数列求和（二）课件-2027届高三数学一轮复习

数列求和（二） 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】 1. 进一步掌握放缩法、并项求和、奇偶项分组等综合求和方法； 2. 能处理含绝对值、分段、奇偶项差异的求和； 3. 体会求和与不等式放缩的结合。 【教学重点】 · 含绝对值与奇偶分组的求和；求和中的放缩。 【教学难点】 · 放缩尺度与方向的把控；综合型求和的适应性。 第37课时 数列求和（二） 掌握错位相减法求和、裂项相消法求和等几种常见的求和方法. 第37课时 数列求和（二） 3 【近五年考频考点】及备考建议 数列求和（二）多出现在解答题综合设问与压轴（5年约4考），常与放缩、不等式结合。 备考建议：掌握奇偶分组与并项技巧；放缩遵循“放缩适度、首尾可消”的原则，避免过放或过缩。 第37课时 数列求和（二） 常用的裂项公式： （1） ； （2） ； （3） ; （4） ; （5） . 第37课时 数列求和（二） 5 一、错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那 么这个数列的前项和就可用此法来求，如等比数列的前 项和公式就是用此法推导的. 二、裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可以相互抵消，从而求 得其和. 第37课时 数列求和（二） 6 关键考点·核心突破 7 错位相减法求和 例1 设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为 .已知 ，，， . （1）求数列， 的通项公式； （2）当时，记，求数列的前项和 . 第37课时 数列求和（二） 8 解析 （1）设，由题意可得 解得或 当时，， ； 当时，， . （2）当时，由（1）知， ， ， 第37课时 数列求和（二） 9 ， ， ， . 第37课时 数列求和（二） 感悟提升 错位相减法求和的步骤 设的前项和为,其中数列是公差为的等差数列,数列 是公比为 的等比数列，则错位相减法求和的步骤如下： 因为 , 所以 . 两式相减，得 , 令,则 . 第37课时 数列求和（二） 11 （2025·全国一卷）设数列满足， . （1）证明： 为等差数列. （2）设函数，求 . 第37课时 数列求和（二） 12 解析 （1）因为 ， 所以，即 . 因为，所以数列 是首项为3，公差为1的等差数列. （2）由（1）知， . 因为 ， 所以 ， 所以 ， ① 第37课时 数列求和（二） 13 ， ② 得 ， 所以 . 第37课时 数列求和（二） 裂项相消法求和 例2 已知等比数列的各项均为正数，且, . （1）求数列 的通项公式； （2）设，求数列的前 项和. 第37课时 数列求和（二） 15 解析 （1）设数列的公比为,由得,所以 . 由条件可知，,故 . 由，得,所以 . 故数列的通项公式为 . （2） ， 故 . 因为 ， 所以数列的前项和为 . 第37课时 数列求和（二） 16 感悟提升 裂项相消法的原则及规律 （1）裂项原则：一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律 为止. （2）消项规律：消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩 倒数第几项. 第37课时 数列求和（二） 17 （经典高考真题）记为数列的前项和，已知,是公差为 的等差数列. （1）求 的通项公式. （2）证明： . 解析 （1），, . 又是公差为的等差数列， , , 当时， ， , 第37课时 数列求和（二） 18 整理得,即 , 数列 ， 显然对于 也成立， 数列的通项公式为 . （2） , . 第37课时 数列求和（二） 作业：完成数列求和限时练2 第37课时 数列求和（二） THANKS 21 $