30.1.1 直线与圆的位置关系 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

30.1.1 直线与圆的位置关系 教学设计（新授课）

2026-2027学年人教版（2024）数学九年级上册 · 第1课时

 

一、教材分析

本课是人教版（2024）九年级上册第三十章“直线与圆的位置关系”的起始课。学生在第二十九章已认识圆、半径、弦，并会用点到圆心的距离与半径比较判断点与圆的位置关系。本课把“点—圆”的数量比较迁移到“线—圆”：先按公共点个数把直线与圆分为相离、相切、相交，再引入圆心到直线的距离 ，建立 与半径 的大小关系与三种位置的一一对应，并强调这种对应可以双向使用（判定与性质）。

教材路径：情境感知 → 按公共点分类并给出切线、切点、割线名称 → 探究 与 → 双向结论 → 应用（判断、求范围、求距离）。本课按分类钉名 → 度量发现 → 双向对应 → 求 与应用落实；切线的性质、判定与切线长，以及三角形内切圆，只点到预习接口，不抢讲（留给 30.1.2、30.2）。

教学时盯住四处易混：①把 当成圆心到直线上任意一点的距离；②比较方向记反（ 与 ）；③相交漏写 或把相切算进相交；④把“直线与圆”的公共点问题误当成“线段与圆”。

二、学情分析

学生已能直观辨认直线与圆“碰不碰、碰几点”，也熟悉点与圆的 、 比较。进入本课时常见四类困难：

① 只会看图不会定量：能说相离、相切、相交，却说不清用什么量判定。

② 的概念漂移：把圆心到线上某点的连线长当 ，不会强调垂线段最短。

③ 单向记忆：会从 、 推位置，不会从“相切”反推 ，或写范围时漏边界。

④ 求 方法单一：坐标题不会取绝对值；三角形中不会用面积法转化高。

因此本课用“日出/平移感知 → 三表对照 → 垂线段辨析 → 双向口令 → 面积法与范围例题”把概念与方法做实。

三、教学目标（核心素养导向）

1. 抽象能力：能按公共点个数说出直线与圆的三种位置关系；能指出切线、切点、割线的含义（本课只要求识别，不展开切线性质）。

2. 推理能力：理解并会叙述 与 的三种对应；知道既可作判定也可作性质（双向）；能说明“为什么 取垂线段”。

3. 运算能力：会比较已知的 、 判断位置；会求相交时 的取值范围；会在直角三角形中用面积法（或勾股）求圆心到直线的距离。

4. 模型观念：形成“先求（或找），再与 比较”的审题路径；在简单平移问题中意识到相切可能有两解。

达成可测表现：课末能独立完成——（1）填三种位置与 、 对照表；（2）已知 、 判断位置；（3）写出相交时 的范围；（4）用面积法求一个具体的 。

四、教学重点与难点

重点：直线与圆的三种位置关系；用圆心到直线的距离 与半径 的大小关系判定（及逆用）位置关系。

难点：把公共点个数转化为 、 的数量关系；正确理解并求出 （垂线段、面积法）；范围问题中边界与 的处理。

五、教学准备

教师：投影（或实物展台）、圆形纸片（或圆形透明片）、细杆/直尺（演示平移）、圆规与三角板、本课例题与练习纸、易错对比图。

学生：圆规、直尺、三角板、笔记本、铅笔。

说明：本设计可独立使用，不依赖某一套课件页码；课堂插图见文中附图，也可改画到黑板大圆上。

六、教学过程

课时时间分配（参考）

 

（一）创设情境，按公共点分类（约 7 分钟）

投影日出过程的三幅示意图（或用细杆在圆前平移），先不给“相离、相切、相交”的名称。

图1　导入：把太阳看成圆、海平线看成直线

师：把太阳看成圆，海平线看成直线。从图①到图③，直线与圆的公共点个数怎样变化？

【预设】预设：0 个 → 1 个 → 2 个。也可反过来描述“落下”过程。

师：回忆：点与圆的位置关系按什么分类？今天直线与圆，我们先按什么分类？

【预设】预设：点与圆按公共点（点在圆外/上/内）或按距离与半径；直线与圆先按公共点个数。

图2　探究1：相离、相切、相交及切线、割线

定义（板书，齐读）：

直线与圆没有公共点 → 相离；

直线与圆有唯一公共点 → 相切，这条直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点；

直线与圆有两个公共点 → 相交，这条直线叫做圆的割线。

说明：本课只要求会认切线、切点、割线；切线有哪些性质、怎样判定，下一课时专门研究。

师：口令：**零离、一切、二交。** 同桌互指三幅图。

【设计意图】从生活情境抽象公共点个数；钉死三种名称与切线/割线术语，但不抢讲切线性质。

（二）探究活动：d 与 r 的数量关系（约 10 分钟）

1. 操作与观察

学案：⊙O 半径为 ，直线 。用细杆（或直尺）表示 ，平行移动，观察公共点个数变化。

任务 A： 什么时候只有一个公共点？此时圆心到直线的远近有什么特点？

任务 B： 设圆心到直线的距离为 。分别在相离、相切、相交时比较 与 。

任务 C： 先明确—— 是哪一条线段的长？

图3　探究2：三种位置下标出 d 与 r

师：各组把三组关系说完整。

【预设】预设：相离 ；相切 ；相交 。