数列中的构造问题 课件-2027届高三数学一轮复习

数列中的构造问题 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】 1. 掌握形如 ) 等递推数列的构造求通项方法； 2. 会用待定系数、取倒数、取对数、累加、累乘等变形策略； 3. 体会“化归为等差或等比”的构造思想。 【教学重点】 · 递推式的构造转化；待定系数法与取倒数、取对数法。 【教学难点】 · 构造形式的识别与参数配凑；多类型递推的综合。 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 【新课标要求】 能通过递推关系探究数列的通项公式，体会等价转化与构造思想（选择性必修课程“数列”主题，学业质量水平二或三）。 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 【近五年考频考点】及备考建议 数列构造求通项是新高考高频热点（5年约3考），多为压轴小题或解答题第(1)问。 备考建议：归纳“线性型、分式型、含 n 型、含 型”四类构造通法；强化待定系数配凑训练。 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 第七单元 数列 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 5 数列中的构造问题是历年高考的一个热点问题，主观题、客观题均会出现，一 般通过构造新的数列求数列的通项公式. 型 典例1 （RA选修二P8练习T2改编1）求下列数列的通项公式. （1）若,，则 ___________； （2）若,,则 ________________； （3）若,,则 ____________. 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 6 解析 （1）设，整理得 ，由对应项的系数相 等，可得，从而原式可变形为 . 又，所以数列是以 为首项，4为公比的等比数列， 则，即 . （2）设 ，整理得 . 由对应项的系数相等，可得, ，从而原式可变形为 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 7 .又 ，所以数列 是以为首项，4为公比的等比数列，所以 ，即 . （3）将两边同时除以，可得，即 ，又 ，则数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以 ， 整理可得 . 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 感悟提升 形式 构造方法 引入参数 ，构造新的等比数列 引入参数 ， ，构造新的等比数列 两边同时除以，构造新的数列 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 9 1.若数列满足且,则 __________. 解析 因为,所以 ,所以 ,当时， 也符合上式, 所以是以1为首项,4为公比的等比数列,则 , 所以,所以 . 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 10 2.已知,当时,,则 __________________. 解析 设,则 , 与原式比较,由对应项的系数相等，得解得 因为,所以是以3为首项, 为公比的等比数列, 所以,所以 . 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 11 3.（一题多法）若在数列中,,,则 ____________ ______. 解析 （法一）原递推式可化为 . ① 由对应项的系数相等得,①式即 ， 则数列是首项为 ,公比为2的等比数列, 所以,即 . 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 12 （法二）将等式的两边同时除以,得 . 设,则 . 设,由对应项的系数相等得,则 , 所以是以为首项, 为公比的等比数列， 所以 , 则,所以 . 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 13 型 典例2 （RA选修二P8练习T2改编2）设数列满足, , ，则 _ ___________________. 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 14 解析 因为 ， 所以 . 又，所以数列是以 为首项，5为公比的等比数列， 所以，即 ， 两边同时除以，可得 . 设，则， . 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 15 设，整理得 ，由对应项的系数相等可得 .又 , 所以数列是以为首项， 为公比的等比数列， 所以 ， 即 ， 所以 . 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 感悟提升 对于形如其中,为常数,且, 的递推公式，可 以按以下步骤求 第一步，将递推公式改写成 ； 第二步，利用待定系数法,求出, 的值； 第三步，求数列 的通项公式； 第四步，根据数列的通项公式,求出数列 的通项公式. 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 17 已知在数列中,,,,则 _____________ ________. 解析 因为,所以 . 又,所以 是首项为7,公比为3的等比数列,则 . ① 因为, , 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 18 所以是首项为,公比为 的等比数列, 则 . ② 由得, , 所以 . 当时, 也满足上式， 故 . 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 19 型 典例3 （RA选修二P8练习T2改编3）设数列满足, ， 则 ______. 解析 将两边取倒数，得，设,则 ， . 设，整理得 ，由对应项的系数相等，可得 .又 ， 所以数列 是以6为首项，2为公比的等比数列， 所以，即 ， 所以 . 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 20 感悟提升 对于形如（其中,, 均不为0）的递推公式，可以按以下步骤求 第一步，将递推公式两边取倒数，得 ; 第二步，利用类型一中的构造法,求出数列 的通项公式; 第三步，根据数列的通项公式，求出数列 的通项公式. 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 21 已知在数列中，，，则_____ 解析 因为，所以，设 ， 则，解得，所以 . 又 ， 所以数列是以 为首项，3为公比的等比数列， 所以 ， 所以 . 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 22 型 典例4 （RA选修二P8练习T2改编4）设数列满足， ，且 ，则 _____________. 解析 由且 ，两边取以2为底的对数，得 . 令，则，整理得 .又 ， 所以数列是首项为 ，公比为2的等比数列， 所以，即，故 . 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 23 感悟提升 对于形如的递推公式，可以按以下步骤求 第一步，两边同取以为底的对数，得 ； 第二步，将看成一个整体，运用待定系数法求得 的表达式，再得 出 . 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 24 已知数列满足，，若，则 的最大值为 ____. 18 解析 由,可得，两边同取对数,得 ， 所以.又，所以{ 是首项为2，公比为 2的等比数列， 所以，故.由 可得 ， 即，所以，故 ，得 ，当且仅当时取等号，故 的最大值为18. 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 25 特征根法求数列的通项公式 思维进阶 1.对应于一元二次方程 ，此方程为该 数列的特征方程. （1）若特征方程有两个不相等的实根 ， ，则，其中， 由， 的值决定； （2）若特征方程只有一个实根 ，则，其中，由， 的值 决定. 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 26 2.对应于分式方程 ，此方程为该数列的特征方程.记此方程的两 根分别为， . （1）当时，数列 为等差数列; （2）当时，数列为等比数列，进而可得数列 的通项公式. 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 27 典例 （1）已知数列满足，，，则 ______ _____. （2）已知数列满足，，，则 _____. （3）设数列满足，，则数列的通项公式为 _____. 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 28 解析 （1），其特征方程为，解得， ， 令 ， 由得 . （2），其特征方程为，解得 ， 令 ， 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 29 由得 . （3）对应的特征方程为，即 ， 解得，所以 ， 所以.又，所以数列 是以2为首项，4为公差的 等差数列，所以，所以 . 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 作业：完成数列中的构造问题限时练 进阶课08 数列中的构造问题5年3考 THANKS 32 $