数列的概念 课件-2027届高三数学一轮复习

数列的概念 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】 1. 了解数列的概念及几种简单的表示方法（列表法、图象法、通项公式法）； 2. 了解数列是自变量为正整数的特殊函数； 3. 能用 的关系求数列的通项； 4. 了解数列的单调性、周期性与最值。 【教学重点】 数列的概念；与 的关系；由递推关系求通项。 【教学难点】 · 由 求的分段处理；数列性质（单调、周期、最值）的研究。 第33课时 数列的概念 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表法、图象法、通项公式法）. 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 3.能够利用与 的关系求数列的通项公式. 4.能根据数列的递推关系求数列的项或通项公式. 第33课时 数列的概念 3 【近五年考频考点】及备考建议 数列概念及 的关系是高考基础考点（5年约3考），常与递推、求和综合。 备考建议：牢记 的分段处理；重视以函数视角研究数列的单调性与周期性。 第33课时 数列的概念 一、数列的有关概念 概念 含义 数列 按照____________排列的一列数 数列的项 数列中的__________ 数列的通项 数列的第项 通项公式 数列的第项 与_______之间的关系式 前 项和 在数列中， _________________ 确定的顺序 每一个数 序号 第33课时 数列的概念 5 二、数列的表示法 列表法 列表格表示与 的对应关系 图象法 把点_______画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 使用______表示数列的通项的方法 递推公式 使用初始值和与的关系式或，和 ， ， 的关系式等表示数列的方法 函数法 ， 公式 微思考（1）是否所有的数列都有通项公式？ 答案 不一定.没有规律的数列无通项公式. （2）数列"1，，1，， "的通项公式唯一吗？ 答案 不唯一.可表示为或 两种形式. 第33课时 数列的概念 6 （1）并不是所有的数列都有通项公式. （2）数列的通项公式不唯一. （3）若数列的前项和为，通项公式为，则 第33课时 数列的概念 7 三、数列的分类 单调性 递增数列 ，__________ 递减数列 ，__________ 常数列 ， 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前 一项的数列 周期性 ，存在正整数，使得 微判断（1）任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( ) × （2）若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点.( ) √ （1）数列的单调性可以类比数列的通项公式对应的函数解析式在区间 上的单调性. 第33课时 数列的概念 8 （2）可以把数列函数化，利用函数方法研究数列的单调性. （3）在数列中，，若最大，则若最小，则 第33课时 数列的概念 9 关键考点·核心突破 10 已知或与的关系求 例1 （原创）已知数列的前项和为 ，求下列数列的通项公式. （1） ； （2） ； （3）， . 第33课时 数列的概念 11 解析 （1）当时， . 当时， . 当时，满足 ， 所以， . 当时，不满足 ， 所以 综上所述，当时， ； 当时， 第33课时 数列的概念 12 （2）当时， . 因为 ， ① ， ② 由①②得 ， 所以 ， 显然当时， 不满足上式. 故 （3）由题意可得，两边同时除以 ，得 . 第33课时 数列的概念 故数列是以为首项，为公差的等差数列，则 ，所以 . 当时， . 故 第33课时 数列的概念 感悟提升 已知与的关系求 的两种方法 （1）利用消去，转化为与的关系再求 ； （2）利用消去，转化为与的关系，求出 后再 求 . 注意：当时，推出的关系不包含的情况，因此需要验证当 时关 系式是否成立，若成立，则合并表示，若不成立，则分段表示. 第33课时 数列的概念 15 1.已知数列满足，则 的通项公 式为 _ ___________. 解析 因为 ， ① 所以 ， 当时， ， ② 由①②，可得 ， 所以，当时， 不满足上式， 所以数列的通项公式是 第33课时 数列的概念 16 2.设数列的前项和为，若且当时，，则 的通项 公式为 _ __________________. 解析 当时，由可得，即 . 因为，所以数列是首项为，公差为 的等差数列， 所以，所以 . 当时，，又因为 ，不满足上式， 所以 第33课时 数列的概念 17 由数列的递推关系求通项公式 例2 写出下列各数列 的通项公式. （1）（湘教选修一P513改编，累加法）， ； （2）（累乘法）， . 第33课时 数列的概念 18 解析 （1） ， 当时，，， ， ，以上各式相加，得 ， ，当时，满足上式， . （2），， ， ， . 当时，满足上式， . 第33课时 数列的概念 19 感悟提升 1.形如的数列，利用累加法即可求出数列 的通项公式. 2.形如的数列，利用累乘法即可求出数列 的通项公式. 1.围棋起源于我国，至今已有4 000多年的历史.在围棋中，对于一些复杂的问题，比 如在判断自己单个“眼”内的“气”数是否满足需求时，可利用数列有关知识来计算.假 设大小为的“眼”有口“气”，大小为的“眼”有口“气”，且 ， ，，则 的通项公式为_ ___________________. 第33课时 数列的概念 20 解析 根据题意得，即 ， 当 时，可得 ， 即 . 又当时，不满足，所以 第33课时 数列的概念 21 2.若数列满足，，则使不等式 成 立的最大正整数 为____. 29 解析 由数列满足，且，易知 ，则 ，所以当 时， ， 又 也符合上式，所以，且是递增数列， 由 得，解得， 所以满足条件的正整数 的最大值为29. 第33课时 数列的概念 22 数列的性质 考向1 数列的周期性 例3 若数列满足，，其前项积为，则 ____， ___. 解析 由题意知，，，， ， ，， ，因此数列 是以4为周期的周期数列，所以 ， . 第33课时 数列的概念 23 感悟提升 对于数列的周期性问题，先根据给出的关系式求出数列的若干项，再通过观察， 归纳出数列的周期，进而求出数列第项的值或数列前 项和（积）. 考向2 数列的单调性 例4 （多选题）已知数列满足， ，则( ). ABD A. B. 是递增数列 C.是递增数列 D. 第33课时 数列的概念 24 解析 对于A，由，得，又，所以 ， 所以，所以，当且仅当 ，即 时取等号，故A正确. 对于B，由选项A知，是递增数列，又，在 上单调递增， 所以 为递增数列，故B正确. 对于C，由，，得，，所以 ， ， 所以 不是递增数列，故C错误. 对于D，因为，所以 ， 第33课时 数列的概念 25 所以 ， 所以，所以，则 ，故 D正确. 故选ABD. 第33课时 数列的概念 感悟提升 解决数列的单调性问题的方法 （1）用作差比较法，根据的符号判断数列 是递增数列、递减数列 还是常数列； （2）用作商比较法，根据或 与1的大小关系进行判断； （3）结合相应函数的图象直观判断. 第33课时 数列的概念 27 考向3 数列的最值 例5 （一题多法）若数列满足，则当___时， 的最大值为__. 4 解析 （法一）， 当时，， 单调递增， 当时，， 单调递减， 故当时， . （法二）令即解得 ， 又，，故当时， . 第33课时 数列的概念 28 感悟提升 求数列的最值的常用方法 （1）将数列视为当时函数所对应的函数值，根据 的解析式作出 相应的函数图象，或者利用求函数最值的方法求出 的最值，进而求出数列的最 大（小）值. （2）通过的通项公式研究数列的最值，利用 确定数 列的最大项，利用 确定数列的最小项，从而得到数列的最大（小） 值. 第33课时 数列的概念 29 1.已知数列满足，，，为数列 的前 项和，则 ( ). C A. B. C. D. 解析 由题意可得，，，， ， ， ， 因此数列是以6为周期的周期数列，且 ， 所以 .故选C. 第33课时 数列的概念 30 2.（多选题）已知数列中各项均为正数，且 ，则 ( ). BCD A.对任意， B.数列 可能为常数列 C.若，则当时， D.若，则数列 为递减数列 解析 对于A，在数列中，，则 ，又对任 意，，所以，则，即对任意， ，但 的值的大小不确定，故A错误； 第33课时 数列的概念 31 对于B，不妨设数列可能为常数列，则，又 ，所以 ，所以，即当时，数列 为常数列，故B正确； 对于C，，则，因为数列 中各项均为正数，所以 ，同理，当时， ， ，所以数列 为递增数列，即当 时， ，故C正确； 对于D，，又，所以 ， 即，同理，当时， ， ，即， 所以数列 为递减数列，故D正确. 故选BCD. 第33课时 数列的概念 3.已知数列的通项公式为，则数列 前20项中的最大值与最小值分 别为_______. 3， 解析 ， 当时，，且数列 单调递减； 当时，，且数列 单调递减. 因此数列前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项，且 ， . 第33课时 数列的概念 33 斐波那契数列 深挖教材 在高中数学人教A版教材选择性必修第二册第10页“阅读与思考”中介绍 了斐波那契数列：首两项都为1，从第三项起，每一项是之前两项的和.例：1，1，2， 3，5，8，13， .其相关结论如下： （1）斐波那契数列的递推公式： 第33课时 数列的概念 34 （2）斐波那契数列的通项公式： . （3）斐波那契数列的性质： ① ； ② ； ③ ； ④ . 第33课时 数列的概念 35 典例（1）（多选题）若数列满足 ， ，则称该数列为斐波那契数列. 如图所示，"黄金螺旋线"是根据斐波那契数列画出来的曲 线.图中的长方形是由以斐波那契数为边长的正方形拼接 而成的，在每个正方形中以正方形的一个顶点为圆心， ABD A. B. 是奇数 C. D. 边长为半径，作四分之一圆弧，所有圆弧连接起来的曲线就是"黄金螺旋线".记以 为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前项和为 ，则( ). 第33课时 数列的概念 36 解析 该数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34， ，所以 ，A正确； 斐波那契数列每三个数中，前两个为奇数，后一个为偶数，且 ， 所以 是奇数，B正确； 由，得，， ， ， 累加得 ，C错误； 由，得 第33课时 数列的概念 37 ， 所以 ，所以 ，D正确. 故选ABD. 第33课时 数列的概念 （2）（2024·新高考Ⅰ卷）已知函数的定义域为， ， 且当时， ，则下列结论一定正确的是( ). B A. B. C. D. 解析 因为当时，，所以， ， 又因为 ， 所以 ， ， ， ， 第33课时 数列的概念 39 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由此，必有 ，故B正确； 无法判断A，C，D一定正确.故选B. 第33课时 数列的概念 40 作业：完成数列的概念限时练 第33课时 数列的概念 THANKS 42 $