精品解析：云南省昭通市第一中学2026-2027学年高三上学期10月考试数学试卷

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，，则（ ） A. B. 5 C. D. 3 3. 设为抛物线：的焦点，点在上，点，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 4. 在中，角，，的对边分别为，，．若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足，，且，，记为的前项和，则（ ） A. 59 B. 60 C. 61 D. 62 6. 设函数满足，且在区间上恰有2个零点，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且，则（ ） A. B. 3 C. 0 D. 8. 在平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，P为椭圆C上一点，，点P关于原点O的对称点为Q，则（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. C. 直线的斜率为 D. 10. 已知函数（，，）的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的一个对称中心是 B. 是偶函数 C. 函数在的单调递增区间为 D. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象 11. 如图，在矩形中，，，B为的中点，现分别沿，将，翻折，使点E，F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 直线与直线所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 三棱锥外接球的表面积是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量，，若，，则________． 13. 在平面四边形中，，，，，，则的面积是________． 14. 设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是________． 四、解答题（共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在一次学业水平测试中，有一道填空题考查核心概念，，两所中学的高二年级学生都参加了测试．为分析学生对该概念的掌握情况，随机抽取了，两校高二年级各名学生的答题数据，其中校学生作答正确的人数为，校学生作答正确的人数为．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率． （1）从，两校高二年级学生中各随机抽取名，设为这名学生中该题作答正确的人数，估计的概率及的数学期望； （2）假设：若未掌握该概念，学生作答正确的概率为（因题目有一定提示性）；若掌握该概念，校学生作答正确的概率为，校学生作答正确的概率为．设，两校高二年级学生掌握该概念的概率估计值分别为，，判断，的大小． 16. 已知数列是公差不为0的等差数列，是等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）记数列的前项和为，求满足的最大正整数． 17. 如图，平行六面体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 18. 已知双曲线：（，）的离心率为，且点在双曲线上，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点． （1）求双曲线的方程； （2）若，且，求直线的斜率； （3）若，，分别是双曲线的左、右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围． 19. 已知，． （1）当时，讨论的单调性； （2）讨论的零点个数； （3）当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求集合B的补集，再求集合A与的交集. 【详解】由，可得：， 因为， 所以. 2. 已知复数，，则（ ） A. B. 5 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】由，， 则， 所以. 3. 设为抛物线：的焦点，点在上，点，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标. 【详解】由题意可得，焦点，则， 即点到准线的距离为，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入，则， 所以. 4. 在中，角，，的对边分别为，，．若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过余弦定理以及正弦定理化简等式，并通过三角形内正切的等式关系解题. 【详解】因为，所以， 所以，解得， 又因为，， 易得， 所以. 5. 已知数列满足，，且，，记为的前项和，则（ ） A. 59 B. 60 C. 61 D. 62 【答案】A 【解析】 【分析】通过递推公式求值可以发现，从第7项开始，是周期为3的周期数列，数列值分别为，即可求出答案. 【详解】由，，，得，， ，，，， ，，，， 从第7项开始，是周期为3的周期数列，数列值分别为， 所以，， 所以. 6. 设函数满足，且在区间上恰有2个零点，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由，可得，或，利用在区间上恰有2个零点，可得，进而计算可求得的值. 【详解】， 因为，所以， 所以，或， 所以，或， 当时，， 又在区间上恰有2个零点，所以， 所以，所以. 7. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且，则（ ） A. B. 3 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数和对称性推出，进而得周期为4，并求出一个周期内函数值之和为0，由，将求和转化为计算即可. 【详解】由是定义在上的奇函数，得 由为偶函数，得， 令替换为，得 又，所以 再令替换为，得 所以是周期为的周期函数. 由，得 由，得，， 由，得， 所以 因为，所以 8. 在平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理得出，取线段的中点，可得出，由结合向量模的三角不等式求解即可. 【详解】由，，由勾股定理可得，所以. ，取线段的中点，连接、、，如下图所示： 因为为的中点，所以， 由勾股定理可得， 由向量加法的平行四边形法则可知， 因为，由向量模的三角不等式可得， 即，即，故， 当且仅当、同向时，取最大值； 当且仅当、反向时，取最小值. 故的取值范围是. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，P为椭圆C上一点，，点P关于原点O的对称点为Q，则（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. C. 直线的斜率为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程和定义，利用余弦定理，三角形面积公式等逐一计算即可判断. 【详解】对于A，由题意知，所以，则， 所以离心率，故A错误； 对于B，由椭圆的定义可知， 在中，由余弦定理得， 即，所以，故B正确； 对于C，由， 则，解得， 因为点和点关于原点对称，所以， 又为椭圆上一点，所以，所以， 所以，故C错误； 对于D，， 故D正确； 10. 已知函数（，，）的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的一个对称中心是 B. 是偶函数 C. 函数在的单调递增区间为 D. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据五点法计算可得，代入检验可判断A；举特殊值计算可判断B；根据正弦函数性质计算可判断C；根据图象平移变换及诱导公式计算可判断D. 【详解】由题意可得，，， ，解得， 因为，所以，， 对于A，因为，且， 所以函数的一个对称中心是，故A正确； 对于B，设， 因为，， 所以，故函数不是偶函数，故B错误； 对于C，令，解得， 令，解得， 所以函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减， 所以函数在的单调递增区间为，故C正确； 对于D，函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的得， 再向右平移个单位长度得 ，故D正确. 11. 如图，在矩形中，，，B为的中点，现分别沿，将，翻折，使点E，F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 直线与直线所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 三棱锥外接球的表面积是 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，由题意平面，可得为底面上的高，然后计算的面积，利用求解即可.选项B，利用向量夹角公式，再结合在中由余弦定理计算，利用向量的数量积以及线性运算进行转化，最终得到直线与直线所成角的余弦值为；选项C，利用等体积法，求出点到平面的距离，然后利用线面角的定义得到直线与平面所成角的正弦值为；D选项，先求出的外接圆半径，然后构造直角三角形得到，再利用球的表面积公式求解即可. 【详解】由题意可得， 又因为，平面， 所以平面. 选项A，因为由翻折得到，所以. 在中，，边上的高为， 所以，A正确； 选项B，在中，， 可得 ， 所以直线与直线所成角的余弦值为，B正确. 选项C，由题意得，设点到平面的距离为， 由，可得，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值为，C错误； 选项D，由选项B知，， 所以，所以的外接圆半径， 设三棱锥的外接球半径为， 因为平面，所以， 所以外接球的表面积是，D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量，，若，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据二项分布的方差公式求出，再根据正态分布的对称性即可求得. 【详解】因为随机变量，所以， 即，解得：； 又因为，， 由正态曲线的对称性得：， 所以. 13. 在平面四边形中，，，，，，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理及三角形面积公式求解. 【详解】在中， 已知，，​， 根据余弦定理可得： ，化简可得： ，解得正根，（舍去）， 由可得： ， ​​ 在中，根据正弦定理：可得： ，解得： ， 已知​，即， 所以， 即， 由同角三角函数关系可得，​， 即， 已知，，则 . 14. 设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点关于直线的对称点，写出对称直线的方程，再利用直线与圆有公共点的条件，解不等式即可. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，得，所以， 即直线关于对称的直线为直线， 因为， 所以直线的方程为：，即， 因为直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离， 整理得：，解得， 所以的取值范围是. 四、解答题（共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在一次学业水平测试中，有一道填空题考查核心概念，，两所中学的高二年级学生都参加了测试．为分析学生对该概念的掌握情况，随机抽取了，两校高二年级各名学生的答题数据，其中校学生作答正确的人数为，校学生作答正确的人数为．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率． （1）从，两校高二年级学生中各随机抽取名，设为这名学生中该题作答正确的人数，估计的概率及的数学期望； （2）假设：若未掌握该概念，学生作答正确的概率为（因题目有一定提示性）；若掌握该概念，校学生作答正确的概率为，校学生作答正确的概率为．设，两校高二年级学生掌握该概念的概率估计值分别为，，判断，的大小． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）用频率估计概率，得，由相互独立事件概率公式求的分布列，进而求出期望； （2）设掌握概念的概率为未知数，利用全概率思想：总答对概率等于掌握者答对概率与未掌握者答对概率的加权和，分别列方程解出，再比较大小. 【小问1详解】 设为“从校高二年级学生抽取人做对”，则，， 设为“从校高二年级学生抽取人做对”，则，， 设为“恰有人做对”， 故， 依题可知，可取 ，，， 故的分布列如下表： 故. 【小问2详解】 设为“校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为校掌握这个知识点，则有的概率做对该题目， 未掌握该概念的学生作答正确的概率为， 故，即，故， 同理有，，故， 故． 16. 已知数列是公差不为0的等差数列，是等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）记数列的前项和为，求满足的最大正整数． 【答案】（1）， （2）6 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求出公差及公比，再利用通项公式求解. （2）由（1）求出，利用错位相减法求出，再利用单调性求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，，得，解得， 所以，． 【小问2详解】 由（1）得，则单调递增， ， ， 两式相减得， ，因此， 而，，则， 所以满足的最大正整数为6． 17. 如图，平行六面体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图，连接，， 因为底面是边长为的正方形， 所以， 又因为，， 所以，所以． 又因为点为线段中点，所以， 在中，，，， 所以，则，则． 又，平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由正方形得，结合公共，证，得；由等腰三角形性质得 ，再在中用余弦定理求，由勾股定理逆定理证 ，最后用线面垂直判定定理得证； （2）由正方形对角线垂直及 底面建立空间直角坐标系；求棱、、的方向向量；分别求两平面法向量；利用二面角公式求余弦绝对值，再由同角关系求正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题知正方形中，平面，所以建系如图3所示， 则，，，，，则， ，， 设面的法向量为，面的法向量为， 则，取，则， ，取，则． 设二面角大小为， 则，从而， 所以二面角的正弦值为． 18. 已知双曲线：（，）的离心率为，且点在双曲线上，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点． （1）求双曲线的方程； （2）若，且，求直线的斜率； （3）若，，分别是双曲线的左、右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式以及将点代入方程即可求解双曲线的方程； （2）设直线方程为，与双曲线联立方程，利用韦达定理结合弦长公式求解即可； （3）设直线l方程为，联立求出，由题意得且，再根据，求出，结合且可求出答案. 【小问1详解】 对于双曲线：，，，则， 将点，代入得，解得， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 当直线斜率为0时，易知，舍去； 当直线斜率不为0时，设直线方程为，，， 联立，整理得，， ， ，， 从而，解得或， 故直线的斜率为或． 【小问3详解】 当直线斜率为0时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为0时，设直线l方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，， 因为，，如图4， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即， 代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，m的取值范围为． 19. 已知，． （1）当时，讨论的单调性； （2）讨论的零点个数； （3）当时，证明：． 【答案】（1）在上单调递增 （2）时，的零点个数为0； 时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2． （3）证明：①当时，， 令，， 因为，，所以，而，即，，， 所以在区间上单调递增，所以，即， 所以在区间上单调递增，所以； ②当时，令，，所以单调递增， 所以，即． 又因为， 令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，的极小值为． 若，即，则，所以． 若，即，则在区间上单调递减， 所以． 所以，即． 综上可得，． 【解析】 【分析】（1）根据导数和单调性的关系即可求解； （2）解法一：先进行参数分离，再转化为与图象交点的个数即可； 解法二：设，并判断其单调性，再讨论极小值的正负，进而判断的零点个数； （3）分两种情况讨论：当时，用导数可判断的单调性可得；当时，先证，进而再用导数证明，从而可证明不等式. 【小问1详解】 当时，，则， 令，则，令，得， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 所以在上单调递增． 【小问2详解】 解法一：因为，，令，得，即． 令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数． 又因为，当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，有极大值也是最大值，如图5： 由图可知，当时，函数与的图象无交点； 当时，函数与的图象有1个交点； 当时，函数与的图象有2个交点． 综上，时，的零点个数为0； 时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2． 解法二：因为，，， 设，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，的极小值为． ①当，即时，恒成立，此时的零点个数为0． ②当，即时，的零点个数为1． ③当，即时，的极小值，， 令，，所以单调递减， 所以，即， 有，又 所以， 所以在区间和上各有一个零点，即的零点个数为2． 综上，时，的零点个数为0； 时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2． 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $