第6章 第3节 等比数列-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“等比数列”专题，覆盖概念、通项公式、前n项和公式、性质及函数关系等核心考点，对接高考评价体系，分析基本量运算、判定证明、性质应用等高频考点权重，归纳选择、填空、解答题常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题引领+方法总结+素养提升”，如以2025全国二卷等比数列求和真题为例，详解“知三求二”方程法和“片段和”性质应用技巧，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念），帮助学生掌握得分关键，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第三节　等比数列 第六章　数列 1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.　2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.　3.体会等比数列与指数函数的关系. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点一　等比数列的有关概念 1.定义 如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的比都等于 ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,公比通常用字母 表示(显然q≠0). 2.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么 叫做a与b的等比中项,此时 . 第2项 同一个常数 公比 q G G2=ab 知识点二　等比数列的有关公式 1.通项公式 等比数列{an}的通项公式为an= . 2.等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn, 当q=1时,Sn= ; 当q≠1时,Sn==. a1qn-1 na1 知识点三　等比数列与函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an=·qn,当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f(n). 知识点四　等比数列的性质 1.若m+n=p+q,则 ,其中m,n,p,q∈N*.特别地,若2w=m+n,则 ,其中m,n,w∈N*. 2.ak,ak+m,,…仍是等比数列,公比为 (k,m∈N*). 3.若数列{an},{bn}是两个项数相同的等比数列,则数列{an·bn},{pan·qbn}和{}也是等比数列(p,q≠0). aman=apaq aman= qm 知识点四　等比数列的性质 4.若或则等比数列{an}递 . 若或则等比数列{an}递 . 5.等比数列前n项和的常用性质 若等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列(公比q=-1且n为偶数除外),其公比为qn. 增 减 常用结论 1.等比数列中所有奇数项的符号相同,所有偶数项的符号相同. 2.数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和.若数列{an}的项数为2n,则=q;若项数为2n+1,则=q或=q. 自我评价 1.在等比数列{an}中,a1=1,a5=4,则a3=(　　) A.2　　　　　　　　　 B.-2 C.±2 D.2 解析:由等比数列的性质可知, =a1a5=4,所以a3=±2. 又因为=q2>0,所以a3=2. A 2.(多选)设数列{an}是各项均为正数的等比数列,则(　 　) A.a3,a5,a7成等比数列 B.{}是等比数列 C.{lg an}是等比数列 D.{}是等比数列 ABD 解析:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠0). 对于A,=(a1q4)2=q8,a3a7=(a1q2)·(a1q6)=q8,所以=a3a7,则a3,a5,a7成等比数列,A正确; 对于B,因为=q3,所以{}是等比数列,B正确; 对于C,不妨设等比数列{an}为an=1,则lg an=0,所以{lg an}不是等比数列,C错误; 对于D,因为==,所以{}是等比数列,D正确. 3.(人A选择性必修第二册P37T3改编)在等比数列{an}中,已知a2=6,6a1+a3=30,则an=　　 　　　.  解析:设等比数列{an}的公比为q, 由题意得 解得 故an=3·2n-1或an=2·3n-1. 3·2n-1或2·3n-1 4.数列{an}的通项公式是an=an(a≠0),则其前n项和Sn= 　 　　　　.  解析:因为a≠0,an=an,所以{an}是以a为首项,a为公比的等比数列.当a=1时,Sn=n;当a≠1时,Sn=. 关键能力　重点探究 考点一　等比数列基本量的运算 [例1]　(多选)(2025·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和,q为{an}的公比,q>0.若S3=7,a3=1,则(　　) A.q=　　　　　　　　 B.a5= C.S5=8 D.an+Sn=8 AD [解析]　对于A,由题意得结合q>0,解得(舍去),故A正确; 对于B,a5=a1q4=4×()4=,故B错误; 对于C,S5===,故C错误; 对于D,an=4×()n-1=23-n,Sn==8-23-n, 则an+Sn=23-n+8-23-n=8,故D正确. 方法总结 等比数列基本量运算的解题策略 1.等比数列中有五个量:a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)解决. 2.在利用等比数列的前n项和公式时，要注意讨论公比q. 跟踪训练 1.(2026·湖南邵阳模拟)记等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2=1,S6=S3,则a1=(　　) A.3 B.2 C.- D.- 解析:设等比数列{an}的公比为q,若q=1,则S6=2S3,故q≠1, 由S6=S3可得=×, 化简得q3=-,解得q=-,则a1===-. D 2.(2026·安徽滁州模拟)已知首项为负数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S6=63,则a4=(　　) A.8 B.16 C.24 D.48 解析:设数列{an}的公比为q,则S2=a1+a2=a1(1+q)=3. 又a1<0,则1+q<0,即q<-1. 又S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=(a1+a2)(1+q2+q4)=63, 即1+q2+q4=21,解得q2=4. 又q<-1,则q=-2,所以a1=-3,a4=a1·q3=-3·(-2)3=24. C 3.(2026·江西九江模拟)有一款合成2 048游戏.游戏规则如下:在一个4*4的方格中,游戏开始时,方格中会随机出现两个数字小方块,只能是2或4.手指向一个方向(上、下、左、右)滑动,所有含有数字的小方块都会向这个方向移动到不能移动为止,滑动过程中相同数字的两个小方块相撞时数字会相加,称为一次合并运算.每次滑动时,空白处会随机刷新出一个含有数字(只能是2或4)的小方块.当界面中最大数字是2 048时,最少合并运算的次数为　　　　次. 511 解析:由题意可知,算式1 024+1 024=2 048只需出现1次,而算式中有2个 1 024, 故算式512+512=1 024需出现21次, 算式256+256=512需出现22次……以此类推,算式4+4=8需出现28次, 故每次出现的都是数字4,最少合并运算的次数是1+2+22+…+28==29-1=511(次). 考点二　等比数列的判定与证明 [例2]　(2025·八省联考)已知数列{an}中,a1=3,an+1=. (1)证明:数列{1-}为等比数列; [证明]　∵an+1=,a1=3>0,∴an>0, ∴==+, ∴1-=-=(1-).又1-=≠0, ∴数列,公比为的等比数列. (2)求{an}的通项公式. [解]　由(1)知,1-=()n⇒an==. 方法总结 注意:若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可. 跟踪训练 4.在数列{an}中,a1=2,an+1=,则下列结论正确的是(　　) A.数列{an}的通项公式为an=2n B.数列{an}为等比数列 C.数列{ln an}为等比数列 D.数列{ln an}为等差数列 C 解析:在数列{an}中,a1=2,an+1=,则a2==22,a3==(22)2=24,显然a1,a2,a3不成等比数列,A,B都错误; 依题意,ln a1=ln 2>0,由an+1=两边取对数得,ln an+1=2ln an, 因此数列{ln an}是首项为ln 2,公比为2的等比数列,C正确,D错误. 考点三　等比数列的性质 角度1　等比数列项的性质 [例3]　(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=　　　　　.  -2 [解析]　法一:∵{an}为等比数列, ∴a4a5=a3a6,∴a2=1. 又a2a9a10=a7a7a7,∴1×(-8)=(a7)3, ∴a7=-2. 法二:设{an}的公比为q(q≠0), 则a2a4a5=a3a6=a2q·a5q,显然an≠0, 则a4=q2,即a1q3=q2,则a1q=1. ∵a9a10=-8,则a1q8·a1q9=-8, 则q15=(q5)3=-8=(-2)3, 则q5=-2,则a7=a1q·q5=q5=-2. 方法总结 利用等比数列项的性质解题 1.基本思路:充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题. 2.优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量. 角度2　等比数列前n项和的性质 [例4]　(2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数,且前4项的和等于4,前8项的和等于68,则这个数列的公比等于　　　　　.  2 [解析]　法一:设该等比数列为{an},其公比为q(q>0),其前n项和为Sn,则S4=4,S8=68, 当q=1时,S4=4a1=4,即a1=1,则S8=8a1=8≠68,显然不成立,舍去; 当q≠1时,则S4==4,S8==68, 两式相除得=,即=17, 则1+q4=17,所以q=2, 所以该等比数列的公比为2. 法二:设该等比数列为{an},其公比为q(q>0),其前n项和为Sn,则S4=4,S8=68, 所以S4=a1+a2+a3+a4=4, S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8 =a1+a2+a3+a4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4 =(a1+a2+a3+a4)(1+q4)=68, 所以4(1+q4)=68,则1+q4=17,因为q>0,所以q=2, 所以该等比数列的公比为2. 1.“片段和”性质Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列,注意q=-1且n为偶数时不适用,且记住公比为qn. 2.在等比数列{an}中,若项数为偶数,则有S偶=qS奇,且Sn=S偶+S奇. 3.解题时要注意观察序号之间的联系,发现解题契机,注意应用整体的思想. 方法总结 跟踪训练 5.已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1,a9是关于x的方程x2-mx+4=0的两个实数根,则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=(　　) A.8 B.9 C.16 D.18 解析:a1,a9是关于x的方程x2-mx+4=0的两个实数根,则a1a9=4, 由等比数列的性质可得,a1a9=a8a2=…=a5a5=4,所以a5=2. 又log2a1+log2a2+…+log2a9=log2(a1·a2·a3·…·a9)= log2[(a1·a9)·(a2·a8)·(a3·a7)·(a4·a6)·a5]=log2(44×2)=log229=9. B 6.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S14=3S7,S7+S21=56,则S21=(　　) A.14 B.28 C.35 D.49 解析:由Sn是等比数列{an}的前n项和,由题易知S7,S14-S7,S21-S14均不为0, 且S7,S14-S7,S21-S14是等比数列. 因为S14=3S7,所以S14-S7=2S7,可得S21-S14=2(S14-S7)=4S7,所以S21=S14+4S7=7S7, 则S7+S21=8S7=56,解得S7=7,则S21=7×7=49. D $