精品解析：陕西省宝鸡市宝鸡中学2026-2027学年高三上学期月考（一）数学试卷

宝鸡中学2024级高三第一学期月考（一）试题 数学 本试卷共四大题，19小题；考试时长120分钟，卷面满分150分. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡上，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.涂写在本试卷上无效. 3.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 设数列的前n项和为，且对任意正整数n，点都在直线上，则的值是（ ） A. B. 16 C. D. 32 5. 某科研团队研发了一款新型环保材料，其降解过程遵循指数衰减模型，实验测得，该材料在自然环境下的质量（单位：克）与时间t（单位：天）满足关系式，其中为初始质量，为一个大于1的常数，已知该材料在第10天时，其质量的常用对数值（以10为底）比初始质量的常用对数值小0.15，若要将材料质量降解至初始质量的，至少需要经过（ ）天 A. 198天 B. 199天 C. 200天 D. 201天 6. 在平面直角坐标系中，已知，、是圆上的两个动点，满足，点为平面上一点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则函数的零点个数是（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知函数定义域为，对都有恒成立，且函数的图象关于点中心对称，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论错误的有（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在单调递增 D. 函数有两个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，是两定点，于，且，则______. 13. 已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围_________. 14. 如图，正方体的棱长为1，点是正方体侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，若，则点在侧面内运动路径的长度______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，已知 （1）求的值； （2）若，求和的值. 16. 如图，在三棱锥中，平面，，，，． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 2025年12月1日全面实施电动车新国标的相关规定，全面禁售旧国标车，聚焦车辆安全性能升级.据调查拥有电动车的家庭中，的家庭只拥有电动车，的家庭既有电动车也有其他交通工具.对于每个家庭，若只拥有电动车则记1分，若同时拥有其他交通工具则记2分.假设各家庭是否拥有其他交通工具相互独立，且视调查频率为概率. （1）从被调查家庭中随机抽取3户，记这3户的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； （2）从被调查家庭中随机抽取n（）户，记这n户的合计得分恰为的概率为，求. 18. 已知函数的定义域是，若对于任意的、，当时，都有，则称函数在上为非减函数. （1）判断，是否为非减函数； （2）已知函数在上为非减函数，求实数的取值范围； （3）已知函数在上为非减函数，且满足条件：①，②，③，求，及的值. 19. 已知函数． （1）若，求在处的切线的方程； （2）判断是否是函数的极值点，并说明理由； （3）若不等式对任意的，恒成立，求正整数的最大值．（参考数据：）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝鸡中学2024级高三第一学期月考（一）试题 数学 本试卷共四大题，19小题；考试时长120分钟，卷面满分150分. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡上，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.涂写在本试卷上无效. 3.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】因为复数，则，所以. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】不等式可化为， 故不等式的解集为 ，又， 所以. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对已知等式两边平方结合平方关系、二倍角公式以及诱导公式即可运算求解. 【详解】. 故选：D. 4. 设数列的前n项和为，且对任意正整数n，点都在直线上，则的值是（ ） A. B. 16 C. D. 32 【答案】C 【解析】 【详解】解法1：因为点都在直线上， 所以①， 当时，②， ①-②得，，即，又， 所以． 解法2：因为点都在直线上， 所以①， 当时，②， ①-②得，，即， 当时，，即， 所以是一个首项和公比都为的等比数列． 所以． 5. 某科研团队研发了一款新型环保材料，其降解过程遵循指数衰减模型，实验测得，该材料在自然环境下的质量（单位：克）与时间t（单位：天）满足关系式，其中为初始质量，为一个大于1的常数，已知该材料在第10天时，其质量的常用对数值（以10为底）比初始质量的常用对数值小0.15，若要将材料质量降解至初始质量的，至少需要经过（ ）天 A. 198天 B. 199天 C. 200天 D. 201天 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先求出，再根据，解出即可． 【详解】解：， ， 解得，则， ， ，解得． 6. 在平面直角坐标系中，已知，、是圆上的两个动点，满足，点为平面上一点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由向量关系确定为中点，再结合点在圆上的性质和向量垂直的坐标运算，通过代入整理推导的轨迹方程。 【详解】设， 由，得为中点，因此， 因在圆上，故， 两式相加得：， 代入，整理得， 由，得，即， 展开得：，将、代入上式： 两边除以2并配方得： 7. 已知函数，则函数的零点个数是（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】令，先求出使时的的值，然后画出函数和函数，其中的图象，观察其交点个数即可得答案. 【详解】由已知， 令，即， 当时，得或， 当时，明显函数在上单调递减，且，， 故存在，使， 画出的图象如下， 再画出直线，其中， 观察图象可得交点个数为个， 即函数的零点个数是. 故选：D. 8. 已知函数定义域为，对都有恒成立，且函数的图象关于点中心对称，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据可判断的单调性，由的对称性可判断为奇函数，进而由单调性以及奇偶性即可求解不等式. 【详解】由可得，故在上单调递减， 又函数的图象关于点中心对称，所以的图象关于点中心对称，故为奇函数， 故不等式满足或， 所以或， 故不等式的解为， 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二次函数的图象和性质对选项逐个判断即可. 【详解】对于A，因为二次函数的图象与x轴交于两点， 所以，即，故A正确， 对于B，由图象可得对称轴为直线，即， 化简得，故B错误， 对于C，结合图象可得当时，，即，故C错误， 对于D，由已知得，即， 而抛物线开口向下，故，得到，即，故D正确. 故选：AD 10. 如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论错误的有（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出圆锥母线与底面半径，A选项直接代入圆锥侧面积公式计算；B选项先分析动点B的位置，找到面积最大的条件，再利用三棱锥体积公式求体积最大值；C选项利用等腰三角形内角关系，结合动点B的范围确定的区间，进而推出的取值范围；D选项采用翻折法，把空间折线段之和的最小值问题转化为同一平面内两点间线段长度，借助余弦定理完成计算. 【详解】在中，， 则圆锥的母线长，半径， A选项：圆锥的侧面积，A错误； B选项：当时，的面积最大， 此时， 则三棱锥体积的最大值为，B错误； C选项：在中，， 又，则， 当点与点重合时，为最小角， 当点与点重合时，达到最大值， 又与不重合，则， 又，得，C错误； D选项：由，， 得，又， 则为等边三角形，则， 将以为轴旋转到与共面，得到， 则为等边三角形，， 如图知， 由，， 得 ， 所以，D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在单调递增 D. 函数有两个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后将函数利用对数的运算变形，再利用复合函数的单调性的判断法则以及二次函数的性质依次判断A,B,C即可；分析函数与函数的单调性结合图象的交点，即可判断函数零点个数，从而判断D. 【详解】函数定义域为，又， 令，，在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增，故选项C正确； 因为， 所以函数的对称中心为对称，故选项B错误，选项A正确； 因为，所以函数，函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，又函数在上为增函数， 则函数与函数在平面直角坐标系中的图象如下图所示： 故函数与函数在区间上有两个交点，即函数有两个零点，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，是两定点，于，且，则______. 【答案】## 【解析】 【详解】由，，得，，. . ，. 于，三点共线，得. ，解得； . 13. 已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围_________. 【答案】 【解析】 【分析】结合开口方向以及判别式求得的取值范围. 【详解】当恒成立， 当时，且， 解得：， 当时,成立， 所以， 命题“，不等式恒成立”是假命题 所以的取值范围为：或． 故答案为： 14. 如图，正方体的棱长为1，点是正方体侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，若，则点在侧面内运动路径的长度______． 【答案】## 【解析】 【分析】确定点M在侧面内的运动轨迹是圆弧，再求弧长即可. 【详解】取中点E，连EM，PE，如图，因是正方体的棱中点， 则PE//CD，而CD⊥平面，则有面，平面， 于是得PE⊥EM，由，PE=1得，EM=1， 因此，点M在侧面内运动路径是以E为圆心，1为半径的圆在正方形内的圆弧， 如图，圆弧所对圆心角为，圆弧长为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，已知 （1）求的值； （2）若，求和的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）展开已知三角函数等式，利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理求得； （2）先求，由正弦定理得，判断为锐角后求，最后利用二倍角公式计算和. 【小问1详解】 已知， 展开左侧得：， 移项整理得：， 设外接圆半径为，由正弦定理， 将角化边得：， 由余弦定理，代入得： 【小问2详解】 由(1)知，且， 由同角三角函数基本关系得：， 已知，由正弦定理得，代入得：， 因为，所以，由大边对大角得， 故为锐角，因此：， 由二倍角公式计算得：， 16. 如图，在三棱锥中，平面，，，，． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为 平面，平面，所以． 因为，所以． 又因为平面，故平面． 又因为平面，所以平面 平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）由 平面得到．由得到． 利用直线和平面垂直的判定定理得到平面，利用平面和平面的判定定理得到平面 平面； （2）由 得到以点为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，建系，写出点的坐标，求出和平面的法向量，设直线与平面所成角为， 利用数量积公式求出，从而得到直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为 ，所以以点为坐标原点， 以，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，， 设平面的法向量为， 则即，令得， 故平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 17. 2025年12月1日全面实施电动车新国标的相关规定，全面禁售旧国标车，聚焦车辆安全性能升级.据调查拥有电动车的家庭中，的家庭只拥有电动车，的家庭既有电动车也有其他交通工具.对于每个家庭，若只拥有电动车则记1分，若同时拥有其他交通工具则记2分.假设各家庭是否拥有其他交通工具相互独立，且视调查频率为概率. （1）从被调查家庭中随机抽取3户，记这3户的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； （2）从被调查家庭中随机抽取n（）户，记这n户的合计得分恰为的概率为，求. 【答案】（1） 【小问1】x 3 4 5 6 P ； （2）. 【解析】 【分析】（1）运用二项分布的知识求解即可； （2）利用错位相减法解决“等差数列等比数列”的求和模型. 【小问1详解】 由题意知，每个家庭“只有电动车”的概率为，“既有电动车又有其他交通工具”的概率为.则X的可能取值为3，4，5，6. ，， ，， 所以X的分布列为 x 3 4 5 6 P 所以. 【小问2详解】 因为这户的合计得分为分，所以其中恰有户为“既有电动车又有其他交通工具”，其余户均为“只有电动车”. 所以， 设， 即 ①， 则 ②， ①②得， 即，所以， 即. 18. 已知函数的定义域是，若对于任意的、，当时，都有，则称函数在上为非减函数. （1）判断，是否为非减函数； （2）已知函数在上为非减函数，求实数的取值范围； （3）已知函数在上为非减函数，且满足条件：①，②，③，求，及的值. 【答案】（1）不是非减函数. （2）. （3），，. 【解析】 【分析】（1）化简函数的解析式，结合二次函数单调性可得出结论； （2）任取且，由题中定义可得，通过作差法得出，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围； （3）根据题意计算出，根据非减函数的定义得知，对任意的，，由已知条件得出，进而可得出，即可得解. 【小问1详解】 ，所以函数在区间上为减函数， 在区间上为增函数，则函数在区间上不是非减函数. 【小问2详解】 任取且，即， 因为函数在上为非减函数， 有， 因为，所以，所以， 所以，， 则，所以，即，因此的取值范围是. 【小问3详解】 由已知得，，得， 从而，， 所以， 因为函数为上的非减函数， 对任意的，，即， 所以，因为，所以， 所以， 因为，则，因此. 19. 已知函数． （1）若，求在处的切线的方程； （2）判断是否是函数的极值点，并说明理由； （3）若不等式对任意的，恒成立，求正整数的最大值．（参考数据：）． 【答案】（1） （2）不是，理由： ，若是函数的极值点，则有， 代入得：，即． 当时，不是函数的极值点； 当时，， 令，则， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，即在上单调递增，不合题意． 综上：不是函数的极值点． （3）4 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）根据极值点的定义，分和两种情况，即可说明理由； （3）结合题意，以为主元，即证对任意恒成立；法一：设，分类讨论，和两种情况，结合导数即可证明；法二：参数分离，得，结合导数即可证明；法三：参数分离，，取，得出，再结合导数说明时原不等式恒成立． 【小问1详解】 时，， 所以，由于， 所以在处的切线的方程为， 化简得：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意：， 上式对任意恒成立，以为主元，令，则只需， 因为，所以在上单调递增， 则， 故， 即对任意恒成立． 法一：设， 当时，恒成立，故在上单调递增， 所以，成立， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故只需，即， 令， 所以在上单调递减， 由于，故， 则自然数最大可取到4． 综上：． 法二：由题意得：，设， 令，故在上单调递增， 由于， 故， 所以，使得在上单调递减，在上单调递增，且满足， 故， 而，因此自然数最大可取到4． 法三：由题意得：，取，则， 由于，所以，故， 下面说明时原不等式恒成立，代入原不等式，即证：对任意恒成立 设， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，即成立， 因此，自然数最大可取到4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $