云南省昆明市第一中学2027届高三上学期第三次月考数学试题

昆明市第一中学2027届高三第三次月考 参考答案 一、选择题 题号 1 2 4 5 6 7 P 答案 C A B B B D D 1.【解析】将10个数据从小到大排列（题中己排列）：62,70,74,78,82,84,88,90,94,96， 因为n=10,p=10×60%=6为整数， 所以第60百分位数为第6个数与第7个数的平均数，即84+88=86 2 1 1 2.【解析】 11-i 1 0+i)21+2i+iP1+2i-12i2i-(-i)2 3.【解析】B={x2=={-1,0,,从而AnB={-10, 4.【解】不等式22等价于不等式4-2K+2之0，即不等式80 x+2 即不等式(-x-8)(x+2)<0,解得x<-8或x>-2. 故选：B 5.【托1函数f代=V3 inx cosx+sinx=于：)c0的X+)三Sm2r-二4 2 2 6t2, 所以函数的最小正周期为T=π，A正确： 因为如合-君引行行所以强藏雅个对春中为 12),B错误： π1 因为。 2,所以x=空是函数f)图象的一条对称轴，C正确 将函数f()的图象向左平移5个单位长度，即可得到函数y=sm2x+）产 12 126 sin2x+号的图象，D 正确.故选：B. 6【解行】由于C与C的线交于点（片，所以℃流线为x=号C的治线y 2 故p=1,所以C:y2=2x,C2:x2=-2y;又因为交点A位于第四象限，联立C与C的方程为：y2=2-2y, 解得y=-2故A的坐标为(2，-2)，则O4=√22+(-2)=2W2.选B. 7.【解析】先把字相同的卡片看成一组， 第一步：从这5组中选出一组有C=5种选法 第二步：再从余下的4组中选1组，从该组选一张卡片有CC=8种 数学答案·第1页（共9页） 第三步：把选出的3张卡片，分给3位同学有A=6种 所以不同的分配方案有5×8×6=240种 8.【解析】由m=cos2a+1=2cos2a,且n=2sin2a, 所以m+n=2c0s2a+2sin2a=2, 又由aeo, (2 ,可得>0，n>0, 题411色+马m+0-26++鸟2人6+2)29 m n 2 m n mn 2 m n'2 当且仅当”，即m=手n=时，等号成立， n 3 3 所以4上最小值等于 .故选：D. n 二、多选题 题号 9 10 11 答案 BCD BD ABD 9【解折】对于A,因PC)-≠0，则M与N不是互斥事件，放A错误： 对于B,因P(M+N)=P(M)+P(N)-P(N= 2.51_16.2510_31 5十3440404040，故B正确 对Q白PO-君则P0am-号号8片面PA的-片P:放M与Nu 立，故C正确： 附于D,P(MN)=1-P(M+NEL4而PW然P<PM,故D确 1Q【解析】由题意可知：函数f)3+“的定义发为R,且r)-3x+(6-ar+口， ex e 因为函数f(x)在x=0处取得极值，则f'(0)=a=0, 若a0.则N若，了国：346 e 令'"(x)>0,解得0<x<2;令f'(x)<0,解得x<0或x>2; 可知函数∫(x)在(0,2)内单调递增，在(-0,0)，(2，+o)内单调递减， 则函数f国)在x=0处取得极小值f0)=0,在x=2处取得极大值f(2)=二> e3>2, 即a=0符合题意，故AC错误，B正确： 对于选项D:令g(x)=e-x-1,则g'(x)=e-1, 令g(x)>0,解得x>0;令8'(x)<0,解得x<0; 数学答案·第2页（共9页） 可知函数g(x)在(0，+0)内单调递增，在(-n,0)内单调递减， 则g(x)2g(0)=0,当且仅当x=0时，等号成立， 不等式f)<3即为3x3x x+1 ex x+1 e>03r2 若<1，则x+1<0,可知3 ,不合题意： x+1 若x>-1,则x+1>0,可得x(e-x-1>0,则x≠0： 综上所述：不等式f)<3汇的解集为（←1,0）0，+），故D正确 x+1 11.【解析】对于A,因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为 2-兰-1a>0, aa 所以9-=1，解得a=8,得到双曲线的方程为x-y=8,A正确 对于B,如图，由题知∠EPT=∠FPT,∠FPT=∠QPM,所以 MP2=∠FPT, 若HP⊥TM,所以∠FPH=∠QPH,B正确： 对于C,记PF上m,PF=n, 所以|EE=m2+n2-2wcos∠EPE=(l-m+2n-2cos∠fPF, 2b2 cos乙RP%,又S%Rg=2msin∠3PR,所以 1 又F=2c,m-n=2a,得到n= 2 1 2b2 b2 SARP网=，X 21-cos∠℉PE xsin/F PF,= tan∠PE, 2 又KR号电 -=8,得m=16,C错误： tan45 对于D,因为∠EPE=60°，PR卡m叫PF=n, 由20sin60°-，6 tan30,得m1=32, 又m-n=4W2,得到m2-2wm+n2=32,得到m2+n2=96, 从而有(m+n=160,得到m+n=4V10, 由字四13+空n7ns0o·得到时m+ow)prnw b2 tan30。’从而有 a+wTa0=8v6,解得P- 2,D正确，综上选ABD 5 数学答案·第3页（共9页） 三、填空题 12.【解析】（若两个非零向量互相垂直，则它们的数量积为0. 因为向量a=(1,-1),b=(x,-5),a1, 所以a.b=1xx+(-1)×(-5)=0,解得x=-5, 将x=-5代入得b=(-5,-5),根据向量加法的坐标运算规则， 得ā+万=(-4，-6) 根据平面向量模长公式：若向量i=(u,v),则m=√u+v2, 代入得：a+b=V4)2+(-6)2-16+36=V52=213 13.【解析】设gW=1+x-父+士，0)=c0s2x, 2 3 g'(x)=1-x+x2>0恒成立，即g(x)为单调递增函数， 又g0)=1,8-)=1-1-}<0,故8)有一个零点在-1,0)： 23 由cos2x0求x的个数，由2x=+5得x=g+,EZ, 又3，，浮冬学学为g点 所以c0s2x=0有4个零点， 又8(-孕0， 可以判断函数1心)=1+x号+c2x在区间33列上的零点的个数为5不 故答案为：5 14.【解析】 设实心球半径为R,由∠OCD=30得：OC=2R,∴.OA=OC=2R R+2R=AD=V5a,R=5。, 3a,oc.25a, 3 3 BC=OC-R=R=B。 3. 3a,r= 设小球的半径为'，同理0C=2,3=CB=5a, 9, 00'=R+r= 4v a, B D 到直线OA的距离为o0'.sin60子0 数学答案·第4页（共9页） 空隙处放入n个小球相邻相切，排在一起，则球心在一个半径为二的圆上，如下图所示： H为相邻两球的切点，M1,M分别为球心， 设∠MMH=0,则sm073 MM=6,tane=1 11 由三角函数性质可知：sin0<0<tam0, 6<1 90品m525.又zir210,2i<c 28 故小球个数最多为10个，即n的最大值为l0 故答案为：10 四、解答题 74+7x6a=35 15.【解析】(1)由题意可得 2 (a+4d)=(4+d)(a+10d) 4=2 由d≠0，解得{d1,所以a,=a+-ld=n+l: ..…6分 2 2 ,11 因为a4*l0+习2n*1n*2》 =2 工-唱号点）g …13分 (2334 16.【解析】(1)证明：取AB的中点D,连接BD,C1D B D 因为AC=BC1,AD=BD,所以CD⊥AB 因为AD=AB1=1,AD/AB,所以四边形ADBA是平行四边形 所以BD=AA=1,又BD=1,BB1=V2 数学答案·第5页（共9页） 所以BD2+B1D2=BB 所以B,D⊥AB 又BDOCD=D,BDC平面BCD,C1Dc平面B,CD, 所以AB⊥平面BC1D.又B,C1C平面B,C1D, 所以AB⊥B,C1,因为B,C//BC,所以AB⊥BC …6分 (2)因为平面ABBA⊥平面ABC,平面ABB,A⌒平面ABC=AB, 由(1)知，AB⊥BC,BCC平面ABC,所以BC⊥平面ABBA 以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，过B作垂直于平面ABC的直线为z轴建立 空间直角坐标系， 所以B(0,0,0),C1(1,1,1),C(2,0,0),A(0,2,0),A(0,2,1) 所以BC=(1,1,1),BC=(2,0,0),AC=(1,-1,1),AC=(2,-2,0) B 设平面BCCB,的法向量为i=(x1,y1,),平面ACCA1的法向量为 i=(x2,y2,22） MTL:BC=0 AC=0 mBC =0 AC=0 即/ 2x1=0 「2x3-2y3=0 x1+为+31=0’x2-y2+z2=0 令h=1,则x=0,1=-1;令x3=1,则y2=1,52=0 所以m=(0,1,-1),i=(1,1,0) 所以ks伍H同 1 2x2 2 所以平面BCCB,与平面ACCA的所成的二面角的正弦值为： -cs(m列=1-2 1 3 …15分 17.【解析】(1)由于A(-2,0),B(0,-1)两点在C上，所以a=2,b=1 因此椭圆C的离心率e=S-V-BV区 …4分 a 2 (2)设P(:,%),四边形AEFB的面积为定值，证明如下： A的方程为+2则B0放肠七的2同理，2士所以四边形8形 x0+2 的面积为 3-四号e+a+号的22 1 x0+22xy0+0+2g+2 数学答案·第6页（共9页） 所以四边形AEFB的面积为2.…10分 (3)由题设，直线AB:x+2y+2=0点P到AB的距离为d-+2+2 5 由(2)可知，当且仅当△PAB的面积最大时，△PEF的面积最大 所以当d取最大值时，△PEF的面积最大. 由于P在C上，又因为x+4后=4，由基本不等式，4x≤x+4y=4. 所以，d=+2)+2_4+4+25245+) √5 5 5 当且仅当=2=V5,即0=2,6=5时，等号成立 2 此时，△2aF的面积最大为S=SpB-2-1叫-2-55-2万-1.15分 2 5 ,根据正弦定理得：sin BcosC+sinCeosB=- sinA 18.【解析】(1)由bcosC+ccosB=- 2cosA 2cosA 即sin(B+C)=-sinA ,在△ABC中，由A+B+C=元→B+C=元-A, 2cosA 所以sim(-A= sin A ,即sinA=- sin A 2cosA 2cosA 在△ABC中，因为0<A<元，所以sinA>0, 所以sinA=- 如A之cs4=一2’所以A=7 …4分 2cosA 3 (2)(i)如图所示，由∠BAD=a,∠CAD=B, BD AD BDsin B 在△ABD中，根据正弦定理得： sinasinB→sina= AD CDsinC 在△ACD中，根据正弦定理得： CD AD →sinB= sin B sin C AD 所以sinc+sinP_BDsinB CDsinc b AD.b AD.c 在△ABC中，根据正弦定理， b s、c SB4 sinsinc得：sn1C=sn台snC a a b 所以g+-02+0=0an+c0 一十 -x BC b C AD.b AD.b AD.b AD.b sin B x BC=sinB sin∠BAC Sim∠BAC -×a= -×a= AD.b AD.b AD.a AD 即sinc+sinp-sin☑BAC …10分 b AD 数学答案·第7页（共9页） (ⅱ)过点D作DE⊥AB,DF⊥AC分别交AB,AC于点E,F,如图所示： 则点D到AC的距离为DF,点D到AB的距离为DE,且DF=2DE, 由∠BAD=,∠CAD=B,所以在直角△AED与直角△AFD中有：DE=AD.sin,DF=AD·sinB, 所以AD.sinB=2AD.sina→sinB=2sina, 由（1)知<BAC-牙，所以a+0=BMC-2 3→B2 3a, 所以smB=2 singsin3a2sma, 即 5cosa+与ina=2 2sina-→tana=5 2 又0u答，所以a=吾所以日 6 2元匹匹 362 、π sin 由nd sinp sin/BAc以及AD=3得：s62 sin 2n b c AD 3,即+21， b c= b'c 由2+2-12222=1≥2bc≥8. b c b c 4bc [+2=1 当且仅当 b c 即b=2,c=4时等号成立， 1-2 b c 所以2-5c≥5×8=25，即当b=2c-4时，△ABC面积的最小值为25 34 4 …17分 19.【解析】(1)f(x)=sinr-cosx.…4分 ππ 2)m-cos+2血=0，且642 所以3lnx=2(cosx-sinx), 所以3hx,-sin2=2(cos-sinx,）-2 sin cos.. 1=co-m=5a6+用)因为-（引 所以t∈(-1,0)， 又t2=1-2 sinxo cosx,则2 sin xo cos0=1-t2, 所以3nx-sin2x0=2t-(1-t2)=t2+2t-1=(t+1)-2, 因为t∈(-1,0)，所以(t+1)-2<-1,即3lnx-sin2<-1.…10分 数学答案·第8页（共9页） 3)设)=simx-x+x3,h0)=0 3 所以(x)=cosx-1+x2,hN(O)=0, 所以h"(x)=-sinx+2x,h"(x)=-cosx+2. 当m≥1时，hr)=-cosx+2m≥-c0sx+1≥0， 所以h"(x)在(0，+o)上单调递增，h'(0)=0, 所以(x)≥0，则h(x)在(0，+o)上单调递增， 又因为h(O)=0,所以h(x)≥0恒成立 当0时、此时学=血写号骨争三油写子点于0子情，所以不成立 33-23 0<m<时，令)=-cosx+2m=0,则3∈0,2cos白 所以)在0，)上单调递减，在(，孕上单调递增， 所以当x∈(0，x)时，h(x)<0,H(x)在(0，)上单调递减 即(x)<0,所以h(x)在(O,x)上单调递减，h(x)<h(O)=0矛盾，所以不成立. 综上，实数的取值范围是[片，+). …17分 数学答案·第9页（共9页）昆明市第一中学2027届高三第三次月考 数学试题 命题：张远雄王在方蔺书琴李露 何鉴贤 杨思盈 审题：杨昆华彭力李文清孙思应张远雄 杨思盈 总分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.样本数据62,70,74,78,82,84,88,90,94,96的第60百分位数为 A.82 B.84 C.86 D.88 1 2.a+0 3.己知集合A={-2,-10,12},B={x2=,则AnB= A.{-1,0,1} B.{0,1} c.{-1,1} D.{-2,0,2} 4不等式x-4<2的解集是 x+2 A.(-8,-2) B.(-0,-8)U(-2,+0) C.(-8,+0) D.（-0,-2)U(8,+o) 5.已知函数f(x)=V3 sinxcosx+sin2x,则下列结论中错误的是 A.函数f(x)的最小正周期为π B.点(122) 兀1 是函数f(x)图象的一个对称中心 C.直线x=亚是函数∫(K)图象的一条对称轴 3 D.将函数)的图象向左平移5个单位长度，即可得到函数y-s血2x+的图象 6.己知O为坐标原点，抛物线C1:y2=2px(p>0),C:x2=-2y,若C1与C2交于点O和点A,且C1与 G的准线交于点（扫，则o4 A.√2 B.2√2 C.4 D.4N2 7.子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭 敬、节俭、谦让现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分 给另外3位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有 数学试卷·第1页（共4页） A.40种 B.120种 C.200种 D.240种 &若ac(0 m=cos2a+1,1=2 2sin'a,则4+的最小值等于 A.2 J B. 9 2 C.3 D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 g若PM-PaM房P网- 8 ,则下列结论正确的是 A.M与N互斥事件 B.P(M+N)=31 40 C.M与N相互独立事件 D.P(MN)<P(MIN) 10.已知函数f)-3+“在x=0处取得极值，则 A.a>0 B了有极大值，且授大位大号 C.f(x)的单调递减区间为(0,2) D.不等式f(y)<3x的解集为（←1,0U(0,+n） x+1 11.圆锥曲线具有丰富的光学性质.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点F处发出的光线，经过双 曲线在点P处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点F,且双曲线在点P处的切线平分∠耳PF,如 图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线C过点(3,1)，其左、右焦点分别为耳，耳.若从耳发出的光线经 双曲线右支上一点P反射的光线为PQ,点P处的切线交x轴于点T,则下列说法正确的是 A.双曲线C的方程为x2-y2=8 B.过点P且垂直于PT的直线平分∠FP2 C.若PF⊥P2,则|PEPF=32 D.若∠RPR=60,则|P7=430 5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(1,-1),万=(x,5),若a1i,则a+b= 13.函数f(x)= cos2x在区间[-3,3]上的零点个数有个 14.在一个轴截面为正三角形的圆锥内放入一个与侧面及底面都相切的实心球后，再在该圆锥内的空隙处 放入个小球，这些小球与实心球、圆锥的侧面以及底面都相切，则的最大值为 (取 数学试卷·第2页（共4页） sinl7°= 3 6 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分) 记Sn为等差数列{4}的前n项和，已知公差d≠0，S,=35,且a,45,41成等比数列. (1)求数列{a}的通项公式： (2)若Tn为数列{ 2 的前n项和，求T 4,4+1J 16.(15分) 在三棱台ABC-ABC中，AB,=AA=1,AB=BC=2,BB1=V2,AC1=BC1· C B (I)求证：AB⊥BC: (2)若平面ABBA1⊥平面ABC,求面BCCB与面ACC1A所成的二面角的正弦值. 数学试卷·第3页（共4页） 17.(15分) 知国c =1(a>b>0),P为C上位于第一象限的动点，A(-2,0),B(0,-1)两点也在C上， PA交y轴于点E,PB交x轴于点F. (1)求椭圆C的离心率； (2)探究四边形AEFB的面积是否为定值，说明理由： (3)求△PEF面积的最大值. 18.(17分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=一 a 2cosA (1)求A: (2)点D在BC边上，记∠BAD=a,∠CAD=B. （i)证明：sine+sinP_sin∠BAC b AD (ⅱ)若AD=√5，且点D到AC的距离等于点D到AB的距离的2倍，求△ABC面积的最小值. 19.(17分) 己知函数∫(x)的定义域为R,且f(x)-sinx是偶函数，f(x)+cosx是奇函数. (1)求f(x)的解析式： (@已知函数g)=八)+r有且只有一个零点e(孕，证明：3-sm2,<-1: (3)若对任意的x∈[0，+)，f()≥-x+x-cosx恒成立，求实数的取值范围 3 数学试卷·第4页（共4页）