第6章 第4讲 数列中的构造问题(提升课)（PPT课件）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦数列构造问题，覆盖形如\(a_{n+1}=pa_n+f(n)\)、\(a_{n+1}=pa_n+qa_{n-1}\)等四大核心考点，依据高考评价体系分析各题型考查权重，通过例题解析、规律总结归纳常考题型，构建系统解题思路，体现高考备考的针对性与实用性。 课件亮点在于“考点分类突破+方法建模+真题训练”，如用待定系数法解决\(a_{n+1}=pa_n+q\)型构造等比数列，取倒数转化\(a_{n+1}=\frac{pa_n}{ra_n+s}\)型为等差数列，培养学生数学思维与模型观念。特设对点训练与达标检测，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，助力高效备考。

第4讲　数列中的构造问题(提升课) 第六章　数列 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 核心考点突破 01 知能达标训练 02 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 核心考点突破 栏目导航 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 栏目导航 第六章　数列 1 知能达标训练 栏目导航 栏目导航 第六章　数列 1 谢谢观看 栏目导航 第六章　数列 1 数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式． 考点一　形如an＋1＝pan＋f(n)型　多维探究　发散思维 角度1　an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0) 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝5an＋12，则数列{an}的通项公式an＝________． [解析]　 由an＋1＝5an＋12可得an＋1＋3＝5(an＋3)，又a1＋3＝5≠0，＝5，所以{an＋3}是以a1＋3＝5为首项，5为公比的等比数列，所以an＋3＝5·5n-1＝5n，所以an＝5n－3. [答案]　5n－3 角度2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0) (1)设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n，则{an}的通项公式为________． (2)在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6(n∈N＋)，则{an}的通项公式为________． [解析]　(1)因为an＋1＝3an－4n，设an＋1＋x(n＋1)＋y＝3(an＋xn＋y)，则展开利用对应项系数相等可得出x＝－2，y＝－1，所以an＋1－(2n＋3)＝3[an－(2n＋1)]，此时a1－2－1＝0，所以an－(2n＋1)＝0，故an＝2n＋1. (2)因为an＋1＝3an＋4n－6(n∈N＋)，设an＋1＋x(n＋1)＋y＝3，其中x，y∈R，整理可得an＋1＝3an＋2xn＋2y－x，所以解得所以an＋1＋2(n＋1)－2＝3(an＋2n－2)，且a1＋2×1－2＝a1＝3，所以数列{an＋2n－2}是首项为3，公比也为3的等比数列，所以an＋2n－2＝3×3n-1＝3n，解得an＝3n－2(n－1). [答案]　(1)an＝2n＋1　(2)an＝3n－2(n－1) 角度3　an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1) (1)已知{an}数列满足a1＝2，an＋1－2an＝2n+1，则数列{an}的通项公式为________． (2)数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2n+1，则数列{an}的通项公式为________． [解析]　(1)由an＋1－2an＝2n+1得－＝1，故为等差数列，公差为1，首项为1，所以＝1＋(n－1)＝n，所以an＝n·2n. (2)数列{an}中，由an＋1＝3an＋2n+1，得＝·＋1，即＋2＝，而a1＝2，＋2＝3，于是数列是首项为3，公比为的等比数列，因此＋2＝3×，即an＝2(3n－2n)，所以数列{an}的通项公式为an＝2(3n－2n). [答案]　(1)an＝n·2n　(2)an＝2(3n－2n) 1．形如an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)的递推式，一般配凑成an＋1＋x＝p(an＋x)的形式(利用待定系数法求x)，构造等比数列． 2．形如an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)的递推式，一般配凑成 an＋1＋x(n＋1)＋y＝p(an＋xn＋y)的形式(利用待定系数法求x，y)，构造等比数列． 3．形如an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)的递推式，一般两边同时除以pn+1或qn+1，再利用累加法或构造法求通项． 1．(多选)已知数列{an}，下列结论正确的有(　　) A．若a1＝2，2(n＋1)an－nan＋1＝0，则an＝n·2n B．在数列{an}中，a1＝1，且an＝2an－1＋3(n≥2，且n∈N＋)，则数列{an}的通项公式为an＝2n+1－3 C．若a1＝2，an＝an－1＋(n≥2)，则数列是等比数列 D．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋n－1，则数列{an}的通项公式为an＝2n－n＋1 解析　∵2(n＋1)an－nan＋1＝0，∴＝， ∴是首项为＝2，公比为2的等比数列， ∴＝2·2n-1，∴an＝n·2n，故A正确； 由an＝2an－1＋3(n≥2)，得an＋3＝2(an－1＋3)，即＝2， 又a1＋3＝1＋3＝4， ∴数列{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列， ∴an＋3＝4×2n-1，即an＝2n+1－3， ∴数列{an}的通项公式为an＝2n+1－3，故B正确； 根据题意，an＝an－1＋⇔－＝1，n≥2， 又＝6，∴是首项为6，公差为1的等差数列，故C错误； 设an＋1＋k(n＋1)＋b＝2(an＋kn＋b)，∴an＋1＝2an＋kn＋b－k， 由an＋1＝2an＋n－1，得解得 ∴＝2， 即{an＋n}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列． ∴an＋n＝2×2n-1＝2n，故an＝2n－n，故D错误． 答案　AB 考点二　形如an＋1＝pan＋qan－1型　重难考点　师生共研 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N＋)，则数列{an}的通项公式为an＝________． [解析]　方法一　因为an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N＋)，所以an＋1＋an＝3(an＋an－1)，设bn＝an＋1＋an，所以＝＝3，又因为b1＝a2＋a1＝3，所以数列{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列． 所以bn＝an＋1＋an＝3×3n-1＝3n，从而＋·＝，不妨令cn＝，即cn＋1＋cn＝，故cn＋1－＝－，即＝－，又因为c1－＝－＝，所以数列是首项为，公比为－的等比数列，故cn－＝×＝－，从而an＝. 方法二　因为方程x2＝2x＋3的两根为－1，3，可设an＝c1·(－1) n－1＋c2·3n-1，由a1＝1，a2＝2，解得c1＝，c2＝，所以an＝. [答案]　 形如an＋1＝pan＋qan－1(p≠0，1，q≠0，1)的递推式，可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}． 2．数列{an}中，a1＝1，a2＝，an＋2＝an＋1－an，则数列{an}的通项公式为an＝________． 解析　由an＋2＝an＋1－an，得an＋2－an＋1＝(an＋1－an)，故{an＋1－an}是以a2－a1＝为首项，为公比的等比数列，即an＋1－an＝，an－an－1＝，…，a2－a1＝，上式全部相加，利用等比数列求和得an＋1－a1＝2－2×，所以an＝3－2×，n≥2，又a1＝1符合上式，所以an＝3－2×. 答案　3－2× 考点三　形如an＋1＝型　重难考点　师生共研 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)，则满足an＞的n的最大取值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 [解析]　因为an＋1＝，所以＝4＋，所以－＝4，又＝1，所以数列是以1为首项，4为公差的等差数列，所以＝1＋4(n－1)＝4n－3，所以an＝.由an＞，即＞，即0＜4n－3＜37，解得＜n＜10，因为n为正整数，所以n的最大取值为9.故选C. [答案]　C 对于形如an＋1＝的递推式，可以两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出的表达式，再求an. 3．(多选)数列{an}满足an＋1＝(n∈N＋)，a1＝1，则下列结论正确的是(　　) A．＝＋ B．是等比数列 C．an＝1 D．3a5a17＝a49 解析　由an＋1＝，可得＝＝＋2，所以－＝2，且＝1，所以数列是等差数列，且该数列的首项为1，公差为2，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，则(2n－1)an＝1，其中n∈N＋，故C正确； 所以数列是等比数列，故B正确； 由等差中项的性质可得＝＋，故A正确；由上可知an＝，则3a5a17＝3××＝，a49＝＝，所以3a5a17≠a49，故D错误．故选ABC. 答案　ABC 考点四　形如an＋1＝pa型　重难考点　师生共研 数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2a，则数列{an}的通项公式为an＝________． [解析]　取以2为底的对数，得log2an＋1＝log2(2a)，则log2an＋1＝log22＋2log2an，则log2an＋1＝1＋2log2an，设bn＝log2an，则有bn＋1＝1＋2bn，则bn＋1＋1＝2(bn＋1)，所以{bn＋1}是以b1＋1＝1为首项，2为公比的等比数列，所以bn＋1＝2n-1，所以bn＝2n-1－1，即log2an＝2n-1－1，故an＝. [答案]　 对于形如an＋1＝pa的递推式，可以两边同时取对数转化为logaan＋1＝logap＋mlogaan的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出logaan的表达式，再求an. 4．数列{an}中，a1＝2，an＋1＝a，则数列{an}的通项公式为an＝________． 解析　取以a1＝2为底的对数得到log2an＋1＝log2a＝2log2an，设bn＝log2an，则有bn＋1＝2bn，所以{bn}是以b1＝log2a1＝1为首项，2为公比的等比数列，所以bn＝2n-1，所以log2an＝2n-1，an＝ 答案　 $