2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册·期中复习·重难题型分层突破讲义（第19-21章 实数·二次根式·一元二次方程）
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内容正文：
八年级上期中复习 · 重难题型分层突破
第 19—21 章 实数 · 二次根式 · 一元二次方程
三章核心结论
■ 实数
· ，；；正数有两个平方根，互为相反数．
· ，，两者不要混用．
· 数轴上两点距离为 ；比较两根式大小常用平方、作差、分子有理化．
■ 二次根式
· 最简二次根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式．
· 分母有理化：，．
· 型设法凑成 ，其中 ，．
■ 一元二次方程
· 中 ； 决定根的情况．
· ，，使用前须有 且 ．
· 增长（下降）率模型 ；利润模型“单件利润 销量 总利润”．
三 三类高频失分陷阱
易错 1 材料题、新定义题没读懂定义就动笔，把“和为积”“一根是另一根的 2 倍”等条件翻译错，导致整题失分；易错 2 用判别式、韦达定理前忘记检验“二次项系数 ”与“”这两个前提，求出参数却不回代检验；易错 3 实际应用题解出两根后不检验、不取舍，出现“时间超出运动范围”“售价低于进价”这类不合题意的答案．
实数 第 19 章
题型01 平方根、立方根的概念与含参“双根” 难度 ★☆☆
方法点拨
· 一个正数有两个平方根且互为相反数； 的平方根是 ；负数没有平方根，但负数有立方根．
· 立方根唯一，且 ， 对任意实数成立．
· 看到“同一个正数的两个平方根”，先列两式之和为 ；只说“都是某正数的平方根”，还要补上两式相等的情形．
【典例】已知一个正数 的两个平方根分别是 与 ．（1）求 与 的值；（2）求 的值．
解：
【变式】已知 的算术平方根是 ， 的立方根是 ，求 的平方根．
解：
题型02 算术平方根的估算：整数部分与小数部分 难度 ★☆☆
方法点拨
· 夹逼定界：在被开方数两侧找相邻的完全平方数（立方数），确定整数部分．
· 小数部分 原数 整数部分，且 小数部分 ；形如 要先整体定界．
· 求含小数部分的代数式，先写成“原数 整数”再整体代入，常能配成完全平方化简．
【典例】已知 、 分别是 的整数部分与小数部分．（1）求 、；（2）求 的值．
解：
【变式】已知 的整数部分是 ，小数部分是 ，求 的值．
解：
题型03 非负性“0 + 0”模型 难度 ★☆☆
方法点拨
· ，，；若它们的和为 ，则每一项同时为 ．
· 常与“被开方数互为相反数”配合： 时必有 ．
· 求出字母后按“先乘方、再开方”的顺序计算，注意零指数与负指数的取值．
【典例】若 ，求 的平方根．
解：
【变式】已知 ，求 的立方根．
解：
题型04 实数与数轴：符号判断与绝对值化简 难度 ★★☆
方法点拨
· 数轴上两点间距离为 ，线段中点为 ；到原点距离为 ．
· ，去绝对值之前一定先用数轴判断 、、 的符号．
· 多个绝对值逐个定号再合并，结果通常很简洁；若结论含字母，要用已知条件再化简一步．
【典例】实数 、、 在数轴上的位置满足 ，且 ．化简：．
解：
【变式】已知实数 、 满足 ，且 ，化简 ．
解：
题型05 无理数的识别与实数分类 难度 ★☆☆
方法点拨
· 无理数是无限不循环小数；分数、有限小数、无限循环小数都是有理数．
· 含 的式子一般是无理数，只有被整体约去时才可能为有理数，如 ．
· 带根号的数先算结果再判断：、 都是有理数．
【典例】在 、、、（相邻两个 之间 的个数逐次加 ）、、 中，无理数有几个？请写出来．
解：
【变式】已知 是整数，且 是无理数，，写出所有符合条件的 的值．
解：
题型06 实数大小比较：作差、平方与分子有理化 难度 ★★☆
方法点拨
· 同号两数可平方比较；含根式的差常用分子有理化：．
· 几个“同结构”的数比较大小时，化为分子相同、分母递增的形式，只需比较分母大小．
· 结论： 越大， 越小；不能因为被开方数大就判断差大．
【典例】比较 ，， 的大小．
解：
【变式】比较 与 的大小．
解：
题型07 材料阅读：取整函数与数式规律 难度 ★★★
方法点拨
· 读懂定义： 表示不超过 的最大整数，负数方向不要弄反，如 ．
· 抓临界：若 ，则 ；反过来 给出 ．
· 求一长串和，先按“取同一个值的个数”分组，每组个数为 ，再用求和公式合并．
【典例】阅读材料：用 表示不超过 的最大整数，如 ，，．由定义可知，若 为正整数， 为自然数且 ，则 ．
请解答：（1）填空： ______， ______；（2）若 ，求正整数 的个数；（3）计算 的值．
解：
【变式】定义 为 的小数部分，其中 表示不超过 的最大整数．设 ．
（1）求 与 ；（2）求 的值；（3）若 （、 为有理数），求 的值．
解：
题型08 实数的混合运算与实际应用 难度 ★☆☆
方法点拨
· 运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；括号内优先．
· ，而 ，两者不可混用；去绝对值先看符号．
· 应用问题先设未知数，按体积、面积公式列方程，最后注意单位与精确度要求．
【典例】计算：．
解：
【变式】一个正方体木箱的容积为 m．（1）求它的棱长；（2）若给木箱的外表面全部贴上包装纸，求所需包装纸的面积．
解：
二次根式 第 20 章
题型09 二次根式有意义的条件 难度 ★☆☆
方法点拨
· 二次根式有意义 被开方数 ；在分母上时要严格大于 ．
· 多个根式同时出现，把各条件取交集；分母不为 的条件容易漏．
· 求整数解时先写出取值区间，再逐个列举，别把端点算错．
【典例】若式子 有意义，求 的取值范围．
解：
【变式】若 有意义，求 的取值范围，并求其中所有整数 的和．
解：
题型10 型化简与分类讨论 难度 ★★☆
方法点拨
· ，去掉绝对值必须知道 的符号，必要时按零点分段讨论．
· 的几何意义是数轴上点 到 、 的距离之和，最小值为两点间距离．
· 分类讨论后要把各段结果合并写全，区间端点通常可归入任一段．
【典例】若 ，求 的取值范围．
解：
【变式】已知 为实数，化简 ．
解：
题型11 最简二次根式与同类二次根式 难度 ★☆☆
方法点拨
· 最简二次根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式．
· 同类二次根式看化简后的被开方数是否相同，与系数无关．
· 由“同类”列方程求参数后，一定要回代检验被开方数是否非负．
【典例】若最简二次根式 与 是同类二次根式，求 的值及这两个二次根式．
解：
【变式】若 与 是同类二次根式，求 的值．
解：
题型12 分母有理化与化简求值 难度 ★★☆
方法点拨
· 分母有理化：，分子分母同乘共轭因式．
· 求值时先化简（去掉分母中的根号），再把结果写成“整数 根式”，最后整体代入．
· 遇到 这类条件，先算出 的简单形式，再配成完全平方降次．
【典例】已知 ，求 的值．
解：
【变式】已知 ，，求 的值．
解：
题型13 二次根式的混合运算与乘法公式 难度 ★☆☆
方法点拨
· 整式的乘法公式对二次根式同样适用：平方差 ，完全平方 ．
· 化简时先算乘法，再把同类二次根式合并，结果要化成最简形式．
· 含负号或减号时注意括号， 型错误是失分主因．
【典例】计算：．
解：
【变式】计算：．
解：
题型14 材料阅读：复合二次根式的化简 难度 ★★★
方法点拨
· 核心设法：若 ，（），则 ．
· 关键是先把根号内的项凑成 的形式，如 ，．
· 结果要检验符号： 中须有 ．
【典例】阅读材料：形如 的式子，若能找到正数 、 使 ，，则 ．例如化简 ：由 ， 取 ，，得 ．
请仿照材料化简：（1）；（2）；（3）．
解：
【变式】用材料中的方法解答：已知 ．（1）化简这两个复合二次根式；（2）求 的值；（3）求 的值，并说明两个因式的积与 的关系．
解：
题型15 二次根式化简求值：由值反推关系式 难度 ★★☆
方法点拨
· 若条件形如 ，先把它“还原”成整式关系：，即 ．
· 用关系式降次：，，把高次化为一次．
· 目标式先按 之类的形式配成完全平方，往往一步到位．
【典例】已知 ，求 的值．
解：
【变式】已知 ，求 的值．
解：
题型16 几何结合：二次根式和的最小值 难度 ★★★
方法点拨
· 可看作点 到点 的距离．
· 两个根式之和最小，转化为“折线最短”：把一点关于 轴对称，用两点之间线段最短．
· 取等条件是三点共线，算出交点横坐标后要检查是否在题目允许的范围内．
【典例】求代数式 的最小值．
解：
【变式】求代数式 的最小值．
解：
题型17 规律探究：裂项相消与分式求和 难度 ★★★
方法点拨
· 裂项公式：，求和时中间项全部抵消．
· 求和结果形如 ，再解不等式（如大于 ）时注意两边平方的顺序与范围．
· 含系数的裂项（如 ）用 ．
【典例】阅读材料：因为 ，所以 ．
请解答：（1）计算 ；（2）求使该和大于 的最小正整数 ；（3）计算 ．
解：
【变式】计算 的值，并写出这个结果的整数部分．
解：
一元二次方程 第 21 章
题型18 一元二次方程的概念与含参问题 难度 ★☆☆
方法点拨
· 一元二次方程须同时满足：只含一个未知数、整式方程、化简后二次项系数 ．
· 含 这类式子的，令次数为 且二次项系数不为 ，两个条件缺一不可．
· 已知一根求参数，直接把根代入；求另一根可用两根之和，比重新解方程快．
【典例】关于 的方程 是一元二次方程，求 的值及二次项系数．
解：
【变式】已知 是关于 的方程 的一个根，求 的值及方程的另一个根．
解：
题型19 直接开平方法与配方法 难度 ★☆☆
方法点拨
· 直接开平方：，当 时 ，当 时无实数根．
· 配方法四步：二次项系数化 、移常数项、两边加一次项系数一半的平方、写成完全平方．
· 系数为分数时不要急着通分，先把二次项系数提出去更省事．
【典例】用配方法解方程 ．
解：
【变式】用直接开平方法解方程 ．
解：
题型20 因式分解与换元降次 难度 ★★☆
方法点拨
· 整体换元：把重复出现的 、 设为 ，先解关于 的方程再回代．
· 回代后要分别解到 ，并检验每个二次方程是否有实根（ 直接舍去）．
· 能因式分解的优先分解，十字相乘与平方差常能把四次方程降到一次．
【典例】解方程：．
解：
【变式】解方程：．
解：
题型21 根的判别式与含参讨论 难度 ★★☆
方法点拨
· ： 两个不等实根， 两个相等实根， 无实根．
· 含参方程先抓两个前提：二次项系数 、 的符号；两者常同时考．
· 证明“总有实根”，把 整理成完全平方或配方，说明它恒非负．
【典例】关于 的方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围．
解：
【变式】求证：无论 取何实数，关于 的方程 总有实数根．
解：
题型22 根与系数的关系与对称式求值 难度 ★★☆
方法点拨
· 韦达定理：，，使用前必须有 且 ．
· 对称式化归：，．
· ，．
【典例】设 、 是方程 的两个根，求 与 的值．
解：
【变式】设 、 是方程 的两个根，求 与 的值．
解：
题型23 新定义：整根方程与整数根探究 难度 ★★★
方法点拨
· 读懂新定义，把“整根”翻译成“两根都是整数”，再结合因式分解或韦达定理处理．
· 能分解的方程先分解，根用参数表示出来，整数条件就变成整除条件（如 ）．
· 对称式变形 常用于“根为整数”的探究．
【典例】新定义：若一元二次方程 （）的两个根都是整数，则称这个方程为“整根方程”．
已知关于 的方程 （）．
（1）求证：该方程总有一个根为 ；（2）若该方程是“整根方程”，求整数 的值及此时方程的两个根．
解：
【变式】若关于 的方程 的两个根都是正整数，且 ，求方程的根．
解：
题型24 应用：增长率、传播与握手 难度 ★☆☆
方法点拨
· 增长率模型：，其中 为初始量、 为两次变化后的量．
· 传播、握手问题本质相同：一人传给 人，两轮后总数为 ．
· 解出两根后按实际含义取舍，增长率一般取正根，且要写成百分数．
【典例】某厂第一季度产量为 万件，第三季度产量为 万件．若每季度的平均增长率相同，求这个增长率．
解：
【变式】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 人患流感．若每轮传染中平均一个人传染 个人，求 的值．
解：
题型25 几何结合：面积、动点与销售利润 难度 ★★★
方法点拨
· 几何问题先画图，把相关线段用含 （或 ）的式子表示，再按面积公式列方程．
· 动点问题必须写清时间范围：任一点到达终点即停止，超出范围的值要舍去．
· 利润问题：单件利润 销量 总利润；两根都合理时按“让利更多”等条件取舍并说明．
【典例】矩形 中， cm， cm．点 从 出发沿 向 以 cm/s 的速度运动，同时点 从 出发沿 向 以 cm/s 的速度运动，当其中一点到达终点时另一点停止运动．经过多少秒， 的面积为 cm？
解：
【变式】某商品进价为 元/件，当售价为 元时，每月可售出 件；售价每上涨 元，月销量就减少 件．若某月销售该商品的利润为 元，求该月的售价．
解：
题型26 材料阅读：新定义“和谐方程”综合 难度 ★★★
方法点拨
· 新定义题的通用步骤：读懂定义 用韦达定理翻译成关于参数的等式 解出后回代检验．
· 凡是“方程有两个根”的说法，都要保证 ，否则求出的参数可能是空解．
· 推广到“倍根”“相邻根”等变式时，设两根为 、（或 、），用和与积同时表示．
【典例】阅读材料：若一元二次方程 （）的两个根 、 满足 ，则称该方程为“和谐方程”．
请解答：（1）判断方程 是否为“和谐方程”，并说明理由；（2）若关于 的方程 是“和谐方程”，求 的值；（3）若关于 的方程 是“和谐方程”，求 的值及方程的两个根．
解：
【变式】新定义：若一元二次方程的一个根是另一个根的 倍，则称该方程为“倍根方程”．
（1）若关于 的方程 是“倍根方程”，求 的值；（2）若关于 的方程 是“倍根方程”，且 ，求 、 的值．
解：
综合演练 限时 60 分钟 · 满分 80 分
一、选择题 每题 4 分，共 16 分
1．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D．
4．若 、 是方程 的两根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题 每题 4 分，共 16 分
5．若 ，则 ______．
6．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 ______．
7．一个正数的两个平方根分别是 与 ，则这个正数是 ______．
8．若关于 的方程 的一个根是 ，则另一个根是 ______．
三、解答题 每题 12 分，共 48 分
9．计算：．
解：
10．已知 ，求 的值．
解：
11．某工厂 年产值 万元， 年产值 万元，求这两年产值的年平均增长率．
解：
12．已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 、．
（1）求 的取值范围；（2）若 ，求 的值．
解：
学科网（北京）股份有限公司
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八年级上期中复习 · 重难题型分层突破
第 19—21 章 实数 · 二次根式 · 一元二次方程
三章核心结论
■ 实数
· ，；；正数有两个平方根，互为相反数．
· ，，两者不要混用．
· 数轴上两点距离为 ；比较两根式大小常用平方、作差、分子有理化．
■ 二次根式
· 最简二次根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式．
· 分母有理化：，．
· 型设法凑成 ，其中 ，．
■ 一元二次方程
· 中 ； 决定根的情况．
· ，，使用前须有 且 ．
· 增长（下降）率模型 ；利润模型“单件利润 销量 总利润”．
三 三类高频失分陷阱
易错 1 材料题、新定义题没读懂定义就动笔，把“和为积”“一根是另一根的 2 倍”等条件翻译错，导致整题失分；易错 2 用判别式、韦达定理前忘记检验“二次项系数 ”与“”这两个前提，求出参数却不回代检验；易错 3 实际应用题解出两根后不检验、不取舍，出现“时间超出运动范围”“售价低于进价”这类不合题意的答案．
实数 第 19 章
题型01 平方根、立方根的概念与含参“双根” 难度 ★☆☆
方法点拨
· 一个正数有两个平方根且互为相反数； 的平方根是 ；负数没有平方根，但负数有立方根．
· 立方根唯一，且 ， 对任意实数成立．
· 看到“同一个正数的两个平方根”，先列两式之和为 ；只说“都是某正数的平方根”，还要补上两式相等的情形．
【典例】已知一个正数 的两个平方根分别是 与 ．（1）求 与 的值；（2）求 的值．
答案 （1），；（2）
解析 由两个平方根互为相反数得 ，解得 ，此时两个平方根为 与 ，故 ；．
【变式】已知 的算术平方根是 ， 的立方根是 ，求 的平方根．
答案
解析 由 得 ；由 得 ．所以 ，其平方根为 ．
题型02 算术平方根的估算：整数部分与小数部分 难度 ★☆☆
方法点拨
· 夹逼定界：在被开方数两侧找相邻的完全平方数（立方数），确定整数部分．
· 小数部分 原数 整数部分，且 小数部分 ；形如 要先整体定界．
· 求含小数部分的代数式，先写成“原数 整数”再整体代入，常能配成完全平方化简．
【典例】已知 、 分别是 的整数部分与小数部分．（1）求 、；（2）求 的值．
答案 （1），；（2）
解析 由 得 ，故 ，；．
【变式】已知 的整数部分是 ，小数部分是 ，求 的值．
答案
解析 由 得 ，故 ，；所以 ．
题型03 非负性“0 + 0”模型 难度 ★☆☆
方法点拨
· ，，；若它们的和为 ，则每一项同时为 ．
· 常与“被开方数互为相反数”配合： 时必有 ．
· 求出字母后按“先乘方、再开方”的顺序计算，注意零指数与负指数的取值．
【典例】若 ，求 的平方根．
答案
解析 由非负性得 ，，，即 ，，；所以 ，其平方根为 ．
【变式】已知 ，求 的立方根．
答案
解析 由非负性得 ，，所以 ，．
题型04 实数与数轴：符号判断与绝对值化简 难度 ★★☆
方法点拨
· 数轴上两点间距离为 ，线段中点为 ；到原点距离为 ．
· ，去绝对值之前一定先用数轴判断 、、 的符号．
· 多个绝对值逐个定号再合并，结果通常很简洁；若结论含字母，要用已知条件再化简一步．
【典例】实数 、、 在数轴上的位置满足 ，且 ．化简：．
答案
解析 由 且 得 ，所以 ；又 ，故 ；，．原式 ．
【变式】已知实数 、 满足 ，且 ，化简 ．
答案
解析 由 且 得 ，故 ；又 ，故 ；．原式 ．
题型05 无理数的识别与实数分类 难度 ★☆☆
方法点拨
· 无理数是无限不循环小数；分数、有限小数、无限循环小数都是有理数．
· 含 的式子一般是无理数，只有被整体约去时才可能为有理数，如 ．
· 带根号的数先算结果再判断：、 都是有理数．
【典例】在 、、、（相邻两个 之间 的个数逐次加 ）、、 中，无理数有几个？请写出来．
答案 个，分别是 与
解析 ，，都是整数；、 是分数与有限小数，均为有理数； 与 是无限不循环小数，为无理数，共 个．
【变式】已知 是整数，且 是无理数，，写出所有符合条件的 的值．
答案 、、、、、
解析 由 得 ，整数 为 ；其中 时 是有理数，舍去，故 ．
题型06 实数大小比较：作差、平方与分子有理化 难度 ★★☆
方法点拨
· 同号两数可平方比较；含根式的差常用分子有理化：．
· 几个“同结构”的数比较大小时，化为分子相同、分母递增的形式，只需比较分母大小．
· 结论： 越大， 越小；不能因为被开方数大就判断差大．
【典例】比较 ，， 的大小．
答案
解析 ，，．三个分母依次增大，分子都是 ，所以 ．
【变式】比较 与 的大小．
答案
解析 ，，前者分母更大、分子相同，故前者较小．
题型07 材料阅读：取整函数与数式规律 难度 ★★★
方法点拨
· 读懂定义： 表示不超过 的最大整数，负数方向不要弄反，如 ．
· 抓临界：若 ，则 ；反过来 给出 ．
· 求一长串和，先按“取同一个值的个数”分组，每组个数为 ，再用求和公式合并．
【典例】阅读材料：用 表示不超过 的最大整数，如 ，，．由定义可知，若 为正整数， 为自然数且 ，则 ．
请解答：（1）填空： ______， ______；（2）若 ，求正整数 的个数；（3）计算 的值．
答案 （1），；（2） 个；（3）
解析 （1），故 ；，故 ．（2）由 得 ，正整数 为 ，共 个．（3） 的 有 个，；又 ，故原式 ．
【变式】定义 为 的小数部分，其中 表示不超过 的最大整数．设 ．
（1）求 与 ；（2）求 的值；（3）若 （、 为有理数），求 的值．
答案 （1），；（2）；（3）
解析 （1）由 得 ，．（2），，故原式 ．（3），得 ，，所以 ．
题型08 实数的混合运算与实际应用 难度 ★☆☆
方法点拨
· 运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；括号内优先．
· ，而 ，两者不可混用；去绝对值先看符号．
· 应用问题先设未知数，按体积、面积公式列方程，最后注意单位与精确度要求．
【典例】计算：．
答案
解析 ，，，．原式 ．
【变式】一个正方体木箱的容积为 m．（1）求它的棱长；（2）若给木箱的外表面全部贴上包装纸，求所需包装纸的面积．
答案 （1） m；（2） m
解析 （1）设棱长为 m，则 ，．（2）表面积 （m）．
二次根式 第 20 章
题型09 二次根式有意义的条件 难度 ★☆☆
方法点拨
· 二次根式有意义 被开方数 ；在分母上时要严格大于 ．
· 多个根式同时出现，把各条件取交集；分母不为 的条件容易漏．
· 求整数解时先写出取值区间，再逐个列举，别把端点算错．
【典例】若式子 有意义，求 的取值范围．
答案 且
解析 需 且 且 ，即 、、，取交集得 且 ．
【变式】若 有意义，求 的取值范围，并求其中所有整数 的和．
答案 ；和为
解析 需 且 ，得 ；其中的整数为 、，和为 ．
题型10 型化简与分类讨论 难度 ★★☆
方法点拨
· ，去掉绝对值必须知道 的符号，必要时按零点分段讨论．
· 的几何意义是数轴上点 到 、 的距离之和，最小值为两点间距离．
· 分类讨论后要把各段结果合并写全，区间端点通常可归入任一段．
【典例】若 ，求 的取值范围．
答案
解析 原式即 ．当 时 ；当 时和为 ；当 时和为 ．故 ．
【变式】已知 为实数，化简 ．
答案 当 时为 ；当 时为 ；当 时为
解析 原式 ．当 时，，，和为 ；当 时，，，和为 ；当 时，，，和为 ．
题型11 最简二次根式与同类二次根式 难度 ★☆☆
方法点拨
· 最简二次根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式．
· 同类二次根式看化简后的被开方数是否相同，与系数无关．
· 由“同类”列方程求参数后，一定要回代检验被开方数是否非负．
【典例】若最简二次根式 与 是同类二次根式，求 的值及这两个二次根式．
答案 ，两个二次根式都是
解析 同类二次根式的被开方数相同，故 ，解得 ；此时被开方数为 ，两个二次根式都是 ．
【变式】若 与 是同类二次根式，求 的值．
答案
解析 由 得 ，解得 或 ；当 时 ，二次根式无意义，舍去．故 ．
题型12 分母有理化与化简求值 难度 ★★☆
方法点拨
· 分母有理化：，分子分母同乘共轭因式．
· 求值时先化简（去掉分母中的根号），再把结果写成“整数 根式”，最后整体代入．
· 遇到 这类条件，先算出 的简单形式，再配成完全平方降次．
【典例】已知 ，求 的值．
答案
解析 ；．
【变式】已知 ，，求 的值．
答案
解析 ，，故 ，；，所以原式 ．
题型13 二次根式的混合运算与乘法公式 难度 ★☆☆
方法点拨
· 整式的乘法公式对二次根式同样适用：平方差 ，完全平方 ．
· 化简时先算乘法，再把同类二次根式合并，结果要化成最简形式．
· 含负号或减号时注意括号， 型错误是失分主因．
【典例】计算：．
答案
解析 ，，原式 ．
【变式】计算：．
答案
解析 ，，原式 ．
题型14 材料阅读：复合二次根式的化简 难度 ★★★
方法点拨
· 核心设法：若 ，（），则 ．
· 关键是先把根号内的项凑成 的形式，如 ，．
· 结果要检验符号： 中须有 ．
【典例】阅读材料：形如 的式子，若能找到正数 、 使 ，，则 ．例如化简 ：由 ， 取 ，，得 ．
请仿照材料化简：（1）；（2）；（3）．
答案 （1）；（2）；（3）
解析 （1），由 ， 取 ，，得原式 ．（2）由 ， 取 ，，得原式 ．（3），而 ，故原式 ．
【变式】用材料中的方法解答：已知 ．（1）化简这两个复合二次根式；（2）求 的值；（3）求 的值，并说明两个因式的积与 的关系．
答案 （1），；（2）；（3）积为 ，恒等于 的算术平方根
解析 （1）由 ， 取 ，，得 ，．（2）．（3）积 ；由（2）得 ，而 ，即两因式之积为 ．
题型15 二次根式化简求值：由值反推关系式 难度 ★★☆
方法点拨
· 若条件形如 ，先把它“还原”成整式关系：，即 ．
· 用关系式降次：，，把高次化为一次．
· 目标式先按 之类的形式配成完全平方，往往一步到位．
【典例】已知 ，求 的值．
答案
解析 由 得 ，即 ；于是 ．原式 ．
【变式】已知 ，求 的值．
答案
解析 由 得 ，即 ，所以 ．
题型16 几何结合：二次根式和的最小值 难度 ★★★
方法点拨
· 可看作点 到点 的距离．
· 两个根式之和最小，转化为“折线最短”：把一点关于 轴对称，用两点之间线段最短．
· 取等条件是三点共线，算出交点横坐标后要检查是否在题目允许的范围内．
【典例】求代数式 的最小值．
答案
解析 设 ，，，则原式为 ．作 关于 轴的对称点 ，则 ．当 为 与 轴交点（）时取到最小值 ．
【变式】求代数式 的最小值．
答案
解析 设 ，，，原式为 ．取 关于 轴的对称点 ，则 ，当 在线段 上时取到最小值 ．
题型17 规律探究：裂项相消与分式求和 难度 ★★★
方法点拨
· 裂项公式：，求和时中间项全部抵消．
· 求和结果形如 ，再解不等式（如大于 ）时注意两边平方的顺序与范围．
· 含系数的裂项（如 ）用 ．
【典例】阅读材料：因为 ，所以 ．
请解答：（1）计算 ；（2）求使该和大于 的最小正整数 ；（3）计算 ．
答案 （1）；（2）；（3）
解析 （1）原式 ．（2）由 得 ，即 ，故最小正整数 ．（3）括号内 ，故原式 ．
【变式】计算 的值，并写出这个结果的整数部分．
答案 ，整数部分为
解析 原式 ；因为 ，所以 ，故 ，整数部分为 ．
一元二次方程 第 21 章
题型18 一元二次方程的概念与含参问题 难度 ★☆☆
方法点拨
· 一元二次方程须同时满足：只含一个未知数、整式方程、化简后二次项系数 ．
· 含 这类式子的，令次数为 且二次项系数不为 ，两个条件缺一不可．
· 已知一根求参数，直接把根代入；求另一根可用两根之和，比重新解方程快．
【典例】关于 的方程 是一元二次方程，求 的值及二次项系数．
答案 ，二次项系数为
解析 由一元二次方程的定义得 且 ，所以 ；此时二次项系数为 ．
【变式】已知 是关于 的方程 的一个根，求 的值及方程的另一个根．
答案 ，另一个根为
解析 把 代入得 ，所以 ，方程为 ，因式分解得 ，另一根为 ．
题型19 直接开平方法与配方法 难度 ★☆☆
方法点拨
· 直接开平方：，当 时 ，当 时无实数根．
· 配方法四步：二次项系数化 、移常数项、两边加一次项系数一半的平方、写成完全平方．
· 系数为分数时不要急着通分，先把二次项系数提出去更省事．
【典例】用配方法解方程 ．
答案 ，
解析 两边除以 得 ；配方得 ，即 ，故 ．
【变式】用直接开平方法解方程 ．
答案 ，
解析 由 ，当 时 ；当 时 ．
题型20 因式分解与换元降次 难度 ★★☆
方法点拨
· 整体换元：把重复出现的 、 设为 ，先解关于 的方程再回代．
· 回代后要分别解到 ，并检验每个二次方程是否有实根（ 直接舍去）．
· 能因式分解的优先分解，十字相乘与平方差常能把四次方程降到一次．
【典例】解方程：．
答案 或
解析 设 ，则 ，解得 或 ．当 时，，得 ；当 时，，得 ．
【变式】解方程：．
答案
解析 设 ，则 ，即 ，解得 或 ．当 时，，得 ；当 时，，，无实数根．
题型21 根的判别式与含参讨论 难度 ★★☆
方法点拨
· ： 两个不等实根， 两个相等实根， 无实根．
· 含参方程先抓两个前提：二次项系数 、 的符号；两者常同时考．
· 证明“总有实根”，把 整理成完全平方或配方，说明它恒非负．
【典例】关于 的方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围．
答案 且
解析 方程为一元二次方程，需 ，即 ；，由 得 ．综上 且 ．
【变式】求证：无论 取何实数，关于 的方程 总有实数根．
答案 ，故方程总有实数根
解析 ．因为 对任意实数 成立，所以方程总有实数根．
题型22 根与系数的关系与对称式求值 难度 ★★☆
方法点拨
· 韦达定理：，，使用前必须有 且 ．
· 对称式化归：，．
· ，．
【典例】设 、 是方程 的两个根，求 与 的值．
答案 ；
解析 由韦达定理得 ，，所以 ；．
【变式】设 、 是方程 的两个根，求 与 的值．
答案 ；
解析 ，，；．
题型23 新定义：整根方程与整数根探究 难度 ★★★
方法点拨
· 读懂新定义，把“整根”翻译成“两根都是整数”，再结合因式分解或韦达定理处理．
· 能分解的方程先分解，根用参数表示出来，整数条件就变成整除条件（如 ）．
· 对称式变形 常用于“根为整数”的探究．
【典例】新定义：若一元二次方程 （）的两个根都是整数，则称这个方程为“整根方程”．
已知关于 的方程 （）．
（1）求证：该方程总有一个根为 ；（2）若该方程是“整根方程”，求整数 的值及此时方程的两个根．
答案 （1）见解析；（2） 时根为 、； 时根为 、
解析 （1），令 得 ，故方程总有一根为 ．（2）另一根为 ，要使它为整数，需 ，故 ．当 时方程为 ，根为 、；当 时方程为 ，根为 、．
【变式】若关于 的方程 的两个根都是正整数，且 ，求方程的根．
答案 方程必有一根为 ，另一根为任意正整数
解析 设两根为 、，则 ，，由 得 ，即 ，所以 ，即 或 ；另一根为正整数，故方程必有一根为 ．
题型24 应用：增长率、传播与握手 难度 ★☆☆
方法点拨
· 增长率模型：，其中 为初始量、 为两次变化后的量．
· 传播、握手问题本质相同：一人传给 人，两轮后总数为 ．
· 解出两根后按实际含义取舍，增长率一般取正根，且要写成百分数．
【典例】某厂第一季度产量为 万件，第三季度产量为 万件．若每季度的平均增长率相同，求这个增长率．
答案
解析 设平均增长率为 ，则 ，，解得 或 （舍），故 ．
【变式】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 人患流感．若每轮传染中平均一个人传染 个人，求 的值．
答案
解析 第一轮后共有 人患病，第二轮后共有 人患病，故 ，解得 或 （舍），所以 ．
题型25 几何结合：面积、动点与销售利润 难度 ★★★
方法点拨
· 几何问题先画图，把相关线段用含 （或 ）的式子表示，再按面积公式列方程．
· 动点问题必须写清时间范围：任一点到达终点即停止，超出范围的值要舍去．
· 利润问题：单件利润 销量 总利润；两根都合理时按“让利更多”等条件取舍并说明．
【典例】矩形 中， cm， cm．点 从 出发沿 向 以 cm/s 的速度运动，同时点 从 出发沿 向 以 cm/s 的速度运动，当其中一点到达终点时另一点停止运动．经过多少秒， 的面积为 cm？
答案 秒或 秒
解析 设经过 秒，则 ，．由“一点到达终点即停止”， 到 需 s，故 ．由 得 ，即 ，解得 或 ，均在范围内，故经过 秒或 秒．
【变式】某商品进价为 元/件，当售价为 元时，每月可售出 件；售价每上涨 元，月销量就减少 件．若某月销售该商品的利润为 元，求该月的售价．
答案 元或 元
解析 设售价上涨 元，则单件利润为 元，月销量为 件，由 整理得 ，解得 或 ．故售价为 元或 元（两种售价下月利润均为 元）．
题型26 材料阅读：新定义“和谐方程”综合 难度 ★★★
方法点拨
· 新定义题的通用步骤：读懂定义 用韦达定理翻译成关于参数的等式 解出后回代检验．
· 凡是“方程有两个根”的说法，都要保证 ，否则求出的参数可能是空解．
· 推广到“倍根”“相邻根”等变式时，设两根为 、（或 、），用和与积同时表示．
【典例】阅读材料：若一元二次方程 （）的两个根 、 满足 ，则称该方程为“和谐方程”．
请解答：（1）判断方程 是否为“和谐方程”，并说明理由；（2）若关于 的方程 是“和谐方程”，求 的值；（3）若关于 的方程 是“和谐方程”，求 的值及方程的两个根．
答案 （1）是；（2）；（3），两根为 、
解析 （1）方程的两根为 ，，，两者相等，故是“和谐方程”．（2），，由和谐方程定义得 ；此时 ，符合题意．（3），，由定义得 ，即 ；方程为 ，，两根为 ．
【变式】新定义：若一元二次方程的一个根是另一个根的 倍，则称该方程为“倍根方程”．
（1）若关于 的方程 是“倍根方程”，求 的值；（2）若关于 的方程 是“倍根方程”，且 ，求 、 的值．
答案 （1）；（2），（或 ，此时方程为 ）
解析 （1）设两根为 、，则 ，得 ，两根为 、，故 ．（2）设两根为 、，则 ，，由 得 ，解得 或 ．当 时，两根为 、，，；当 时，．
综合演练 限时 60 分钟 · 满分 80 分
一、选择题 每题 4 分，共 16 分
1．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
答案 A
解析 ，，，，故选 A．
2．若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案 B
解析 由 得 ，即 ，故选 B．
3．若关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D．
答案 A
解析 当 时，方程化为 ，有实数根；当 时，需 ，即 ．综上 ，故选 A．
4．若 、 是方程 的两根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
答案 A
解析 ，，故 ，故选 A．
二、填空题 每题 4 分，共 16 分
5．若 ，则 ______．
答案
解析 由非负性得 ，，故 ．
6．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 ______．
答案
解析 由同类二次根式得 ，解得 ，此时被开方数为 ， 是最简二次根式．
7．一个正数的两个平方根分别是 与 ，则这个正数是 ______．
答案
解析 由平方根互为相反数得 ，，两个平方根为 与 ，故这个正数为 ．
8．若关于 的方程 的一个根是 ，则另一个根是 ______．
答案
解析 设另一根为 ，由 得 （此时 ， 符合）．
三、解答题 每题 12 分，共 48 分
9．计算：．
答案
解析 ，，；原式 ．
10．已知 ，求 的值．
答案
解析 ，故 ．
11．某工厂 年产值 万元， 年产值 万元，求这两年产值的年平均增长率．
答案
解析 设年平均增长率为 ，则 ，，；取 （负值舍去），即年平均增长率为 ．
12．已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 、．
（1）求 的取值范围；（2）若 ，求 的值．
答案 （1）；（2）
解析 （1），故 ．（2），由 得 ，；又 ，故 ．
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