精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2026-2027学年高二上学期10月期中测试数学试题

高二数学期中测试 一、选择题：本题共8小题，每小题五分，共40分，每小题给出的选项中只有一项是符合要求的. 1. 在空间四边形OABC中（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量运算求得正确答案. 【详解】. 2. 点关于平面对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】空间直角坐标系中，点关于平面对称的坐标变换规则如下， 为对称点的横坐标、纵坐标与原坐标相同，竖坐标为原坐标竖坐标的相反数， 已知点，则对称点坐标为. 3. 点，直线AB的一个单位方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，而是与直线平行的非零向量，且模长为1， 所以是直线的一个单位方向向量． 4. 点与点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】、，故 . 5. 已知空间向量，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】因，则， 则． 6. 已知，，，且，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】将因式分解得到，且，利用基本不等式即可得出答案. 【详解】由题意得，，，又， 故， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为9. 7. 由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】圆即为，可知圆心为，半径， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A，连接CA， 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为． 8. 已知圆与圆相交于、两点，若四边形的面积为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则为的中点，由四边形的面积为，可得出的表达式，利用勾股定理可得出关于的方程，解出的值，即可求得． 【详解】圆，即， 则圆心为，半径为1，， 设，由题意可知，为的中点，，， 故四边形的面积为， 则，故， 所以， 所以， 又因为， 所以，得，解得， 因此． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BCD：设，，根据复数的运算和几何意义分析判断. 【详解】对于选项A：例如，，则， 但，不能比较大小，故A错误； 对于选项BCD：设，， 则，，， 所以，故B正确； 因为，， 若，则， 整理可得，所以，故C正确； 因为， 且， 则， 所以，D正确． 10. 已知动点满足，则（ ） A. 点的轨迹长度为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】易知动点的轨迹为圆.对于A，利用圆的周长公式即可判断；对于B，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的最短距离即可判断；对于C，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的连线所在直线的斜率最大值即可；对于D：先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定直线的最短距离即可判断. 【详解】可整理为，设，故点的轨迹为以为圆心，半径的圆. 对于A：点的轨迹长度即为圆的周长，，故A正确； 对于B：的几何意义为动点（即圆上一点）到点的距离. 易知，当点位于点与点的连线与圆的交点时，此时点到点的距离最短，最短距离， 即的最小值为，故的最小值为，故B错误； 对于C：的几何意义为动点（即圆上一点）与连线所在直线的斜率. 设，易知，当直线过点且与圆相切于轴上方时，动点与连线所在直线的斜率最大，即最大， 易知此时，又由相切可知，， 故，故，， 因此的最大值为，故C正确； 对于D：的几何意义是动点（即圆上一点）到直线的距离. 易知，动点到直线距离的最小值为圆心到直线的距离，再减半径，即， 因此的最小值为，故的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，是正四棱台的底面中心，上底面边长是，下底面边长是，侧棱长是，是棱上的动点．下列选项中说法正确的是（ ） A. 将四棱锥翻起，其底面与该正四棱台底面重合，恰好拼成一个正四棱锥 B. 平面与平面所成锐二面角的余弦值是 C. 当取得最大值时，三棱锥的体积是 D. 当取得最小值时，二面角平面角的正切值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】计算出四棱锥各侧棱的长，可判断A选项；利用空间向量法可判断B选项；分析可得，当取最小值时，确定点的位置，利用三棱锥的体积公式可判断C选项；当取最大值时，确定点的位置，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，连接、，则为的中点， 由正四棱台的几何性质可知四边形为等腰梯形， 在等腰梯形中，，，， 又因为为的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 同理可知，， 所以，将四棱锥翻起，其底面与该正四棱台底面重合，恰好拼成一个正四棱锥，A对； 对于B选项，设上底面的中心为， 由正四棱台的几何性质可知平面， 又因为四边形为正方形，，则， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、 、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 所以，， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值是，B对； 对于C选项，， 由A选项可知，，则为等腰三角形， 故当点与点或点重合时，取最大值，此时取最大值， 当点与点重合时，三棱锥不存在，C错； 对于D选项，当点为线段的中点时，取最小值，此时取最小值， 此时点， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， 易知平面的一个法向量为， 所以，， 则，故， 由图可知，二面角为锐角，故二面角的正切值为，D对. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【详解】根据向量坐标的计算公式，， 根据投影向量的计算公式在方向上的投影向量为， 即. 13. 如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是______． 【答案】5 【解析】 【分析】由已知可得点在平面上，且平面，再利用数量积的几何意义可求出的不同取值的个数. 【详解】因为点满足且，所以点在平面上， 因为，所以为平面的中心，此时平面， 由数量积的几何意义可知在的投影有5种情况：0，，， 所以数量积的不同取值的个数是5. 故答案为：5 14. 边长为1的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积是_________ 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，证明平面，通过向量点积运算求出夹角的正弦值，再计算的面积后利用分割法求三棱锥体积． 【详解】如图，取的中点，连接， 则， 又，平面， 故平面． 由题意知，，，，， 在边长为1的正方形中，对角线，． 则，解得， 则， 因为，则， 所以， 则三棱锥的体积是． 四、解答题（本题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 15. 已知直线过点，. （1）若直线的倾斜角为，求实数的值； （2）若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据斜率公式和斜率为倾斜角的正切值可得. （2）倾斜角为钝角时，斜率小于，再利用斜率公式可得. 【小问1详解】 由题意得，得. 【小问2详解】 由题意得，得， 故实数的取值范围为 16. 已知空间三点，设． （1）设，求； （2）若与互相垂直，求k． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出向量的坐标，再利用向量共线定理，结合即可得出； （2）由向量垂直与数量积的关系可得，再利用向量的运算即可解出． 【小问1详解】 因为，而，所以设，由， 则，即有，则或． 【小问2详解】 因为，所以，， 由与互相垂直，则， 则，即有， 解得或． 17. 已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． （1）求点B的坐标； （2）若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，分析可知的中点在直线上，运算即可； （2）求关于直线的对称点为，进而可求反射光线所在的直线方程. 【小问1详解】 由题意可设点， 因为，则的中点在直线上， 可得，解得， 所以点B的坐标为. 【小问2详解】 设关于直线的对称点为， 则，解得，即 所以反射光线所在的直线方程为，可得. 18. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角； （3）棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：取AD中点，连接，. 是以为斜边的等腰直角三角形，，，. ，，，四边形是矩形，. ，，. ，、底面，故底面. 以O为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，，，，为中点：. ，，. 设平面法向量，则 ， 令，则，代入得，. ， ，又平面，故平面. （2）平面与平面的夹角为. （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求平面法向量，证明与法向量垂直，得到线面平行； （2）求两个平面各自法向量，套二面角公式计算； （3）参数表示，用点到平面距离公式列方程，解，求. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ， 设平面法向量，则 ，，取，，. ，， 设平面法向量， ，，取，，. . 平面与平面的夹角为. 【小问3详解】 ，设，，. 平面法向量，取平面内点，向量. 点到平面距离： ，令， 解得，所以存在点，使得点到平面的距离是. 此时点坐标为. ，. 【点睛】（1）先利用长度关系证明底面，建立空间直角坐标系，线面平行证向量与平面法向量垂直； （2）二面角用两平面法向量夹角求解； （3）动点存在性依靠参数设点，借助点面距离公式列方程，最后检验参数范围判断点是否在线段上. 19. 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中，，，，），且为该平面的法向量． （1）若平面，，且，求实数的值； （2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； （3）记集合中所有点构成的几何体为．求的体积V的值； 【答案】（1） （2） （3）16 【解析】 【分析】（1）根据题意可得两个面的法向量，结合向量垂直运算求解； （2）分析可知几何体为正八面体.法1：根据题中公式直接求内切球半径，即可得表面积；法2：利用等体积法求内切球半径，即可得表面积； （3）根据题意分析几何体的结构特征，利用割补法求体积. 【小问1详解】 根据题意，平面的法向量，平面的法向量， 所以，故． 【小问2详解】 不妨设，在平面内取一点，则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为 对于， 当，，时，表示经过，，的平面在第一象限的部分． 由对称性可知表示，，这六个顶点形成的正八面体． 法1：设内切球的半径为，则即为原点到平面的距离， 则．所以内切球的表面积为； 法2：考虑； 即为三个坐标平面与围成的四面体，其四个顶点分别为，，，， 此四面体的体积为，由对称性知，正八面体的体积， 设内切球的半径为，正八面体的表面积为， 所以，解得：．所以内切球的表面积为； 【小问3详解】 由（2）可知所围几何体是关于平面，，对称的， 其在第一卦限的形状为正三棱锥，如图其中、、两两垂直， 且． 集合所表示的几何图形也关于平面，，对称， 其在第一卦限内的部分的图形如图1， 如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果． 所以所构成的几何体如图3所示． 法一：其中正方体记为集合所构成的区域． 而构成了一个正四棱锥，且到面的距离为1，所以， 所以几何体的体积． 法二：从图2可以看出，几何体在第一卦限的部分为有公共底面的两个三棱锥和． 设其体积为．由正方体的性质可知面．因为，， 所以其体积． 所以几何体的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期中测试 一、选择题：本题共8小题，每小题五分，共40分，每小题给出的选项中只有一项是符合要求的. 1. 在空间四边形OABC中（ ） A. B. C. D. 2. 点关于平面对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 点，直线AB的一个单位方向向量为（ ） A. B. C. D. 4. 点与点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 已知，，，且，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 7. 由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 8. 已知圆与圆相交于、两点，若四边形的面积为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 10. 已知动点满足，则（ ） A. 点的轨迹长度为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 如图，是正四棱台的底面中心，上底面边长是，下底面边长是，侧棱长是，是棱上的动点．下列选项中说法正确的是（ ） A. 将四棱锥翻起，其底面与该正四棱台底面重合，恰好拼成一个正四棱锥 B. 平面与平面所成锐二面角的余弦值是 C. 当取得最大值时，三棱锥的体积是 D. 当取得最小值时，二面角平面角的正切值是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 13. 如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是______． 14. 边长为1的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积是_________ 四、解答题（本题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 15. 已知直线过点，. （1）若直线的倾斜角为，求实数的值； （2）若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围. 16. 已知空间三点，设． （1）设，求； （2）若与互相垂直，求k． 17. 已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． （1）求点B的坐标； （2）若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 18. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角； （3）棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 19. 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中，，，，），且为该平面的法向量． （1）若平面，，且，求实数的值； （2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； （3）记集合中所有点构成的几何体为．求的体积V的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $