精品解析：江苏省泰州市泰兴市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年秋学期九年级期中学情调查 数学试题 （考试时间：120分钟 满分150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分． 2．所有试题的答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，且加粗加黑． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中、只有一个是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入中即可解答，掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入得， ∴， 故选：D． 2. 科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的． 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A. 甲种类 B. 乙种类 C. 丙种类 D. 丁种类 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据平均数的定义以及方差的定义做决策即可． 解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】解：∵由表格可知四种花开花时间最短的为甲种类和乙种类， 四种花的方差最小的为乙种类和丁种类，方差越小越稳定， ∴乙种类开花时间最短的并且最平稳的， 故选：B． 3. 三角形三条中线的交点叫做三角形的 A. 内心 B. 外心 C. 中心 D. 重心 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：三角形的重心是三角形三条中线的交点．故选D． 考点：三角形的重心． 4. 如图，为的直径，点在上．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用三角形内角和定理求出的度数，再利用圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5. 如图，在平行四边形中，为延长线上一点，，点为的中点，连接交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，理解平行四边形的性质得到是解题的重点，掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为延长线上一点，， ∴，，即， ∵点为的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故选：B ． 6. 正方形的边长为是的中点，的延长线相交于点，点为正方形一边上一点，且，则的长为（ ） A. 1 B. 5 C. 1或5 D. 5或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，理解点为正方形一边上一点，学会分类讨论思想，运用正方形的性质和勾股定理求出不同情况下的值进行比较式解题的重点，掌握正方形的性质，勾股定理，分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ①如图所示，点在上时，过点作于点，则点是的中点，， ∴在中，， ∴当点与点重合时，，；当点与点重合时，，， ∴点在上时，， ∴点在上时，不符合题意，舍去； ②如图所示，点在上时，连接， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴, ∴； ③如图所示，点在上时， 当点与点重合时，，； 当点与点重合时，，； ∴， ∴点在上时，不符合题意，舍去； ④如图所示，点在上时， ∵， ∴设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，的长为或， 故选：D ． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 已知的半径为，，则点P在的________．（填“上面”“内部”或“外部”） 【答案】内部 【解析】 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 【详解】解：∵点P到圆心的距离OP=8cm，小于⊙O的半径10cm， ∴点P在圆内部． 故答案为：内部． 【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内． 8. 在比例尺为的地图上甲地到乙地的距离是5厘米，则甲乙两地的实际距离是_______千米． 【答案】50 【解析】 【分析】根据实际距离=图上距离÷比例尺，列式计算即可． 本题考查了比例尺的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得实际距离为：． 故答案为：50． 9. 已知是方程的两个根，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数：据此代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， 故答案为：3． 10. 《易经》：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．太极图是关于太极思想的图示，里面包含表示一阴一阳的图形，在不考虑颜色的情况下，它是一个中心对称图形．如图，在太极图的大圆形内部随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率，中心对称图形的性质，熟练掌握几何概率等于几何图形面积比是解题的关键． 利用图形的对称性质，图形黑色部分与白色部分面积相等，等于圆面积的一半，根据几何概率的计算公式计算即可． 【详解】解：∵太极图是中心对称图形， ∴黑色部分与白色部分面积相等，即黑色阴影区域占圆的面积的一半， ∴在太极图中随机取一点， 此点取自黑色部分的概率是， 故答案为： 11. 如图，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 一圆锥的底面半径为3，母线长为6，则这个圆锥的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积公式（L为底面圆的周长，R为圆锥的母线长度）成为解题的关键． 直接运用圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为3， ∴底面圆的周长， ∴圆锥侧面积． 故答案为：． 13. 如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，由，，判定． 【详解】解：这个格点三角形可以是（答案不唯一），理由如下： 由勾股定理得：， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，，分别与所在圆相切于点，．若该圆半径是9cm，，则的长是____． 【答案】11πcm 【解析】 【分析】根据题意，先找到圆心，然后根据，分别与所在圆相切于点，．可以得到的度数，然后即可得到优弧对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可． 【详解】作，，和相交于点，如图， ∵，分别与所在圆相切于点，． ∴， ∵， ∴， ∴优弧对应的圆心角为， ∴优弧的长是：cm， 故答案为：cm． 【点睛】本题考查了切线的性质，求弧长，牢记弧长公式是解题的关键． 15. 已知，则的值为________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，先由得，将其代入后，将不等式整理并配方得，根据非负数的性质可得，，进而可得，再将m、n、p的值代入即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得：， 整理后配方可得：， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：16． 16. 泰兴古城形制独特，状如西瓜，故俗称西瓜城．据《泰兴县志》记载，泰兴古城有桥梁54座，最钜者朝阳桥、阜成桥、文明桥、析津桥，因直通四城门，故称之为四门大桥．小明同学根据古籍自行设计了一幅简易的泰兴城县志全图．为城墙，城区为正方形，其内接于，四门大桥区为正方形、正方形、正方形、正方形，点在上，在正方形边上．若正方形边长为，则正方形的边长为________．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】连接，，过O点作于M点，交于N点，设正方形边长为x，进而得到，，，进而得到，利用勾股定理得到，解得． 【详解】解：连接，，过O点作于M点，交于N点，设正方形边长为x， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， 故正方形边长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，勾股定理，正方形的性质，垂径定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 下面是小明同学解一道一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．第一步 移项，合并同类项，得．第二步 系数化为1，得．第三步 任务： ①小明的解法从第___________步开始出现错误； ②此题的正确结果是___________； ③用因式分解法解方程：． 【答案】①一；②，；③， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程—因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 移项→将方程的右边化为零； 化积→把方程的左边分解为两个一次因式的积；转化→令每个因式分别为零，转化成两个一元一次方程；求解→解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 【详解】解：①明的解法从第一步开始出现错误， 故答案为：一； ②， ，即， ∴或， 解得：，， ∴此题的正确结果是：，， 故答案为：：，； ③， ， ， ， ∴或， 解得：，． 18. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 【答案】（1） （2）甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 【解析】 【分析】本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率，用表格或树状图表示出总结果数是解答此类问题的关键． （1）根据概率公式计算可得； （2）用画树状图列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：有A，B，C三个班级，“学生甲分到A班”有一种情况， 则“学生甲分到A班”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如图： 共有9个等可能的结果，甲、乙两位新生分到同一个班的有3种情况， ∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值． 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】（1）直接利用根的判别式即可求解； （2）根据韦达定理可得，，得到，根据两个根和m都是整数，进行分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）设该方程的两个根为、， ∵该方程的两个根都是符号相同的整数， ∴，， ∴， ∴m的值为1或2， 当时，方程两个根为、； 当时，方程两个根与不是整数； ∴m的值为1． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理，掌握上述知识点是解题的关键． 20. 如图，在中，是的中点，点在的延长线上，点在边上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定； （1）根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质结合已知可得，即可得证； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴， 又∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 为了解某种植物苗的长势，随机抽取了部分植物苗并对它们的株高进行测量，把测量结果制成尚不完整的扇形统计图与条形统计图．如图，若该种植物苗株高的中位数低于，则需要对育苗方法适当调整． （1）扇形统计图中________，共抽取了________株植物苗； （2）直接写出抽取的植物苗株高的中位数，并判断是否需要对育苗方法进行调整； （3）若再随机抽取株植物苗，对其株高进行测量，并与前面抽取的植物苗株高合在一起，发现中位数变大，的最小值为________． 【答案】（1）20，40 （2）11，需要对育苗办法适当调整 （3）4 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图、条形统计图、加权平均数和中位数等知识点，明确题意、找出所求问题需要的条件是解答本题的关键． （1）用减去其它的百分比即可求出m的值，再用10珠的频数除以其所占的百分比即可求得抽取数量； （2）先中位数的定义求出中位数，再与12cm比较即可判断是否需要对育苗方法进行调整； （3）根据中位数的定义判断即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 抽取植物苗数为：(株)． 故答案为：20，40； 【小问2详解】 解：∵抽取种苗的总株数为40； ∴株高为的种苗株数为14； 株高为的种苗株数为； 株高为的种苗株数为； 株高为的种苗株数为； ∵从小到大排列抽取的40个数据中，处于第20、21个株高均为， ∴中位数为， ∵种苗株高的中位数低于， ∴需要对育苗办法适当调整； 【小问3详解】 解：从小到大排列抽取的40个数据中，发现处于第22、23个株高分别为11，12， 因此再抽取4株种苗，且株高均大于或等于12，就会使第22、23个株高恰好位于中间位置， 此时中位数为， 因此n的最小值为4． 22. 苏科版数学课本九年级上册第1章的“数学活动”《矩形绿地中的花圃设计》中，有如下问题：“在一块长是、宽是的矩形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积是矩形面积的一半，你能给出设计方案吗？” 课本所给的方案是：在绿地中间开辟一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，绿地面积与花圃面积相等（如图）．请你计算出上述方案中绿地的宽． 【答案】绿地的宽为4米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 设绿地的宽为x米，则花圃的长为米，宽为米，根据题意，解方程即可． 【详解】解：设绿地的宽为x米，花圃的长为米，宽为米， 根据题意，得， 解方程，得（舍去）， 故绿地的宽为4米． 23. 如图，在中，，点是的中点．请用无刻度直尺和圆规在边上作出点，使，并求的长． 【答案】 作图如图： 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 以C为圆心，为半径作弧与相交，两交点确定线段a，以为圆心，为半径作弧，以A为圆心，线段a为半径作弧，两弧交于一点，连接点D与交点并延长与相交，即为点E；由得到，代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， 解得：． 24. 如图①，是的直径，点是上一动点，，垂足为，上有一点，且．延长交于点，交于点． （1）作图：请用无刻度的直尺和圆规在图①的上作出点（直尺与圆规限用一次）； （2）如图②，若的半径为，求阴影部分的面积． 【答案】（1）如图： （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角的性质由得，根据同弧所对圆周角相等，及垂径定理，将，由此作图即可求解； （2）如图所示，连接交于点，连接，由（1）中可得，，，可证四边形是平行四边形，进而得到平行四边形是菱形，再运用“边角边”证明，得到，则阴影部分的面积为，根据菱形的性质及作图可得是等边三角形，可得，最后根据扇形面积计算公式（是扇形的圆心角的度数）即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，以点为圆心，以长为半径，用圆规画弧交于点，用直尺连接交于点， 理由，如图所示，连接，延长交于点， ∵以点为圆心，以长为半径，用圆规画弧交于点， ∴，， ∵是的直径，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点即为所求点的位置； 【小问2详解】 解：如图所示，连接交于点，连接， 由（1）中可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∵对角线交于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查尺规作图，垂径定理，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，扇形面积的计算，理解同弧所对的圆周角相等，垂径定理的线段相等，菱形的判定和性质，及全等三角形的判定方法，将不规则图形的面积转换为扇形面积计算等方法的综合运用是解题的关键． 25. 在数学综合实践课上，同学们将正方形纸片按照图1所示的方式剪成4块小纸片（其中），进行拼图操作． 【探究一】 甲同学将一张边长为8的正方形纸片按的尺寸剪成4块，按图2所示重新拼合．这4块纸片恰好能拼成一个长为13，宽为5的矩形吗？ 甲同学经过操作和思考后，用反证法证实了图2不是矩形，他的理由如下： 如图3，过点作，垂足为F，假设图2是矩形，那么图2的右下角就应是直角，于是，在图3中，有，因为，这样． 又因为，所以________①，可得________②，即，这是不可能的，因而图2不是矩形． 事实上，若按照甲同学的方案拼成的一个矩形的话，这个矩形内部是有空隙的． 在甲同学的证明过程中，①处填写的一组相似三角形是________； ②处的比例式是________． 【探究二】 如图4，乙同学也将一张边长为8的正方形纸片用相同的方法，按一定的尺寸剪成4块进行操作．如图5，在拼图时让点在一条直线上，点也在一条直线上，这样拼成了一个矩形，他发现这个矩形内部重叠的纸片的面积为1． 根据乙同学的操作，求剪开的三角形纸片的短边的长． 【探究三】 丙同学将正方形纸片按照图1所示的方式剪成的4块小纸片，用这4块小纸片恰能拼成一个矩形，且矩形内部无空隙也无重叠． 在丙同学的操作中，求的值． 【答案】探究一：① ，②；探究二：；探究三： 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，反证法，一元二次方程的应用，正方形的性质等知识点； 探究一：结合图形根据题目推理过程上下逻辑关系填空即可； 探究二：根据矩形面积为正方形面积减去重叠部分面积列方程求解即可； 探究三：参考探究二的过程和图形，矩形面积等于原正方形面积得到关于，的方程求解即可． 【详解】解：探究一：如图3，过点作，垂足为F，假设图2是矩形，那么图2的右下角就应是直角，于是，在图3中，有， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 由题意可得，，，， ∴，这是不可能的，因而图2不是矩形． ∴在甲同学的证明过程中，①处填写的一组相似三角形是； ②处的比例式是． 故答案为：，； 探究二：由题意可得， ∴， ∵矩形面积为正方形面积减去重叠部分面积， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴； 探究三：∵丙同学将正方形纸片按照图1所示的方式剪成的4块小纸片，用这4块小纸片帢能拼成一个矩形，且矩形内部无空隙也无重叠，如图： ∴矩形的面积等于正方形的面积， 由题意可得，，， ∴矩形边长， ∴由矩形的面积等于正方形的面积可得， 整理得， 解得， ∵，为正数， ∴， ∴． 26. 定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一组“勾股弦”． （1）如图①，矩形是的内接四边形，与________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）； （2）如图②，是的一组“勾股弦”，，求证：； （3）已知是的一组“勾股弦”，且，若之间距离为7，求的半径； （4）如图③，已知是的一组“勾股弦”，分别为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，且，求的值． 【答案】（1）或 （2）见解析 （3）的半径为或 （4） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理及其推论，圆周角所对弦是直径，圆内接四边形； （1）由矩形可得，，再由内接四边形可得是直径，即可根据“勾股弦”定义解答； （2）由垂径定理可得，，再由“勾股弦”定义得到，再结合勾股定理可得，，即可证明； （3）利用（2）中规律得到，，再根据在圆心位置分类讨论，画出图形求解即可； （4）利用（2）中规律得到，，再设，半径为，则，，，，，由列方程解得，最后代入计算即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵矩形是的内接四边形， ∴是直径， ∴与或是一组“勾股弦”， 故答案为：或； 【小问2详解】 证明：∵， ∴，，，， ∵是的一组“勾股弦”， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：分别为的中点，连接，，则， ∴， ∵是的一组“勾股弦”， ∴由（2）可得，， 当在圆心同侧时，如图 ∵，之间距离为7， ∴之间距离为， ∴， ∴； 当在圆心两侧时，如图 ∵，之间距离为7， ∴之间距离为， ∴， ∴； ∴的半径为或； 【小问4详解】 解：连接，， ∵分别为的中点， ∴，，， ∵是的一组“勾股弦”， ∴由（2）可得，， ∵， ∴设，半径为，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴，整理得， 解得或， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期九年级期中学情调查 数学试题 （考试时间：120分钟 满分150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分． 2．所有试题的答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，且加粗加黑． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中、只有一个是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的． 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A. 甲种类 B. 乙种类 C. 丙种类 D. 丁种类 3. 三角形三条中线的交点叫做三角形的 A. 内心 B. 外心 C. 中心 D. 重心 4. 如图，为的直径，点在上．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，为延长线上一点，，点为的中点，连接交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 正方形的边长为是的中点，的延长线相交于点，点为正方形一边上一点，且，则的长为（ ） A. 1 B. 5 C. 1或5 D. 5或 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 已知的半径为，，则点P在的________．（填“上面”“内部”或“外部”） 8. 在比例尺为的地图上甲地到乙地的距离是5厘米，则甲乙两地的实际距离是_______千米． 9. 已知是方程的两个根，则________． 10. 《易经》：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．太极图是关于太极思想的图示，里面包含表示一阴一阳的图形，在不考虑颜色的情况下，它是一个中心对称图形．如图，在太极图的大圆形内部随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是______． 11. 如图，，，则的长为_____． 12. 一圆锥的底面半径为3，母线长为6，则这个圆锥的侧面积为__________． 13. 如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是_______． 14. 某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，，分别与所在圆相切于点，．若该圆半径是9cm，，则的长是____． 15. 已知，则的值为________． 16. 泰兴古城形制独特，状如西瓜，故俗称西瓜城．据《泰兴县志》记载，泰兴古城有桥梁54座，最钜者朝阳桥、阜成桥、文明桥、析津桥，因直通四城门，故称之为四门大桥．小明同学根据古籍自行设计了一幅简易的泰兴城县志全图．为城墙，城区为正方形，其内接于，四门大桥区为正方形、正方形、正方形、正方形，点在上，在正方形边上．若正方形边长为，则正方形的边长为________．（用含的代数式表示） 三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 下面是小明同学解一道一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．第一步 移项，合并同类项，得．第二步 系数化为1，得．第三步 任务： ①小明的解法从第___________步开始出现错误； ②此题的正确结果是___________； ③用因式分解法解方程：． 18. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值． 20. 如图，在中，是的中点，点在的延长线上，点在边上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 为了解某种植物苗的长势，随机抽取了部分植物苗并对它们的株高进行测量，把测量结果制成尚不完整的扇形统计图与条形统计图．如图，若该种植物苗株高的中位数低于，则需要对育苗方法适当调整． （1）扇形统计图中________，共抽取了________株植物苗； （2）直接写出抽取的植物苗株高的中位数，并判断是否需要对育苗方法进行调整； （3）若再随机抽取株植物苗，对其株高进行测量，并与前面抽取的植物苗株高合在一起，发现中位数变大，的最小值为________． 22. 苏科版数学课本九年级上册第1章的“数学活动”《矩形绿地中的花圃设计》中，有如下问题：“在一块长是、宽是的矩形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积是矩形面积的一半，你能给出设计方案吗？” 课本所给的方案是：在绿地中间开辟一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，绿地面积与花圃面积相等（如图）．请你计算出上述方案中绿地的宽． 23. 如图，在中，，点是的中点．请用无刻度直尺和圆规在边上作出点，使，并求的长． 24. 如图①，是的直径，点是上一动点，，垂足为，上有一点，且．延长交于点，交于点． （1）作图：请用无刻度的直尺和圆规在图①的上作出点（直尺与圆规限用一次）； （2）如图②，若的半径为，求阴影部分的面积． 25. 在数学综合实践课上，同学们将正方形纸片按照图1所示的方式剪成4块小纸片（其中），进行拼图操作． 【探究一】 甲同学将一张边长为8的正方形纸片按的尺寸剪成4块，按图2所示重新拼合．这4块纸片恰好能拼成一个长为13，宽为5的矩形吗？ 甲同学经过操作和思考后，用反证法证实了图2不是矩形，他的理由如下： 如图3，过点作，垂足为F，假设图2是矩形，那么图2的右下角就应是直角，于是，在图3中，有，因为，这样． 又因为，所以________①，可得________②，即，这是不可能的，因而图2不是矩形． 事实上，若按照甲同学的方案拼成的一个矩形的话，这个矩形内部是有空隙的． 在甲同学的证明过程中，①处填写的一组相似三角形是________； ②处的比例式是________． 【探究二】 如图4，乙同学也将一张边长为8的正方形纸片用相同的方法，按一定的尺寸剪成4块进行操作．如图5，在拼图时让点在一条直线上，点也在一条直线上，这样拼成了一个矩形，他发现这个矩形内部重叠的纸片的面积为1． 根据乙同学的操作，求剪开的三角形纸片的短边的长． 【探究三】 丙同学将正方形纸片按照图1所示的方式剪成的4块小纸片，用这4块小纸片恰能拼成一个矩形，且矩形内部无空隙也无重叠． 在丙同学的操作中，求的值． 26. 定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一组“勾股弦”． （1）如图①，矩形是的内接四边形，与________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）； （2）如图②，是的一组“勾股弦”，，求证：； （3）已知是的一组“勾股弦”，且，若之间距离为7，求的半径； （4）如图③，已知是的一组“勾股弦”，分别为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $