精品解析：陕西省镇安中学2026-2027学年高三上学期第二次月考数学试题

高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数，三角函数与解三角形，平面向量与复数，数列，立体几何，解析几何，计数原理． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 已知x，y为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．图2（正八边形）是由图1（八卦模型图）抽象并以正八边形的中心为旋转中心顺时针旋转而得到，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知，且.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若（，）成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点位于角的终边上，则（ ） A. 是锐角 B. C. D. 是奇函数 10. 已知等差数列的前项和为，前项积为.若，，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 设定义在上的奇函数的导函数为，对于，都有，当时，，则（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 是周期函数 C. 当时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若命题：，使得为假命题，则实数m的取值范围为_____ 13. 某人打算将6个数字1，2，2，2，3，4进行排列得到密码，则可设置的不同密码有________种．（用数字作答） 14. 已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C，D四点在同一个圆上，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 如图，在四棱柱中，四边形是矩形，，，，． （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 17. 如图，在中，角所对的边分别为为边上的一点，且. （1）求； （2）若，求的长. 18. 已知函数． （1）求函数的值域； （2）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （3）当时，函数的值域为，求正数的取值范围． 19. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若对不等式恒成立，求的取值范围； （3）若有两个零点，且证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数，三角函数与解三角形，平面向量与复数，数列，立体几何，解析几何，计数原理． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求得集合，根据交集的运算法则求解即可. 【详解】由，得，所以， 又，所以. 故选：C. 2. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，解得. 3. 若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】因为点为抛物线上一点， 所以，解得. 因为抛物线的准线为， 所以点P到其焦点的距离为． 4. 已知x，y为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分充分性、必要性两方面说明即可求解. 【详解】当时，x，y同号，所以，所以“”是“”的充分条件； 若时，，此时，所以“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】可得，故， 而，当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 6. 古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．图2（正八边形）是由图1（八卦模型图）抽象并以正八边形的中心为旋转中心顺时针旋转而得到，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】法一：过点分别作，垂足分别是，根据已知得与（即）的关系，根据平面向量基本定理即可求出；法二：构建合适的平面直角坐标系，标注相关点坐标，由向量线性关系的坐标表示列方程，即可得. 【详解】因为正八边形的中心为，所以. 法一：如图，过点分别作，垂足分别是， 所以四边形为正方形，所以，且，所以， 又，由平面向量基本定理得，则. 法二：以所在直线分别为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设，则， 因为，即， 所以，解得，则. 7. 已知，且.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列式求解即可. 【详解】由是减函数，得， 又时，在上单调递减， 所以要函数在上单调递减， 则有且，所以. 故选：. 8. 已知函数，，若（，）成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，解出，得到，再利用导数判断函数的单调性求出最小值即得解． 【详解】设，则；，则，则， 令，，则，∴递增，当时，，∴有唯一零点，当时，，当时，， ∴时，取最小值，即取最小值，最小值为． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点位于角的终边上，则（ ） A. 是锐角 B. C. D. 是奇函数 【答案】BD 【解析】 【分析】根据象限角以及终边相同的角的定义即可求解A，根据三角函数的定义即可求解B，结合和差角公式即可求解CD. 【详解】对于A，是第一象限角，不一定是锐角，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由于，，故，C错误； 对于D， ，故是奇函数，D正确， 故选：BD 10. 已知等差数列的前项和为，前项积为.若，，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】由等差数列通项公式基本量的计算可判断A，由A结合二次函数可判断B，由通项公式可判断C,D. 【详解】设的公差为，由，，得，， A错误； 因为，对称轴为：， 所以时，取得最小值，B错误； 由知，，，，都小于0，，，，都大于0， 所以的最小值为，C正确； 由知，，，都小于0， ，，，都大于0， 中，，，，都小于0，其他的都大于0，显然最小，D正确. 故选：CD. 11. 设定义在上的奇函数的导函数为，对于，都有，当时，，则（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 是周期函数 C. 当时， D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：由，两边求导可得答案； 选项B：由，得，从而证得是周期函数； 选项C：结合的奇偶性和周期性可判断； 选项D：结合的周期性即可求. 【详解】选项A：已知是奇函数，则，两边求导得： 即， 故是偶函数，曲线关于轴对称，选项A正确; 选项B：由，替换为得： 故，则的周期为4， 替换为得：， 故可设 又由， 设, 故，由是奇函数，得 易得，替换为得： ， 故， 故的周期为4, 故选项B正确； 选项C：当时，， 令，则， 由选项B知，且是奇函数， 得， 故，则： ， 故选项C错误； 选项D：由周期为4，即，替换为得： 则，由选项B知， 故， 又， 故， 由，得，则： ，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若命题：，使得为假命题，则实数m的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用命题的否定与原命题为一真一假，来把题意转化为全称量词命题，且为真命题来求解即可. 【详解】由题意可得，：，为真命题， 即当时，恒成立. 因为函数的对称轴为， 所以当时，， 所以，即，解得或， 即实数m的取值范围为. 故答案为：. 13. 某人打算将6个数字1，2，2，2，3，4进行排列得到密码，则可设置的不同密码有________种．（用数字作答） 【答案】120 【解析】 【分析】根据特殊元素优先排列原则及分步乘法计数原理求解即可. 【详解】因为6个数字1，2，2，2，3，4中有三个2， 首先，从六个位置中选出三个排2，有种； 再将剩余的三个数字1，3，4排列到剩下的三个位置上，有种， 所以可设置的不同密码有种. 14. 已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C，D四点在同一个圆上，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可表示出，，，四点坐标，再结合圆的定义计算即可得. 【详解】由题意可设，，则， ，，， 则、中点与、中点均为，， 由，，，四点在同一个圆上，故为圆心，， 则，， 即有，则，又，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的公比为，根据等比数列通项公式和求和公式求解即可； （2）利用裂项相消即可求解. 【小问1详解】 设的公比为，由，得， 由，得，解得 所以． 【小问2详解】 由，得 所以． 16. 如图，在四棱柱中，四边形是矩形，，，，． （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：在中，，，， 由余弦定理得， 所以，故． 连接，在四棱柱中，，，则， 又，，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）通过余弦定理得出后利用线线垂直证明线面垂直. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示． 设，则，，，， 设平面的法向量为， 又，，， 所以，故可取， 又直线与平面所成角的正弦值为， 因， 解得，可得点． 设平面的法向量为， 又，， 因，故可取， 设二面角的大小为， 所以， 由图可知，二面角为锐角， 故二面角的余弦值为． 17. 如图，在中，角所对的边分别为为边上的一点，且. （1）求； （2）若，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，再由两角和的正弦公式得，进而求解. （2）由余弦定理得，由得，在中由正弦定理得，进而得由即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 即，所以， 因为，所以，即， 因为，所以； 【小问2详解】 因为， 由余弦定理得 ，所以， 因为，所以. 在中由正弦定理得，，所以，即， 所以所以， 所以，解得. 18. 已知函数． （1）求函数的值域； （2）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （3）当时，函数的值域为，求正数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出函数式，结合指数函数、二次函数值域求解即得. （2）变形给定不等式，按分段讨论求出的范围. （3）利用函数的单调性求出给定区间上的值域，结合已知转化为一元二次方程有两个不等的正实根求解即得. 【小问1详解】 依题意，， 由，得，则， 当，即时，；当，即时，， 所以函数在时的值域为. 【小问2详解】 不等式， 当时，； 当时，，则恒成立， 又在上递减，在上的值域为，因此； 当时，，则恒成立， 又在上递减，在上的值域为，因此， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 当时，在上单调递增， 又当时，值域为， 因此，即， 则是关于的方程，即的两个不相等的正根， 则，解得， 所以正数的取值范围为. 19. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若对不等式恒成立，求的取值范围； （3）若有两个零点，且证明：. 【答案】（1）极小值为，没有极大值 （2） （3） 证明：， 由有两个零点，且，得， 所以，故， 要证，需证， 即，需证， 令，即，即证， 令，则, 所以在上单调递增，所以， 即，所以得证. 【解析】 【分析】（1）当，代入求导，再求极值即可； （2）参变分离得，设，再求导确定最值即可求解； （3），由有两个零点，即，要证，转化为证，令，即，再令，求导得到即可． 【小问1详解】 解：当时，， 令，得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以的极小值为，没有极大值； 【小问2详解】 解：因为对，不等式恒成立， 则在上恒成立， 设， 则， 令，则恒成立， 所以单调递增，， 当时单调递增； 当时，单调递减， 所以的极大值为，也是最大值， 所以，即的取值范围是； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $