第6章 第1节 数列的概念-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦数列专题，依据高考评价体系覆盖数列概念、表示方法、通项公式求法及函数特征等核心考点，通过知识点清单与题型分类，明确“递推公式求通项”“Sn与an关系”等高频考点，归纳观察法、累加法等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+方法建模+素养提升”，如通过“累加法求通项”“数列单调性判断”等典型题型，培养学生数学思维与逻辑推理能力，提供“Sn与an互化步骤”“周期数列判定模板”，助力学生掌握解题技巧，教师可依托此课件实现考点精准突破，提升复习效率。

第一节　数列的概念 第六章　数列 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法、通项公式法).　2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.　3.掌握利用递推关系构造等差数列或等比数列求通项公式的方法. 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点一　数列的有关概念 概念 含义 数列 按照 排列的一列数称为数列 数列的项 数列中的 叫做这个数列的项 通项 公式 如果数列{an}的第n项an与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式 前n项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=____________ 确定的顺序 每一个数 序号n a1+a2+…+an 知识点二　数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数_____ 无穷数列 项数_____ 项与项 间的大 小关系 递增数列 an 其中n∈N* 递减数列 an 常数列 =an 摆动数列 从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 有限 无限 > < 知识点三　数列的表示方法 1.列表法.　2.图象法.　3.公式法. 知识点四　数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n). 知识点五　数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 常用结论 1.若数列{an}的前n项和为Sn,通项为an,则an= 2.在数列{an}中,若an最大,则若an最小,则其中n≥2,且n∈N*. 自我评价 1.(人A选择性必修第二册P5例2改编)数列0,,,,…的一个通项公式an=(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 解析:将0写成,观察数列中每一项的分子、分母可知,分子为偶数列,可表示为2(n-1),n∈N*;分母为奇数列,可表示为2n-1,n∈N*.故an=. C 2.在数列{an}中,a1=1,an+1=1+,则a5=(　　) A.2 B. C. D. 解析:令n=1,可得a2=1+=2;令n=2,可得a3=1+=1+=;令n=3,可得a4=1+=1+=;令n=4,可得a5=1+=1+=. D 3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n,那么它的通项公式an=(　　) A.n B.2n C.2n+1 D.n+1 解析:∵a1=S1=1+1=2,an=Sn-=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n(n≥2), 当n=1时,2n=2=a1,∴an=2n. B 4.已知an=n2+λn,且对任意的n∈N*,数列{an}是递增数列,则实数λ的取值范围是　　　　　.  解析:由{an}是递增数列可知an+1>an,即an+1-an=[(n+1)2+λ(n+1)]-(n2+λn)=2n+1+λ>0对任意的n∈N*恒成立,∴λ>-(2n+1)对任意的n∈N*恒成立.又当n∈N*时,-(2n+1)≤-3,故λ>-3. (-3,+∞) 关键能力　重点探究 考点一　观察法求通项公式 [例1]　如图所示的1,5,12,22被称为五边形数,将所有的五边形数从小到大依次排列,则其第8个数为(　　) A.51 B.70 C.92 D.117 [解析]　由题图及五边形数知:每一个数与前一个数的差依次为4,7,10,13,16,19,22,…,所以五边形数依次为1,5,12,22,35,51,70,92,…,即第8个数为92. C 方法总结 根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征;相邻项的联系特征;拆项后的各部分特征;符号特征. 跟踪训练 1.(多选)已知数列{an}的前4项为2,0,2,0,则由此归纳该数列的通项公式可能是(　 　) A.an=(-1)n-1+1 B.an= C.an=2sin D.an=cos[(n-1)π]+1 解析:对n=1,2,3,4进行验证,an=2sin不符合题意,其他均符合. ABD 考点二　由an与Sn的关系求通项公式 [例2]　已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,2Sn=an+1,则数列{an}的通项 公式为　 　　　.  [解析]　由2Sn=an+1得,当n≥2时,2Sn-1=an,两式相减得an+1=3an,当n=1时,≠3, 所以当n≥2时,{an}是公比为3的等比数列,而a2=2,则an=2×3n-2(n≥2), 由a1=1不满足上式,得an= an= 方法总结 1.已知Sn求an的常用方法是利用an=转化为关于an的关系式,再求通项公式. 2.Sn与an关系问题的求解思路 思路1:利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解. 思路2:利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解. 跟踪训练 2.设Sn是数列{an}的前n项和,若Sn=2an+n,则a10=(　　) A.-1 023 B.-100 C.513 D.2 036 解析:由题意得Sn+1=2an+1+n+1,则Sn+1-Sn=2(an+1-an)+1, 所以an+1=2an-1, 则an+1-1=2(an-1). 当n=1时,由Sn=2an+n得,a1=2a1+1,解得a1=-1, 所以a1-1=-2,所以{an-1}是首项为-2,公比为2的等比数列, 则an-1=-2n,所以an=1-2n, 所以a10=1-210=1-1 024=-1 023. A 3.若数列{an}的前n项和Sn=2n2-4n+1,则通项公式an=　　 　　　　.  解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-4n+1-[2(n-1)2-4(n-1)+1]=4n-6, 当n=1时,a1=2-4+1=-1不适合上式, ∴an= 考点三　由数列的递推公式求通项 [例3]　(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+ln(1+),则{an}的通项公式为 　 　　　.  [解析]　an+1-an=ln(1+)=ln(n+1)-ln n,故当n≥2时,an-an-1=ln n-ln(n-1), 所以an=ln n-ln(n-1)+an-1=ln n-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+an-2=ln n-ln(n-1) +ln(n-1)-ln(n-2)+…+ln 2-ln 1+a1=ln n-ln 1+1=1+ln n,当n=1时也满足,所以an=1+ln n. an=1+ln n (2)已知数列{an}满足a1=1,a2=,=,则a8=　　　　.  [解析]　由题意知,=,即=4·,又=≠0, 所以数列{}是首项为,公比为4的等比数列, 所以=×4n-1=2-5×22n-2=22n-7, 当n≥2时,an=··…··a1=22n-9·22n-11·…·2-5·1 ==, 所以a8=27=128. 128 方法总结 1.形如an+1-an=f(n)的数列,利用累加法即可求数列{an}的通项公式. 2.形如=f(n)的数列,利用累乘法即可求数列{an}的通项公式. 跟踪训练 4.已知数列{an}的首项为2,且an+1-an=2n+1,则an=　　　　.  解析:因为an+1-an=2n+1, 所以当n≥2时,an-an-1=2n,an-1-an-2=2n-1,…,a3-a2=23,a2-a1=22, 累加可得an-a1=2n+2n-1+…+23+22,又a1=2, 所以an=2n+2n-1+…+23+22+2==2n+1-2.又a1=2满足上式,所以an=2n+1-2. 2n+1-2 5.在数列{an}中,n(an+1-an)=an(n∈N*),且a3=π,则an=　　　　.  解析:由题意可知,=⇒=⇒=(n≥2), 显然有=2,=⇒a2=,a1=, 由累乘法可得a1×××××…×=×2××××…×⇒an=(n≥2). 而a1=符合,所以an=. 角度1　数列的周期性 [例4]　已知数列{an}满足a1=1,a2=2,且an+2=an+1-an(n∈N*),则a2 025 =(　　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 [解析]　因为an+2=an+1-an,所以an+6=an+5-an+4=(an+4-an+3)-an+4=-an+3= -(an+2-an+1)=-[(an+1-an)-an+1]=an, 故数列{an}是以6为周期的周期数列, 故a2 025=a3=a2-a1=1. 考点四　数列的函数特征 B 角度2　数列的单调性 [例5]　已知数列{an}的通项公式为an=n2-2kn,当{an}为递增数列时,k的取值范围是(　　) A.k< B.k≤ C.k<1 D.k≤1 [解析]　因为{an}是递增数列,所以对于任意的n∈N*,都有an+1>an, 即(n+1)2-2k(n+1)>n2-2kn,化简得k<n+, 所以k<n+对于任意的n∈N*都成立.因为n+≥,所以k<. A 角度3　数列的最值 [例6]　已知数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}的最大项为(　　) A. B. C. D. D [解析]　法一:an+1-an=-=·,当n<8时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=8时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>8时,an+1-an<0,即an+1<an.所以a1<a2<a3<…<a8=a9,a9>a10>a11>…,所以数列{an}有最大项,为第8项和第9项,且a8=a9==. 法二:设数列{an}的第n项最大,则(n≥2),即(n≥2),解得8≤n≤9.又n∈N*,所以n=8或n=9,故数列{an}有最大项,为第8项和第9项,且a8=a9=. 1.解决数列单调性问题的三种方法 (1)用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列. (2)用作商比较法,根据(an>0或an<0)与“1”的大小关系进行判断. (3)结合相应函数的图象直观判断. 2.求数列的最大项或最小项的常用方法 (1)函数法,利用函数的单调性求最值. (2)利用(n≥2)确定最大项,利用(n≥2)确定最小项. 3.解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值. 方法总结 6.在数列{an}中,an+1=若a1=,则a2 026=(　　) A. B. C. D. 跟踪训练 C 解析:因为an+1=a1=, 所以a2=2a1-1=2×-1=, a3=2a2-1=2×-1=, a4=2a3=2×=, a5=2a4=2×==a1, 所以数列{an}是以4为周期的周期数列, 所以a2 026=a4×506+2=a2=. 7.已知数列{}是单调递减数列,则λ的取值范围为(　　) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.[0,+∞) 解析:数列{}是单调递减数列,故>,即2n+2λ>n+1+λ,λ>1-n,且n∈N*,故λ>0. A 8.已知数列{an}的通项公式为an=,前n项和为Sn,则Sn取到最小值时n的值是(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 解析:an==×=×=+, 由an>0,得+>0,解得n<2或n>. 因为n∈N*,所以当n=1或n≥8时,an>0,当2≤n≤7时,an≤0, 所以当n=7时,Sn取得最小值. B $