第6章 第5节 数列求和(二)-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦“数列求和（二）”专题，依据高考评价体系覆盖倒序相加法、裂项相消法两大核心考点，梳理出裂项相消的等差型、指数型、无理型等常考题型，明确裂项公式应用占60%、倒序配对求和占40%的考点权重，构建系统的解题思路框架。 课件亮点在于“方法拆解+真题模拟+素养落地”，如以裂项相消法为例，通过1/n(n+2)的等差型裂项、2^n/(2^n-1)(2^(n+1)-1)的指数型裂项实例，培养学生数学思维的推理能力与运算能力。特设“倒序相加配对规律”“裂项抵消法则”等应试技巧，助力学生高效得分，教师可依托此课件精准开展专题突破，提升复习针对性。

第五节　数列求和(二) 第六章　数列 1.熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式,能够利用公式求数列的前n项和.　2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.(倒序相加、裂项相消) 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点　数列求和的几种常用方法 1.倒序相加法 一般地,若一个数列的前n项中,距首末两项“等距离”的两项之和都相等,则可以使用倒序相加法求数列的前n项和. 2.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. 知识点　数列求和的几种常用方法 3.常见的裂项公式 (1)若{an}是等差数列,且公差d≠0,则=(-),=(-). (2)=(-)(k≠0). (3)=(-). (4)=(-)(k≠0). (5)loga(1+)=loga=loga(n+1)-logan. (6)=-. 自我评价 1.已知在数列{an}中,an=1+,则S=a1+a2+…+a95+a96=(　　) A.96　　　B.97 C.98 D.99 解析:an=1+=, 所以S=a1+a2+…+a95+a96=++…++, S=a96+a95+…+a2+a1=++…++, 两式相加可得2S=(a96+a1)+(a95+a2)+…+(a2+a95)+(a1+a96)=96×2,所以S=96. A 2.数列的前n项和Sn=　　 　　.  解析:令an==[(-)]=[-], 则Sn=a1+a2+…+an=[-+-+…+-]=[-]=-. - 3.已知在数列{an}中,an=(n∈N+),且数列{an}的前n项和为Sn=9,那么n=　　　　.  解析:因为an= ==-, 所以Sn=(-1)+(-)+…+(-)=-1, 由Sn=9,得-1=9,解得n=99. 99 关键能力　重点探究 考点一　倒序相加法 [例1]　已知函数f(x)=log3. (1)证明函数f(x)的图象关于点(,1)对称; [证明]　因为函数f(x)=log3的定义域为(0,1), 设M(x1,y1),N(x2,y2)是函数y=f(x)图象上的两点, 其中x1,x2∈(0,1)且x1+x2=1, 则有y1+y2=f(x1)+f(x2)=log3+log3=log3=2, 因此函数图象关于点(,1)对称. (2)若Sn=f()+f()+…+f()(n∈N+,n≥2),求Sn. [解]　由(1)知,当x1+x2=1时,f(x1)+f(x2)=2, Sn=f()+f()+…+f(),① Sn=f()+…+f()+f(),② ①+②得2Sn=2(n-1),即Sn=n-1. 跟踪训练 1.已知数列{an}满足:+++…+=n(n∈N+),数列{bn}满足bn=. (1)求数列{an}的通项公式; 解:由数列{an}满足:+++…+=n(n∈N+), 当n≥2时,可得+++…+=n-1, 两式相减,可得=1,所以an=2n, 当n=1时,可得=1,所以a1=2,适合上式, 所以数列{an}的通项公式为an=2n. (2)求bn+b100-n的值; 解:由数列{bn}满足bn==, 则bn+b100-n=+=+= +==. (3)求b1+b2+b3+…+b99的值. 解:由(2)知bn+b100-n=, 可得b1+b2+…+b99=++…+, 则b99+b98+…+b1=++…+, 两式相加可得2(b1+b2+b3+…+b99)=,所以b1+b2+b3+…+b99=. 考点二　裂项相消法 角度1　等差型 [例2]　(2026·云南昆明模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,5Sn+an=1. (1)求数列{an}的通项公式; [解]　由题得5Sn+an=1,① ∴当n=1时,5S1+a1=1,得a1=. 当n≥2时,5Sn-1+an-1=1,② ①-②得6an=an-1,即=, 故数列{an}是首项为,公比为的等比数列, ∴an=. (2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. [解]　由(1)得bn===(-). ∴Tn=[(1-)+(-)+…+(-)+(-)]=(1+--)=-. 角度2　指数型 [例3]　已知在递增等比数列{an}中,a1+a2=6,a3+a4=24,设bn=. (1)求数列{an}的通项公式; [解]　设递增等比数列{an}的公比为q,则q>0. 因为a1+a2=6,a3+a4=24, 所以q2===4,解得q=2. 所以a1+2a1=6,解得a1=2, 所以an=2×2n-1=2n. (2)求数列{bn}的前n项和Sn. [解]　因为an=2n,bn=, 所以bn===-, 所以Sn=b1+b2+…+bn=(-)+(-)+…+(-)=1-. 角度3　无理型 [例4]　(2026·河北秦皇岛模拟)已知各项都是正数的数列{an},其前n项和为Sn,a1=1,且Sn-=. (1)求数列{an}的通项公式; [解]　由题意得4Sn-4=-1, 所以(2-1)2=.又数列{an}是各项都是正数的数列,a1=1, 所以2-1=an,4Sn=(an+1)2, 当n≥2时,有4Sn-4Sn-1=4an=+2an--2an-1, 所以2(an+an-1)=-=(an+an-1)(an-an-1), 所以an-an-1=2,故数列{an}是1为首项,2为公差的等差数列, 所以an=2n-1. (2)若bn=+,求证:++…+=3. [证明]　由(1)得bn=+, 所以==(-), 所以++…+=(-)+(-)+…+(-)=(-)=3,证毕. 方法总结 裂项相消法的原则及规律 1.裂项原则 一般是前面裂几项,后面就裂几项,直到发现被消去项的规律为止. 2.消项规律 消项后前面剩几项,后面就剩几项,前面剩第几项,后面就剩倒数第几项. 跟踪训练 2.记Sn为各项均为正数的数列{an}的前n项和,已知4Sn=+2an. (1)求数列{an}的通项公式; 解:由题可知an>0,当n=1时,4S1=+2a1⇒4a1=+2a1⇒a1=2, 由4Sn=+2an,① 当n≥2时,4Sn-1=+2an-1,② ①-②得4Sn-4Sn-1=-+2an-2an-1=4an⇒(an+an-1)(an-an-1-2)=0, 所以an-an-1-2=0,即an-an-1=2(n≥2), 所以数列{an}是以2为首项,2为公差的等差数列. 所以an=2+(n-1)×2=2n,即an=2n. (2)若数列{cn}满足cn=,求数列{cn}的前n项和Tn. 解:由(1)可知an=2n, 所以cn==== 1+=1+·(-), 所以Tn=c1+c2+…+cn=n+(1-+-+…+-)=n+(1-)=n-+. $