等比数列 课件-2027届高三数学一轮复习

等比数列 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】 1. 理解等比数列的概念，掌握其通项公式与前 n 项和公式； 2. 能在具体的问题情境中发现并运用等比关系； 3. 掌握等比数列的判定、证明及性质应用，了解前 n 项和中对公比 q 的分类讨论。 【教学重点】 · 等比数列的基本量运算；判定与证明；前 n 项和（含 q=1 的讨论）。 【教学难点】 · 等比中项与性质的综合；错位相减与求和中的分类讨论。 第35课时 等比数列 1.理解等比数列的概念，并掌握其通项公式与前 项和公式. 2.能在具体的问题情境中发现数列的等比关系,并解决相应的问题. 3.体会等比数列的通项公式与指数函数的关系. 第35课时 等比数列 3 【近五年考频考点】及备考建议 等比数列与等差数列并列为核心考点（5年约5考），基本量、性质、求和并重。 备考建议：牢记公比 q 的分类讨论（q=1 与 q≠1）；熟练等比中项与片段和性质；与等差数列对比迁移学习。 第35课时 等比数列 一、等比数列的有关概念 定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比值都等于_________ ___（不为零）,那么这个数列就叫作等比数列 通项公式 设是首项为,公比为 的等比数列,则通项公式为 等比中项 如果在与中间插入一个数,使,,成等比数列,那么___叫作与 的 等比中项.此时, ____ 同一个常数 第35课时 等比数列 5 前 项和 已知,,，则已知,, ，则 续表 微判断（1）满足（,为常数）的数列 为等比数列.( ) 第35课时 等比数列 （2）,,三个数成等比数列的充分不必要条件是 .( ) （3）常数列既是等差数列又是等比数列.( ) （4）若数列的通项公式是，则数列 一定是等比数 列.( ) （5）若数列的前项和为，则数列 一定是等比数 列.( ) （1）等比数列中不含有0项. （2）同号的两个数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数. （3）在运用等比数列的前项和公式时,必须注意对与 分类讨论,避免因忽 略 这一特殊情形而导致解题错误. 第35课时 等比数列 7 二、等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为 ,而 是一个不为0的常数与指数函数 的乘积,从图象上 看,表示数列中的各项的点是函数 的图象上一群孤 立的点. 第35课时 等比数列 8 三、等比数列的性质 1.对任意的正整数,,,,若,则 .特别地,若 ,则 . 2.若等比数列的前项和为,则,, 仍成等比数列（公比 ）. 3.若数列是等比数列,则数列（, 是常数）也是______数列. 4.若在等比数列中,等距离取出的若干项也构成一个等比数列,即,, , , 为等比数列,则其公比为____. 5.等比数列 的单调性： 当,或,时,数列 是______数列; 当,或,时,数列 是______数列; 当时,数列 是____数列. 等比 递增 递减 常 第35课时 等比数列 9 关键考点·核心突破 10 等比数列的基本量运算 题组1 （RA选修二P37练习T1改编）已知数列是等比数列，其前项和为 . （1）若，，，求 ； （2）若，，，求 ； （3）若，，求与 ； （4）若，，求与 . 第35课时 等比数列 11 解析 （1）因为，，，所以 . （2）因为，，且 ， 所以 . （3）由，，可得 ， 即，解得 ， 所以 . 第35课时 等比数列 12 （4）因为， ， 所以当时，可得，此时 ，满足题意； 当时，可得解得, . 综上所述，,或, . 第35课时 等比数列 题组2（1）（2025⋅全国二卷,多选题）记为等比数列的前项和，为 的 公比，，若， ，则( ). AD A. B. C. D. 解析 对于A，由题意得结合，解得或 （舍去），故A正确；对于B，因为 ，故B错误；对于C， ，故C错误；对于D， ， ，则，故D正确.故选 . 第35课时 等比数列 14 （2）（2025⋅全国一卷）若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该 等比数列的公比为___. 2 解析 设该等比数列为，是其前项和，的公比为，且 ， . 当时，，即，但 ，显然不成立，舍去； 当时，， ， 两式相除得 ， 即 ， 则，因为，所以 . 第35课时 等比数列 15 （3）（2024·全国甲卷）已知等比数列的前项和为，且 . ①求 的通项公式； 解析 ①因为,所以 ， 所以，即，故等比数列的公比 ， 故，故，故 . ②求数列的前 项和. 第35课时 等比数列 16 ②由等比数列的求和公式，得 ， 所以数列的前 项和 . 第35课时 等比数列 17 感悟提升 解决等比数列有关问题的两种常用思想 （1）方程思想：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数 列中有,,,, 五个量,一般可以知三求二,通过列方程（组）便可迎刃而解. （2）分类讨论思想：等比数列的前项和公式涉及对公比 的分类讨论,当 时,的前项和;当时,的前项和 . 第35课时 等比数列 18 等比数列的判定与证明 例1 已知数列满足,, . （1）证明:数列 是等比数列. （2）求数列 的通项公式. 第35课时 等比数列 19 解析 （1）因为,所以 . 又因为,,所以,则数列 是以2为首项,2为公比的等 比数列. （2）由（1）知,数列 是以2为首项,2为公比的等比数列, 则 , , , …… , , 则 , 即,所以 . 第35课时 等比数列 20 感悟提升 等比数列的判定方法 （1）定义法：若为非零常数，且，，则 是等比数列. （2）等比中项法：若在数列中，且，则 是等比数列. （3）通项公式法：若数列的通项公式可写成， 均为非零常 数，，则 是等比数列. （4）前项和公式法：若数列的前项和 为常数，且 ，，则 是等比数列. 第35课时 等比数列 21 （结构不良题）已知数列的各项均为正数,记为的前 项和,从下面①②③ 三个条件中选取两个作为已知条件,证明另外一个成立.①数列 是等比数列;②数列 是等比数列; . 注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分. 第35课时 等比数列 22 解析 选 . 因为数列,是等比数列,所以 , 即,化简得 . 又因为,所以 . 选 . 因为,是等比数列,所以数列的公比 , 所以,即 . 因为,,所以数列 是等比数列. 选 . 第35课时 等比数列 23 因为数列是等比数列,且,所以 , 故数列是以 为首项,2为公比的等比数列, 所以,则 , 所以 , 当时, ,也符合上式, 所以数列是以 为首项,2为公比的等比数列. 第35课时 等比数列 等比数列性质的应用 考向1 项的性质 例2（1）（经典高考真题）已知为等比数列，， ，则 ____. 解析 为等比数列， ， . 又， ， . 第35课时 等比数列 25 （2）已知等比数列的各项均为正数,且 ,则 ____. 15 解析 是等比数列, , 则,解得 , . 第35课时 等比数列 26 考向2 和的性质 例3（1）（经典高考真题）记为等比数列的前项和，若， ， 则 ( ). C A.120 B.85 C. D. 第35课时 等比数列 27 解析 设等比数列的公比为 ， 因为，，所以，否则 ， 从而,,, 成等比数列， 所以 ， 解得或 . 当时，,,, ， 即,,, ， 易知，即 ； 当时， ，与 矛盾，舍去.故选C. 第35课时 等比数列 28 （2）已知等比数列共有项,其和为 ,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公 比___ 2 解析 由题意,得解得所以 . 第35课时 等比数列 29 感悟提升 1.在解决与等比数列有关的问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若 ，则 ”，可以减少运算量，提高解题速度. 2.在应用等比数列的性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当 变形.此外，解题时要注意设而不求思想的运用. 第35课时 等比数列 30 1.（多选题）下列说法正确的是( ). BD A.若等比数列的前项和，则 B.若数列为等比数列，且，则 C.若数列为等比数列，为其前项和，则，，， 成等比 数列 D.项数为奇数的等比数列，，，，则公比 第35课时 等比数列 31 解析 对于A，由得的公比，由等比数列的前 项和公式，知 ，故A错误； 对于B，由，得 ，所以 ，故B正确； 对于C，设的公比为,当，为偶数时，，显然， ， ， 不成等比数列，故C错误； 对于D，设数列共有项,公比为 ，由题意得 ， ，则 ，解得 ，故D正确.故选 . 第35课时 等比数列 32 2.（多选题）设等比数列的公比为,其前项和为,前项积为 ,并满足条件 ,, ,则( ). AB A. B. C.是数列中的最大值 D.数列 无最大值 解析 当时,,则不成立;当 时, ,,,则不成立, . 又,, ,A正确. ,故B正确. 是数列 中的最大值,C,D错误. 故选 . 第35课时 等比数列 33 作业：完成等比数列限时练 第35课时 等比数列 THANKS 35 $