30.1.1 直线与圆相离、相切、相交教学设计 2026—2027学年人教版数学九年级上册

2026-09-30

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30.1.1 直线与圆相离、相切、相交教学设计

课题	直线与圆相离、相切、相交	学科	数学
年级	九年级	教材版本	人教版（2024）
课时	第1课时（30.1共3课时：直线与圆的位置关系、切线的性质与判定、切线长定理；本章共7课时）	课型	新授课
教学目标	1. 从海上日出等实际情境中抽象出直线与圆的三种位置关系，并能准确概括其定义；2. 经历“观察—操作—归纳”的探究过程，发现圆心到直线的距离 d 与半径 r 的数量关系，掌握用 d 与 r 判定直线与圆位置关系的方法；3. 在类比点与圆的位置关系的研究中，体会类比、分类讨论、数形结合等数学思想，感受事物之间普遍联系、相互转化的辩证观点.
教学重点	直线与圆的三种位置关系及其判定方法.
教学难点	用圆心到直线的距离 d 与半径 r 的数量关系判定直线与圆的位置关系，并能逆向运用.
教学方法	情境教学、类比探究、讲练结合	教学准备	多媒体课件、硬币、直尺、圆规、草稿纸
课后练习	教材本节课后练习及习题 30.1 中与直线和圆的位置关系相关的题目。	板书设计	见“板书设计”部分

教学过程

教学环节	教学内容与教师活动	学生活动	设计意图
一、创设情境导入新课	一、创设情境，导入新课【情境引入】巴金在《海上日出》中写道：“太阳像负着什么重担似的，慢慢儿，一纵一纵地，使劲儿向上升.” 教师播放海上日出的动画，引导学生观察并思考：如果把太阳看成一个圆，把海平面看成一条直线，那么在太阳升起的过程中，直线与圆的位置关系发生了怎样的变化？【师生活动】学生观察动画后发现：太阳（圆）与海平面（直线）的公共点个数在不断变化——先是直线与圆没有公共点，接着恰好有一个公共点，最后直线穿过圆、出现两个公共点. 由此引出研究直线与圆的位置关系，板书课题.	学生观察海上日出动画，尝试用“圆与直线的公共点个数”描述太阳升起过程中位置关系的变化，产生探究欲望.	以文学名篇与自然景象创设情境，实现学科融合，激发学习兴趣；引导学生从生活现象中抽象出数学模型，渗透“数学来源于生活并服务于生活”的理念，为分类讨论作铺垫.
二、探究互动	二、探究互动，获得新知	学生动手移动硬币，观察并归纳	通过动手操作、观察、列表、对

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

一、创设情境
导入新课

一、创设情境，导入新课

【情境引入】巴金在《海上日出》中写道：“太阳像负着什么重担似的，慢慢儿，一纵一纵地，使劲儿向上升.” 教师播放海上日出的动画，引导学生观察并思考：如果把太阳看成一个圆，把海平面看成一条直线，那么在太阳升起的过程中，直线与圆的位置关系发生了怎样的变化？

【师生活动】学生观察动画后发现：太阳（圆）与海平面（直线）的公共点个数在不断变化——先是直线与圆没有公共点，接着恰好有一个公共点，最后直线穿过圆、出现两个公共点. 由此引出研究直线与圆的位置关系，板书课题.

学生观察海上日出动画，尝试用“圆与直线的公共点个数”描述太阳升起过程中位置关系的变化，产生探究欲望.

以文学名篇与自然景象创设情境，实现学科融合，激发学习兴趣；引导学生从生活现象中抽象出数学模型，渗透“数学来源于生活并服务于生活”的理念，为分类讨论作铺垫.

二、探究互动

二、探究互动，获得新知

学生动手移动硬币，观察并归纳

通过动手操作、观察、列表、对

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教学环节	教学内容与教师活动	学生活动	设计意图
获得新知	1. 动手操作，感知位置关系【思考1】圆相对于直线运动的过程中，直线与圆的公共点个数发生了怎样的变化？【追问1】请同学们在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，观察直线和圆的公共点个数的变化情况：最少时有几个？最多时有几个？【追问2】根据观察结果，你认为直线与圆的位置关系可以分为几类？分类的依据是什么？请把它们的图形在草稿纸上画出来. 2. 归纳定义，形成概念【填一填】请自学课本本节内容，并完成下表. 【归纳】（1）直线与圆没有公共点，这时称这条直线与圆相离；（2）直线与圆只有一个公共点，这时称这条直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个点叫作切点；（3）直线与圆有两个公共点，这时称这条直线与圆相交，这条直线叫作圆的割线. 【辨析·判一判】下列说法中，正确的个数是（　　）（1）直线与圆最多有两个公共点；（2）若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上；（3）若 A 是⊙O 上一点，则直线 AB 与⊙O 相切；（4）若 C 为⊙O 外一点，则过点 C 的直线与⊙O 相交或相离；（5）直线 a 和⊙O 有公共点，则直线 a 与⊙O	公共点个数的变化情况；独立完成“填一填”表格并画图分类；经历类比“点与圆”的探究过程，发现并概括 d 与 r 的三种数量关系；在辨析题中识别易错点，深化对定义的理解.	比，让学生完整经历概念的形成过程；类比点与圆的位置关系展开研究，渗透类比思想与分类讨论思想；辨析题直击“公共点个数”“切线条件”等易错点，帮助学生在纠错中准确建构概念.

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

获得新知

1. 动手操作，感知位置关系

【思考1】圆相对于直线运动的过程中，直线与圆的公共点个数发生了怎样的变化？

【追问1】请同学们在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，观察直线和圆的公共点个数的变化情况：最少时有几个？最多时有几个？

【追问2】根据观察结果，你认为直线与圆的位置关系可以分为几类？分类的依据是什么？请把它们的图形在草稿纸上画出来.

2. 归纳定义，形成概念

【填一填】请自学课本本节内容，并完成下表.

【归纳】（1）直线与圆没有公共点，这时称这条直线与圆相离；

（2）直线与圆只有一个公共点，这时称这条直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个点叫作切点；

（3）直线与圆有两个公共点，这时称这条直线与圆相交，这条直线叫作圆的割线.

【辨析·判一判】下列说法中，正确的个数是（　　）

（1）直线与圆最多有两个公共点；

（2）若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上；

（3）若 A 是⊙O 上一点，则直线 AB 与⊙O 相切；

（4）若 C 为⊙O 外一点，则过点 C 的直线与⊙O 相交或相离；

（5）直线 a 和⊙O 有公共点，则直线 a 与⊙O

公共点个数的变化情况；独立完成“填一填”表格并画图分类；经历类比“点与圆”的探究过程，发现并概括 d 与 r 的三种数量关系；在辨析题中识别易错点，深化对定义的理解.

比，让学生完整经历概念的形成过程；类比点与圆的位置关系展开研究，渗透类比思想与分类讨论思想；辨析题直击“公共点个数”“切线条件”等易错点，帮助学生在纠错中准确建构概念.

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教学环节	教学内容与教师活动	学生活动	设计意图
	相交. A. 1 个　　B. 2 个　　C. 3 个　　D. 4 个答案：A. 只有说法（1）正确. （2）相交时，直线上的点除两个交点外都在圆外；（3）直线 AB 不一定垂直于过点 A 的半径；（4）过圆外一点还能作圆的切线；（5）直线与圆有且只有一个公共点时是相切. 教师强调：根据定义可从公共点个数判断位置关系，但实际中公共点个数不易观察，通常用下面的数量关系法判定. 3. 类比探究，数量刻画【过渡】我们知道，平面内一点 P 与⊙O 的位置关系，可以根据点到圆心的距离 OP 与⊙O 的半径 r 的大小关系来确定. 类似地，如何确定直线与⊙O 的位置关系呢？【思考2】用直尺推动圆移动的过程中，除了公共点个数在变化，还有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系？【问题2】怎样用 d（圆心到直线的距离）来判别直线与圆的位置关系？【归纳】通过上面的问题我们容易得到：（1）直线和⊙O 相离 d＞r；（2）直线和⊙O 相切 d＝r；（3）直线和⊙O 相交 d＜r. 【教师总结】三种位置关系与三种数量关系一一对应：由位置关系得到数量关系是“性质”，由数量关系判定位置关系是“判定”，二者互逆. 判断直线与圆的位置关系，关键先求圆心到直线的距离 d，再与半径 r 比较大小.
三、学以致用应用新知	三、学以致用，应用新知【例】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，以边 AB 的中点 D 为圆心，以 r 为半径作⊙D. 若 r＝2.5，分别判断 AC，BC 与⊙D 的位置关系.	学生在教师引导下作出垂线段，把“圆心到直线的距离”转化为解直角三角形问题，分步求出 DE、DF 后与 r 比较大	通过例题巩固位置关系的判定方法，训练“作垂线段—求距离—比大小”的解题套路；变式追问打开思维的另一

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

相交.

A. 1 个　　B. 2 个　　C. 3 个　　D. 4 个

答案：A. 只有说法（1）正确. （2）相交时，直线上的点除两个交点外都在圆外；（3）直线 AB 不一定垂直于过点 A 的半径；（4）过圆外一点还能作圆的切线；（5）直线与圆有且只有一个公共点时是相切.

教师强调：根据定义可从公共点个数判断位置关系，但实际中公共点个数不易观察，通常用下面的数量关系法判定.

3. 类比探究，数量刻画

【过渡】我们知道，平面内一点 P 与⊙O 的位置关系，可以根据点到圆心的距离 OP 与⊙O 的半径 r 的大小关系来确定. 类似地，如何确定直线与⊙O 的位置关系呢？

【思考2】用直尺推动圆移动的过程中，除了公共点个数在变化，还有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系？

【问题2】怎样用 d（圆心到直线的距离）来判别直线与圆的位置关系？

【归纳】通过上面的问题我们容易得到：

（1）直线和⊙O 相离 d＞r；

（2）直线和⊙O 相切 d＝r；

（3）直线和⊙O 相交 d＜r.

【教师总结】三种位置关系与三种数量关系一一对应：由位置关系得到数量关系是“性质”，由数量关系判定位置关系是“判定”，二者互逆. 判断直线与圆的位置关系，关键先求圆心到直线的距离 d，再与半径 r 比较大小.

三、学以致用
应用新知

三、学以致用，应用新知

【例】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，以边 AB 的中点 D 为圆心，以 r 为半径作⊙D. 若 r＝2.5，分别判断 AC，BC 与⊙D 的位置关系.

学生在教师引导下作出垂线段，把“圆心到直线的距离”转化为解直角三角形问题，分步求出 DE、DF 后与 r 比较大

通过例题巩固位置关系的判定方法，训练“作垂线段—求距离—比大小”的解题套路；变式追问打开思维的另一

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