4页（共8页） 解得x=±2√6， …………………9分 又：x>0,x=2√6，点Q的横坐标是2√6。 ……10分 24.解：(1)由x=2a-2a 1,得：a=-1, …1分 y=-x2+2x+c,将(1,4)代入y=-x2+2x+c,得： 4=-1+2+c,解得：c=3, …2分 ∴.抛物线的表达式为：y=x2+2x+3: …3分 (2)过点P作PG⊥x轴，垂足为G,交BC于点N, 令y=0得0=-x2+2x+3,解得：x1=-1,x2=3, .B(3,0),.C(0,3), ………………4分 .∴.OB=OC=3,.∴.∠OBC=45°，.∠PNM=∠BNG=45°， PM-PN sin4so -PN, …5分 .C(0,3),B(3,0),∴.lBc:y=-x+3, 设Pm,-m2+2m+3),N（m,-m+3), ∴.PN=yprw=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=-0m-3) .9 …6分 当m=3时，PN最大，此时PM最大， ● PM段大=PNxsin45P=9x2_9W2 …7分 428 将m=)代入=+2x+3,解得：5 4 (3,1卢)时，点P到BC的距离PM最大值为 当P(24 W2 …8分 (3)过点D作x轴的平行线，过点P作PH⊥DH,垂足为H,过点E作EF⊥DF,垂足为F, 设E(e,-e2+2e+3),Pp,p2+2p+3), ,'∠FDE+∠EDF=9O°，∠FDE+∠HDP=90°，∴.∠FED=∠HDP, 九年级数学试题参考答案及评分意见第5页（共8页） ,∴.tan∠FED=tan∠HDP, 1-e =4-(-p2+2p+3) 4-(-e2+2e+3) p-1 1-e=p2-2p+1 e2-2e+1p-1-, 1-e=p-2 (e-102 p-1,1-e)p-1)=l, 即：(pte)-pe=2, …10分 设直线PE的表达式：y=kx+b,令kx+b=-x+2x+3, 整理得：x2+(k-2)x+(b-3)=0, p+e=2-k,p-e=b-3,∴.2-k-(b-3)=2,解得：b=3-k, ∴y=kx+(3-k)=k(x-1)+3,∴.直线PE恒过点(1,3)。 ……12分 25.解：（1)证明：，线段DA绕点D顺时针旋转90°得到线段DE, .DA=DE,∠ADE=∠ADF=90°， .'∠CDB=9O°，∴.∠ADC+∠CDB=∠ADE+∠ADC, 即∠BDA=∠CDE, …1分 在△BAD和△CED中 「DA=DE ∠BDA=∠CDE, BD=CD .∴.△BAD≌△CED(SAS), G .AB=E;…3分 (2)连接DG,DH,,:DG,DH分别是AB,CE边上的中线，△BAD≌△CED, .∴.DH=DG,∠EDH=∠ADG, ,'∠EDH+∠HDA=90P, .∴.∠ADG+∠HDA=90°，即∠HDG=90°， 九年级数学试题参考答案及评分意见第6页（共8页） .△HDG是等腰直角三角形， DH=GH×sin45-V2 GH, .'∠ADF=∠CDB=90°， ∴.∠ADF-∠CDF=∠CDB-∠CDF,即∠ADC=∠DB …4分 ,△BDC是等腰直角三角形，.DC=DB,∠DCB=∠DBC=45°， .∠ACB=90°，∴.∠ACD=∠DBC=45°， .△ADC≌△FDB(ASA), …6分 .AC=BF,AD=DF,.AD=DE, .DE=DF,∴点D是EF的中点， :点H是EC的中点，DH=CF, DH-5G..cr-Gu..Gn-cF. 2 2 .CF=BC-BF=BC-AC=4-1=3, …7分 ∴.GH 3V2 2； …8分 (3)AQ+DQ的最小值=√37。 …12分 理由：如图，连接BQ, ,线段DP绕点D逆时针旋转90°得到线段DQ,△BDC是等腰直角三角形， ∴.DB=DC,DP=DQ,∠BDC=∠PDO=90°，∠DBP=∠DCB=45, .∴.∠BDC-∠PDB=∠PDQ-∠PDB,即∠CDP=∠BDQ, D DC=DB 在△CDP和△BDQ中： ∠CDP=∠BDQ, DP=DO M B ∴.△CDP≌△BDQ(SAS), ∴.∠DCP=∠DBQ=45°， ∴.∠CBQ=∠DBC+∠DBQ=45°+45°=90°， ∴.点Q在与BC垂直且垂足为点B的直线I上运动， 九年级数学试题参考答案及评分意见第7页（共8页） .作点D关于直线l的对称点D,连接AD, 交直线l为点Q,此时，AQ+DQ最短=AD', 连接DD'交直线I于点E,过点A作AF⊥I于点F, .四边形ACBF为矩形，.AF=BC=4,BF=AC=1, 在等腰R△BCD中，BD=BCxcos445=4×V5=22, 2 在等腰R△BED中，BE=DE=BDxsin45P=22x 2 2 .∴.EF=BE-BF=2-1=1, 作D'G⊥AG,交AF的延长线于点G, E -D 则四边形EFGD为矩形， A G .EF=DG=1,FG=DE=DE=2, .∴.AG=AF+FG=4+2=6, 在R14GD中，AD=√AG2+D'G2=V62+1P=√37， ∴.AQ+DQ的最小值=√37。 九年级数学试题参考答案及评分意见第8页（共8页）秘密★启用前 2026一2027学年度第一学期诊断性检测九年级 数学试题(A卷) 注意事项： 1.本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题 部分满分为110分，全卷满分为150分，考试时间为120分钟. 2.答题前，访考生务必将自己的学校、班级、姓名、座住号写在答题卡的规定位置 3.答题时，选择题部分每小题选出答素后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑；如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其它答素标号，非选择题部分，用0.5毫米黑色 签字笔在答题卡上题号所提示的答题区城作答，直接在试题上作答无效 4.本考武不允许使用计算器.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 选择题部分共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。） 1.下列各数中，属于负数的是 A.5 B.0 C.6 D.-3 2.若干桶方便面摆放在桌子上，右边所给的是它的三视图， 则这一堆方便面共有 A.5桶 B.6桶 C.9桶 D.I2桶 第2题图 3.2026年4月23日“世界读书日”期间，济南市图书馆联合泉城书房推出“夜读泉城”系 列活动，活动首周累计到馆总人次约为872000。数据872000用科学记数法表示为 A.87.2×10 B.8.72×10 C.8.72×105 D.0.872×10 九年级数学试题第1页（共8页） 4.中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉样，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是 中心对称图形是 B 5.下列各式计算正确的是 A.x3+x2=2x B.(3xy2=6x C.x+x2=x D.x.x=x 6.若关于x的一元二次方程m2-3x+1=0有实数根，则a应满足 A.a≤g B.a≤2且a0 C.a≥_9且a≠0 4 D≥号 7.计算：子-2x+11的结果是 x2-1x+1 A. x+l B.2 C.x D.x-2 x+1 8.某人经过两个十字路口，每一个路口可能会遇到红、绿、黄三种交通信号灯，可能性相同。 则此人两次都遇到绿灯的橱串是 A司 a号 c 号 9.如图，在□ABCD中，以A为圆心，以AB长为半径画弧交AD于点F:以点A为圆心， 适当长为半径画弧分别交AB,D于M,N两点，分别以点M,N为圆心，大于MN的 长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点G,连接AG并延长交BC于点E,连接EF,BD, BD分别交AE,EF于P,Q两点。若AB=2DF,BD-30,则P2的长为 A.5 B.6 C.8 第9题图 D.11 九年级数学试题第2页（共8页） 10.己知二次函数y=ar2+br+c(a,b,c为常数，a≠0)图象的对称轴为直线=1，该函数 图象经过点(3,0)，且1<c<2。下列结论：①关于x的一元二次方程a2+br叶c+1=0(a≠ D)有两个不相等的实数根：②当x之1时，y的值随x值的增大而增大：®-)<a<-力 ④a-b+c>0:⑤对于任意实数m,总有am2-a-b+bm≤0。其中正确的有 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 非选择题部分共110分 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。请直接填写答案。） 11.分解因式：m2-2m-3= 12.向如图所示的区域（小正方形的边长相等）随机掷一枚石子，石子 落在空白部分的概率是 第12题图 13.如图，在圆心角为90的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，连接AB,若AC-4,则阴 影部分的面积为 14.甲、乙两人沿雪野湖环湖步道匀速徒步前行，甲比乙早出发30mi血，甲从出发经过60mim 抵达目的地。两人之间的距离川m)和甲出发后的时间x(mi血)之间的关系如图所示，则乙从 出发到抵达目的地所用的时间是mi血。 15.如图，正方形ABCD的边长为6，点F是边AD的三等分点(AF<FD),E是边CD上一 动点，连接BE,将△BCE沿BE翻折得到△BGE,当FG最小时，tan∠DEG= ylm 1500 1200 D 900 G 600 300 30 60 x/min B-- 第13愿图 第14题图 第15题图 九年级数学试题第3页（共8页） 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 16.(本题满分7分) 计第：(-2026-5-+ 2c0s45°+V2。 17. (本题满分7分) 2x+5≤35-x)① 解不等式组： 3x+1>x② ,并求出它的整数解。 2 18. (本题满分7分) 如图，在OABCD中，点E,点F在AC上，且∠BEA=∠DFC,求证：AF=CE。 19.(本题满分8分) 第18题图 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度. 某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB,CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设 计了如下测量方案：无人机在AB,CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为80m, 此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点 O飞行26m到达点F,测得点E处俯角为60°，其中点A,B,C,D,E,F,O均在同一竖 直平面内。请根据以上数据求： 0 60 (1)EF的距离： 709 B (2)楼AB与CD之间的距离AC的长。（结果 精确到1m。参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34， 777777 tan70°≈2.75，√5≈1.73) 第19题图 九年级数学试题第4页（共8页） 20.(本题满分8分) 如图，△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径，CF⊥AB于点F,将△AFC沿AC所在的 直线翻折，得到△MDC,点F的对应点为点D,延长DC交AB的延长线于点E。 (1)求证：CE是⊙0的切线： (2)若sim∠AED- 2C8=8,求图中阴影部分的周长. 第20题图 21.(本题满分9分) 为响应“阳光体育”号召，某中学随机抽取九年级部分学生，统计学生全天体育总时长 (包含上、下午大课间活动，体育课时间不计入统计)（时长用x表示，单位：分钟），并对 数据时长进行统计整理，下面给出了部分信息： α.统计数据时墨水遮盖住其中一些数据，如下表所示： 组别 全天体育时长x分钟 原始数据 第1组 30sx<40 33,34 第2组 403<50 41,44, 45,42,47 第3组 50sr<60 52, 57,56 第4组 60sr<70 61, 67,64 b.下面是不完整的频数分布直方图和扇形统计图： 频数， 6 第2组 第3组 第1组10% 第4组20% 3040506070 结业成绩频数分布直方图 时间/分钟 结业成绩扇形统计图 九年级数学试题第5页（共8页） 请根据以上信息完成下列问题： (1)随机抽取的学生人数为 并补全频数分布直方图： (2)扇形统计图中第4组对应的圆心角的度数是 度： (3)若第4组这组数据的中位数是63.5，则第4组中被墨水盖住的数字是 (4)该校九年级共有1200名学生，请估算该校全天体有总时长不少于50分钟的学生人数。 22.(本题满分10分) 为助力乡村文旅发展，某村落改造A、B两类特色民宿客房接待游客。己知一间A类客 房占地面积比一间B类客房多5平方米：2间A类客房和3间B类客房总占地面积为85平 方米。改造A类客房每平方米费用110元，改造B类客房每平方米费用90元。 (1)求每间A、B类客房占地面积各为多少平方米？ (2)该村计划改造A、B两类客房一共24间，且B类客房的数量不超过A类客房数量 的2倍。如何规划A、B两类客房改造数量，使改造总费用最少？求出最低费用是多少元？ 九年级数学试题第6页（共8页） 23.(本题满分10分) 在平面直角坐标系xO中，正方形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，点B的坐标 为(4,4).反比例函数y=冬(x>0)的图象经过BC的中点D,与B交于点E. (1)如图1，求k的值： (2)如图2，将直线oD沿y轴平移得到直线，交y=x>0)的图象于点B,若 SADOP-=6,求直线1的解析式： (3)如图3，将直线OD绕点0顺时针旋转45°后与第一象限的双曲线交于点Q,求点 2的横坐标。 第23愿图1 第23题图2 第23思图3 24. (本题满分12分) 在平面直角坐标系中，抛物线a+2+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,顶 点为D(1,4),点P是第一象限内抛物线上的一动点。 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，连接BC,过点P作PM⊥BC于点M,求PM的最大值及此时点P的坐 标： 九年级数学试题第7页（共8页） (3)如图2，连接PD,过点D作DE⊥DP交抛物线于点E,连接PE,试问直线PE是 否过定点？若过定点，请求出定点坐标：若不过定点，请说明理由。 0 第24题图1 第24题图2 25.(本题满分12分) 如图1，在RIMBC中，∠ACB=90,BC>AC,以BC为斜边在BC上方作等腰 RIABCD. (1)如图2，连接AD,将线段DA绕点D顺时针旋转90°得到线段DE,延长ED交BC 于点F,连接CE。点G,H分别是AB,CE的中点，连接GH,AC=1,BC=4. ①求证：AB=CE: ②求线段GH的长： (2)如图3，点P在直线BC上，连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转90得到线段 DQ,连接AQ,点M在直线AB上，连接DM,QM,请直接写出AQ+DQ的最小值。 D D 第25恩图1 第25题图2 第25题图3 九年级数学试题第8页（共8页）