第19章·实数·期中复习·培优提升讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第19章·实数·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 深入理解无理数与实数概念，正确判断说法的正误 · 掌握平方根、算术平方根、立方根的运算与规律探索 · 能利用算术平方根的非负性解决含参问题 · 会结合数轴化简绝对值与实数的混合问题 · 能进行无理数估算、比较大小及实际应用 📚 知识梳理 ☆ 1.无理数与实数概念 无理数、有理数概念的深入辨析 实数的分类与数轴上的表示 常见说法正误判断 概念辨析例题：下列说法正确的是（　　）A．无理数都是开方开不尽的数　B．无限小数都是无理数　C．有理数与无理数统称实数 答案：C 解析：无理数不一定是开方开不尽的数（如 π）；无限循环小数是有理数；实数包括有理数和无理数 ☆ 2.平方根、算术平方根与立方根 平方根、算术平方根、立方根的求法与性质 已知平方根/立方根求原数 开方与规律的探索题 概念辨析例题：若一个正数 m 的两个平方根分别为 2a-7 和 a+4，求 m 答案：m=9 解析：两个平方根互为相反数：2a-7+a+4=0，得 a=1，平方根为 -3、3，m=9 ☆ 3.算术平方根的非负性 ≥0 且 a≥0 的利用 非负式之和为 0 ⇒ 各项为 0 含参求值、解方程 概念辨析例题：若 +(b+1)2=0，求 a+b 答案：1 解析：≥0，(b+1)2≥0，和为 0 则 a-2=0、b+1=0，a=2、b=-1，a+b=1 ☆ 4.实数与数轴、估算 数轴上表示实数，用距离关系化简 绝对值化简：先判符号 无理数估算：夹逼法，取整数部分 概念辨析例题：估计 的整数部分 答案：3 解析：32=9<13<16=42，故 3<<4，整数部分为 3 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 实数分类 有理数 ∪ 无理数 数轴上连续 平方根 ± 正数两、零一个 算术平方根 （非负） 双重非负 立方根 ³ 任意实数 非负性 ≥0，(a)2≥0，|a|≥0 和为 0 各项为 0 估算 夹逼法 相邻整数判断 ⚠️ 核心考点 【考点1】无理数与实数概念（第1-7题） · 无理数与有理数的本质区别 · 实数分类与数轴对应 · 常见说法逐条辨析 1．（25-26八年级上·上海·期末）下列数中，、、、、，无理数的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24七年级上·上海·期末）在实数，，3.14，，，，，，0.10100100…（每两个1之间0的个数逐次增加一个）中，无理数的个数为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）下列实数中：3.1416，，，，0，，，（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个），无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．无理数包括正无理数、零和负无理数 B．无理数与有理数的乘积是无理数 C．如果是实数，那么没有平方根 D．实数可以用数轴上唯一的一个点来表示 5．（2024·上海嘉定·二模）下列实数中．属于有理数的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列各数、、、、、0.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0）中，是无理数的有__________个． 7．（2023七年级上·浙江宁波·竞赛）如图1，由五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形． (1)拼成的正方形的面积与边长分别是多少？ (2)你能在图2的3×3方格图中，连结四个点组成面积为5的正方形吗？若能，求出它的边长；若不能，请说明理由． (3)你能把由十个边长为1的小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，在图3中用虚线画出来，并求出它的边长和面积；若不能，请说明理由． 【考点2】平方根与算术平方根（第8-17题） · 平方根、算术平方根、立方根求法 · 互为相反数的平方根列方程 · 开方运算注意符号 8．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·河南·阶段检测）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（    ） 　 A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）若，则的算术平方根为_____________． 11．（25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为____________________． 12．（21-22七年级下·上海·期末）有两个连续的自然数，若其中较小的自然数的平方根是，则其中较大的自然数的算术平方根是___________． 13．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是_________． 14．（23-24八年级下·贵州遵义·开学考试）已知，则_____． 15．（25-26七年级下·内蒙古通辽·阶段检测）已知一个正数m的两个平方根分别是与． (1)求a的值； (2)求的平方根； 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个正数m的两个平方根分别是和． (1)求m和n的值 (2)求的平方根． 17．（24-25七年级下·海南三亚·阶段检测）先填写表，通过观察后再回答问题． (1)表格中______，______． (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______． 【考点3】立方根（第18-24题） · 立方根唯一、负数开立方为负 · 已知立方根求原数 · 立方根与立方互逆 18．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）若，则与的数量关系是：_______． 19．（25-26八年级上·上海长宁·期中）若，，则b的值为________． 20．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如果x，y满足，那么的立方根是______． 21．（23-24七年级下·上海·期末）计算： 22．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 23．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为，m是的整数部分， (1)求x和y的值； (2)求的平方根． 24．（24-25七年级下·山东德州·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【考点4】利用算术平方根的非负性解题（第25-29题） · 非负、被开方数非负 · 非负式之和为 0 · 含参方程求解 25．（专题02代数方程（考题猜想，常考易错6个考点40题专练）-2023-2024学年八年级数学下学期期中考点大串讲（沪教版））下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段检测）如果，那么代数式的值是（    ） A． B．2023 C． D．1 27．（24-25九年级下·上海·阶段检测）已知，则____． 28．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段检测）如果和互为相反数，那么的立方根是___________． 29．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）若，则以、为边的等腰三角形的周长为______. 【考点5】科学记数法与近似数（第30-34题） · 科学记数法规范 a×10n · 大于 1 正指数、小于 1 负指数 · 近似数精确度 30．（23-24七年级下·河北唐山·期末）计算，结果用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24七年级上·上海·阶段检测）用科学记数法表示：_________． 32．（25-26八年级上·上海·期中）已知某植物表皮细胞的直径约为 米，一个水分子的直径约为 米，用科学记数法表示水分子的直径是这种植物表皮细胞的直径的_____倍． 33．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）根据实验数据，钢轨温度每变化1℃，每一米钢轨就伸缩约．如果一年中气温相差，那么长的铁路最多可伸缩__________．（用科学记数法表示） 34．（25-26六年级上·上海·开学考试）经调查发现，六（1）班同学上、下学的出行方式有：家长开车接送、乘坐公交车、步行． (1)哪种出行方式最环保？ (2)琪琪每天由家长开车接送（一个往返），已知琪琪家汽车行驶的平均速度是40千米/时，单程用时15分钟，这辆汽车每千米排放160克二氧化碳． ①琪琪家离学校有多远？ ②琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放多少千克二氧化碳？ (3)一棵树每天大约吸收二氧化碳5000克，琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放出的二氧化碳至少需要几棵树才能在一天内吸收完？ 【考点6】实数与数轴、绝对值化简（第35-40题） · 数轴距离公式 |a-b| · 判断符号去绝对值 · 中点、折叠等综合 35．（2026·河北沧州·中考真题）数轴上点、点表示数如图所示，且点与点关于点成中心对称，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 36．（25-26八年级上·上海·期中）实数在数轴上位置如图，的化简结果为（　　） A． B． C． D． 37．（25-26八年级上·全国·阶段检测） 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们首尾相连能摆成三角形的是（    ） A．，5，7 B．3，4，8 C．1，， D．5，5，10 38．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（     ） A． B． C． D． 39．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）正方形和正方形在数轴上位置如图①所示，其中A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足；点E、F在正半轴上，在数轴上表示的数分别为m、n，且m是64的算术平方根，． (1) _____， _____，线段的长为____； (2)若正方形以6个单位/秒的速度水平向右匀速运动，正方形以2个单位/秒的速度水平向左匀速运动．两者同时出发，设运动时间为t． ①如图2，当正方形在正方形内部（即重叠部分面积等于正方形面积）时，求t的取值范围； ②当正方形运动到点E在正方形的左侧某位置时，，求此时t的值． 40．（24-25七年级下·广西南宁·阶段检测）阅读材料，完成任务． 【考点7】无理数的估算与整数部分（第41-49题） · 夹逼法估整数部分 · 小数部分 = 原数 - 整数部分 · 运算中整体代换 41．（18-19八年级上·广东湛江·周测）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（    ） A．3 B．4 C． D． 42．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 43．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形（正方形和正方形），已知：，，，则大正方形的边长为______． 44．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）如图是第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案，它包含着丰富的数学元素，展现我国古代数学的文化魅力，在其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．而八进制数3745转换成十进制数的计算方式为：，十进制数2021表示的举办年份，而十进制数2024正好是你进入初中的年份，请将十进制数2024换算成八进制数是______，数学组设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，则的值是______． 45．（24-25八年级下·浙江金华·期中）已知是关于的完全平方式，则常数___________． 46．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）已知，比较、、的大小并用“”连接：______． 47．（23-24九年级下·四川成都·阶段检测）估计值的整数部分是：______． 48．（22-23七年级下·四川凉山·期末）阅读下面的文字，解答问题:大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而于是可用来表示的小数部分．请解答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知：，其中是整数，且，求的算术平方根． 49．（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的相反数、倒数和绝对值． (1)； (2)； (3)． 【考点8】实数的实际应用（第50-52题） · 实际问题转化为根式运算 · 注意单位与结果合理性 · 检验符合实际 50．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 51．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 52．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）灵宝剪纸是河南省灵宝市的传统美术，国家级非物质文化遗产之一，历史悠久，在长期发展过程中形成了粗犷、质朴、率真、浑厚的艺术特色．现有一张长方形的彩纸，彩纸的长与宽的比为，彩纸面积为216平方厘米． (1)求出长方形彩纸的周长． (2)小明想利用这张彩纸剪出一张面积为平方厘米的完整圆形纸片，他能剪出想要的圆形纸片吗？请说明理由． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念题逐条辨析，注意特例 · 根式运算先化简再计算 · 非负式之和为 0 直接列方程 · 数轴化简先判符号再取绝对值 · 估算用夹逼法，记住常见平方数 【作业1】．（23-24七年级下·上海虹口·期中）下列实数中，无理数是（      ） A． B．1414 C． D．0 【作业2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．任何数都有平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．任何实数不是正实数就是负实数 D．实数与数轴上的点一一对应 【作业3】．（25-26八年级上·上海·期中）两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26八年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．有限小数一定是有理数 B．无限小数一定是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数两类 D．数轴上的所有点都对应有理数 【作业5】．（25-26八年级上·上海·期中）下列语句中，说法正确的个数是（     ） ① 4 的平方根是； ② 0 的平方根和立方根都是 0 ； ③的平方根是； ④倒数是它本身的数是1 A．1 B．2 C．3 D．4 【作业6】．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）已知实数a，b，c所对应的点在数轴上的位置如图所示． 化简：______． 【作业7】．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为___________． 【作业8】．（2024·广东·模拟预测）已知，为实数，且满足 ，则_____，______． 【作业9】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知；；； 根据上述式子猜想规律，并求出____________（n为正整数，结果用含有n的式子表示） 【作业10】．（24-25七年级下·广东肇庆·阶段检测）若，则_____． 【作业11】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知与互为相反数，其中x、y是实数，则________． 【作业12】．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知：和是正数M的平方根，的立方根为，则的算术平方根__________． 【作业13】．（25-26八年级上·重庆渝北·开学考试）已知分别是的整数部分和小数部分，则______． 【作业14】．（25-26八年级上·上海虹口·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)正方形的边长的长在两个连续整数________和________之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，点在数轴上表示的数是_______； (3)在（2）的基础上以数2对应的点为折叠点，将数轴向右对折，则点与数______对应的点重合． 【作业15】．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段检测）我们用表示不大于的最大整数．的值称为数的小数部分，如，的小数部分为． (1)＝ ，＝ ； (2)设的小数部分为a，则＝ ； (3)已知：，其中是整数，且，求的值的相反数． 【作业16】．（24-25七年级下·福建福州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【作业17】．（24-25七年级下·陕西安康·阶段检测）小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【作业18】．（24-25八年级上·全国·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 ___________， 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则___________； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19章·实数·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 深入理解无理数与实数概念，正确判断说法的正误 · 掌握平方根、算术平方根、立方根的运算与规律探索 · 能利用算术平方根的非负性解决含参问题 · 会结合数轴化简绝对值与实数的混合问题 · 能进行无理数估算、比较大小及实际应用 📚 知识梳理 ☆ 1.无理数与实数概念 无理数、有理数概念的深入辨析 实数的分类与数轴上的表示 常见说法正误判断 概念辨析例题：下列说法正确的是（　　）A．无理数都是开方开不尽的数　B．无限小数都是无理数　C．有理数与无理数统称实数 答案：C 解析：无理数不一定是开方开不尽的数（如 π）；无限循环小数是有理数；实数包括有理数和无理数 ☆ 2.平方根、算术平方根与立方根 平方根、算术平方根、立方根的求法与性质 已知平方根/立方根求原数 开方与规律的探索题 概念辨析例题：若一个正数 m 的两个平方根分别为 2a-7 和 a+4，求 m 答案：m=9 解析：两个平方根互为相反数：2a-7+a+4=0，得 a=1，平方根为 -3、3，m=9 ☆ 3.算术平方根的非负性 ≥0 且 a≥0 的利用 非负式之和为 0 ⇒ 各项为 0 含参求值、解方程 概念辨析例题：若 +(b+1)2=0，求 a+b 答案：1 解析：≥0，(b+1)2≥0，和为 0 则 a-2=0、b+1=0，a=2、b=-1，a+b=1 ☆ 4.实数与数轴、估算 数轴上表示实数，用距离关系化简 绝对值化简：先判符号 无理数估算：夹逼法，取整数部分 概念辨析例题：估计 的整数部分 答案：3 解析：32=9<13<16=42，故 3<<4，整数部分为 3 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 实数分类 有理数 ∪ 无理数 数轴上连续 平方根 ± 正数两、零一个 算术平方根 （非负） 双重非负 立方根 ³ 任意实数 非负性 ≥0，(a)2≥0，|a|≥0 和为 0 各项为 0 估算 夹逼法 相邻整数判断 ⚠️ 核心考点 【考点1】无理数与实数概念（第1-7题） · 无理数与有理数的本质区别 · 实数分类与数轴对应 · 常见说法逐条辨析 1．（25-26八年级上·上海·期末）下列数中，、、、、，无理数的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】有理数的分类、求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查无理数的识别，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环小数．据此逐个判断每个数即可．也考查了有理数及算术平方根． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是无理数； 是有限小数，是有理数； 是无理数； 是整数，属于有理数； ∴ 无理数有个． 故选：B． 2．（23-24七年级上·上海·期末）在实数，，3.14，，，，，，0.10100100…（每两个1之间0的个数逐次增加一个）中，无理数的个数为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】无理数 【分析】本题考查无理数． 根据无理数的定义，找出题中所有的无理数，即可得无理数的个数． 【详解】解：是有理数，是有理数，3.14，是分数，属于有理数， 无理数有：，，，，0.10100100…（每两个1之间0的个数逐次增加一个）， ∴无理数的个数为． 故选：C． 3．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）下列实数中：3.1416，，，，0，，，（它的位数无限，且相邻两个“3”之间的“1”依次增加1个），无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】解：题中给出的数，属于无理数的有：，，， ∴无理数的个数为：3个， 故选：B． 4．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．无理数包括正无理数、零和负无理数 B．无理数与有理数的乘积是无理数 C．如果是实数，那么没有平方根 D．实数可以用数轴上唯一的一个点来表示 【答案】D 【知识点】无理数、实数与数轴 【分析】本题主要考查了无理数的定义，实数与数轴上的点一一对应，熟练掌握其概念是做题的关键．根据无理数的定义，实数的概念逐项判断即可． 【详解】解：A.无理数包括正无理数、负无理数，而是有理数，故不符合题意； B.无理数与有理数的乘积不一定是无理数，例如：，而是有理数，故不符合题意； C.当时，，而的平方根是，故不符合题意； D. 所有实数都可以用数轴上唯一的点表示，是实数，故符合题意． 故选：D． 5．（2024·上海嘉定·二模）下列实数中．属于有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数的定义、无理数 【分析】根据整数和分数统称有理数，计算判断即可． 本题考查了有理数，无理数的区别，熟练掌握概念是解题的关键． 【详解】A. 是有理数，符合题意；     B. 是无理数，不符合题意；     C. 是无理数，不符合题意；     D. 是无理数，不符合题意； 故选A． 6．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列各数、、、、、0.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0）中，是无理数的有__________个． 【答案】3 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，逐一判断各数即可． 【详解】解：是无理数；是有限小数，是有理数；是分数，是有理数；是循环小数，是有理数；是无理数；是无限不循环小数，是无理数． 因此无理数有3个． 故答案为：3． 7．（2023七年级上·浙江宁波·竞赛）如图1，由五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形． (1)拼成的正方形的面积与边长分别是多少？ (2)你能在图2的3×3方格图中，连结四个点组成面积为5的正方形吗？若能，求出它的边长；若不能，请说明理由． (3)你能把由十个边长为1的小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，在图3中用虚线画出来，并求出它的边长和面积；若不能，请说明理由． 【答案】(1)拼成的正方形的面积为5，边长为 (2)边长为 (3)面积为10，边长为 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查了图形的剪拼以及算术平方根的应用，正确利用算术得出边长是解题关键． （1）根据五个边长为1的小正方形组成的图形直接得出图形面积和边长即可； （2）利用勾股定理直接得出即可； （3）仿照图1的做法得出边长和面积即可． 【详解】（1）解：5个小正方形拼成一个大正方形后，面积不变，所以拼成的正方形的面积是：， 边长； （2）解：如图所示；边长为； （3）解：能，如图所示：边长为：． 【考点2】平方根与算术平方根（第8-17题） · 平方根、算术平方根、立方根求法 · 互为相反数的平方根列方程 · 开方运算注意符号 8．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】绝对值非负性、平方根概念理解、求一个数的平方根 【分析】本题考查算术平方根与绝对值的非负性，求一个数的平方根． 根据算术平方根与绝对值的非负性求出a、b的值，进而即可解答． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 故选：B 9．（25-26八年级上·河南·阶段检测）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（    ） 　 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、程序设计与实数运算 【分析】本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键． 将输入，按照流程图计算，直至求出是无理数，输出即可． 【详解】解：当，则，是有理数； 则当，则，是有理数； 则当，则，是无理数，直接输出， ∴当输入为时，输出的值是， 故选：B． 10．（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）若，则的算术平方根为_____________． 【答案】5 【知识点】求一个数的算术平方根、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，算术平方根的定义，根据二次根式有意义的条件列不等式组求解，确定x和y的值，然后代入求值，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：， ∴， ∴， ∴的算术平方根是5． 故答案为：5． 11．（25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为____________________． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则． 根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，分别列方程求解即可． 【详解】解：分三种情况：①当时，，解得（舍去）； ②当时，，解得（舍去）； ③当时，，解得； 综上所述，的值为． 故答案为：。 12．（21-22七年级下·上海·期末）有两个连续的自然数，若其中较小的自然数的平方根是，则其中较大的自然数的算术平方根是___________． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】根据平方根的定义得到较小自然数，再利用连续自然数的性质得到较大自然数，最后求出较大自然数的算术平方根． 【详解】解：∵较小的自然数的平方根是， ∴较小的自然数为， ∵两个数是连续的自然数， ∴较大的自然数为， ∴较大的自然数的算术平方根是． 13．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是_________． 【答案】2 【知识点】求一个数的算术平方根、估计算术平方根的取值范围 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及算术平方根的估算，掌握算术平方根的估算方法是解本题的关键． 首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 则， 所以其面积， ， ， ， ∵面积介于整数和之间， 的值为2． 故答案为：2． 14．（23-24八年级下·贵州遵义·开学考试）已知，则_____． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、通过对完全平方公式变形求值、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值．利用完全平方公式求得，再利用完全平方公式求得，再利用平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴，整理得， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26七年级下·内蒙古通辽·阶段检测）已知一个正数m的两个平方根分别是与． (1)求a的值； (2)求的平方根； 【答案】(1) (2) 【知识点】平方根概念理解、求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】（1）根据平方根的意义列方程计算即可； （2）求出m的值，将a、m的值代入求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：由已知可得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴19的平方根为． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个正数m的两个平方根分别是和． (1)求m和n的值 (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根，记作．正数有两个不同的平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． （1）根据平方根的定义求出n的值，进而求出m的值即可； （2）求出的值，进而根据平方根的定义作答即可． 【详解】（1）由题意可得，， 解得， 所以， 则； （2） 则的平方根为． 17．（24-25七年级下·海南三亚·阶段检测）先填写表，通过观察后再回答问题． (1)表格中______，______． (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______． 【答案】(1)，； (2)①；②； 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用． （1）填写表格，通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，①从到被开方数扩大到原来倍，结果扩大到原来倍，即可得到答案；②根据题意可得：，可得到，进而得到答案． 【详解】（1）解：根据表格可得：∵，， ∴； ∵，， ， 故答案为：；． （2）解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍， ∴从到被开方数扩大到原来倍， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴． 【考点3】立方根（第18-24题） · 立方根唯一、负数开立方为负 · 已知立方根求原数 · 立方根与立方互逆 18．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）若，则与的数量关系是：_______． 【答案】 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了立方根的应用，可得 ，即可求解；会用立方根进行求解是解题的关键． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 19．（25-26八年级上·上海长宁·期中）若，，则b的值为________． 【答案】1000000 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键． 根据立方根的性质，由可得，由可得，然后通过代数运算求b的值． 【详解】解：， ． ， ． ． ． 故答案为：1000000． 20．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如果x，y满足，那么的立方根是______． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、因式分解的应用 【分析】本题考查完全平方公式，求一个数的立方根，将等式的左边化为两个完全平方的和的形式，利用非负性求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为： 21．（23-24七年级下·上海·期末）计算： 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】先计算立方根、算术平方根、负整数指数幂、零指数幂，再进行加减运算即可求解． 【详解】解： ． 22．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【知识点】求一个数的立方根、实数与数轴、实数运算的实际应用 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 23．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为，m是的整数部分， (1)求x和y的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查平方根与立方根的应用和以及无理数的估算，熟练掌握平方根和立方根的意义是解题的关键， （1）分别根据平方根的意义和立方根的运算即可得到答案； （2）先通过估算得到的值，再代入求得的值，从而求得答案． 【详解】（1）解：由题意知和互为相反数， ， 解得：， 的立方根为， ， 解得：； （2）解：， ， 的整数部分， ， 的平方根为． 24．（24-25七年级下·山东德州·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【答案】(1) (2)为任意实数 (3)或 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 【考点4】利用算术平方根的非负性解题（第25-29题） · 非负、被开方数非负 · 非负式之和为 0 · 含参方程求解 25．（专题02代数方程（考题猜想，常考易错6个考点40题专练）-2023-2024学年八年级数学下学期期中考点大串讲（沪教版））下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了任何数的偶次方，以及算术平方根一定是非负数，解分式方程，理解非负数的性质是关键． 根据任何数的偶次方，以及算术平方根一定是非负数即可判断式子中的等号是否成立，即方程是否有实数解． 【详解】解：A、，故，则方程一定没有实数解，排除A； B、两边同时乘以得：，解得：，故选B； C、，则一定成立，排除C； D、，排除D． 故选：B． 26．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段检测）如果，那么代数式的值是（    ） A． B．2023 C． D．1 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算、实数的性质 【分析】根据得到，求得，代入计算即可． 【详解】∵, ∴, ∴, ∴, 故选C． 【点睛】本题考查了实数的非负性，幂的运算，熟练掌握实数的非负性是解题的关键． 27．（24-25九年级下·上海·阶段检测）已知，则____． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性即解一元一次不等式组，根据算术平方根的非负性得出，求出，再由，，即可解答． 【详解】解：根据题意：， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 28．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段检测）如果和互为相反数，那么的立方根是___________． 【答案】2 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的立方根、实数的性质 【分析】本题考查实数的性质，算术平方根的非负性，求一个数的立方根，根据互为相反数的两个数和为0，结合算术平方根的非负性求出的值，进而求出的立方根即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为：2． 29．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）若，则以、为边的等腰三角形的周长为______. 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用非负数的性质可得，，即得，，得到以为边的等腰三角形的三边可能为或，再根据三角形的三边关系解答即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴以为边的等腰三角形的三边可能为或， 当三边为时，，三角形不存在； 当三边为时，符合三角形的三边关系，此时等腰三角形的周长为； 故答案为：． 【考点5】科学记数法与近似数（第30-34题） · 科学记数法规范 a×10n · 大于 1 正指数、小于 1 负指数 · 近似数精确度 30．（23-24七年级下·河北唐山·期末）计算，结果用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数乘法运算律、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的运算．通过提取公因数简化计算后，将结果调整为标准的科学记数法形式． 【详解】解： ， 因此，结果为，故C正确． 故选：C． 31．（23-24七年级上·上海·阶段检测）用科学记数法表示：_________． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、用科学记数法表示数的乘法、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】先利用积的乘方、幂的乘方运算法则分别计算两个乘方，再利用同底数幂的乘法法则计算乘积，最后整理为标准的科学记数法形式即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 32．（25-26八年级上·上海·期中）已知某植物表皮细胞的直径约为 米，一个水分子的直径约为 米，用科学记数法表示水分子的直径是这种植物表皮细胞的直径的_____倍． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算、用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法，同底数幂的除法；用水分子的直径除以植物表皮细胞的直径，得到倍数，再根据科学记数法的要求表示结果． 【详解】解： ； 故答案为：． 33．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）根据实验数据，钢轨温度每变化1℃，每一米钢轨就伸缩约．如果一年中气温相差，那么长的铁路最多可伸缩__________．（用科学记数法表示） 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法，根据题意，钢轨的伸缩量与温度变化和钢轨长度成正比，因此总伸缩量等于每度每米伸缩量、温度变化和钢轨长度的乘积，即可求解． 【详解】解：总伸缩量， 故答案为：． 34．（25-26六年级上·上海·开学考试）经调查发现，六（1）班同学上、下学的出行方式有：家长开车接送、乘坐公交车、步行． (1)哪种出行方式最环保？ (2)琪琪每天由家长开车接送（一个往返），已知琪琪家汽车行驶的平均速度是40千米/时，单程用时15分钟，这辆汽车每千米排放160克二氧化碳． ①琪琪家离学校有多远？ ②琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放多少千克二氧化碳？ (3)一棵树每天大约吸收二氧化碳5000克，琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放出的二氧化碳至少需要几棵树才能在一天内吸收完？ 【答案】(1)步行 (2)①10千米；②16千克 (3)4棵 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、求一个数的近似数、求近似数的精确度 【分析】（1）结合三种出行方式的碳排放特点，直接判断最环保的出行方式． （2）①先将单程用时的时间单位统一为小时，因为路程=速度×时间，所以代入平均速度和单程时间即可计算出单程距离．②先计算单日往返的总路程，再结合每千米二氧化碳排放量算出单日排放量，因为一周有5天，所以乘以5得到一周总排放量，再进行单位换算得到以千克为单位的结果． （3）因为需要的树的数量=一周排放的二氧化碳总质量÷一棵树一天吸收的二氧化碳质量，所以代入对应数值，结果根据实际情况取整即可． 【详解】（1）解：步行不产生尾气排放，能源消耗为零，因此步行最环保． （2）①15分钟小时 , （千米） 答：琪琪家离学校10千米． ②（克）千克 答：琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放16千克二氧化碳． （3）（棵） 答：琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放出的二氧化碳至少需要4棵树才能在一天内吸收完． 【点睛】 【考点6】实数与数轴、绝对值化简（第35-40题） · 数轴距离公式 |a-b| · 判断符号去绝对值 · 中点、折叠等综合 35．（2026·河北沧州·中考真题）数轴上点、点表示数如图所示，且点与点关于点成中心对称，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与数轴、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题主要考查实数与数轴的对应关系和中心对称的性质，先根据点与点关于点成中心对称，得到，再由数轴上两点之间距离公式求解即可． 【详解】解：∵点与点关于点成中心对称， ∴， ∴点表示的数是， 故选：B． 36．（25-26八年级上·上海·期中）实数在数轴上位置如图，的化简结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、实数与数轴、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握． 先根据数轴得到，则，然后利用二次根式的性质将原式化简为，再化简绝对值，进行合并即可． 【详解】解：由数轴可得，则 ， 故选：B． 37．（25-26八年级上·全国·阶段检测） 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们首尾相连能摆成三角形的是（    ） A．，5，7 B．3，4，8 C．1，， D．5，5，10 【答案】C 【知识点】实数的大小比较、构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形的三边关系，实数的大小比较，熟练掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 若两条较短木棒的长度之和大于最长的木棒的长度，则三根木棒可摆成三角形；否则不能摆成三角形 ，据此分析各项即得． 【详解】解：A、，不能摆成三角形，故不符合题意； B、，不能摆成三角形，故不符合题意； C、，能摆成三角形，故符合题意； D、，不能摆成三角形，故不符合题意； 故选：C． 38．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、线段中点的有关计算 【分析】先求出，再根据中点的定义求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵数轴上表示2，的点分别为点C，点B， ∴， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴点A表示的数为． 39．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）正方形和正方形在数轴上位置如图①所示，其中A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足；点E、F在正半轴上，在数轴上表示的数分别为m、n，且m是64的算术平方根，． (1) _____， _____，线段的长为____； (2)若正方形以6个单位/秒的速度水平向右匀速运动，正方形以2个单位/秒的速度水平向左匀速运动．两者同时出发，设运动时间为t． ①如图2，当正方形在正方形内部（即重叠部分面积等于正方形面积）时，求t的取值范围； ②当正方形运动到点E在正方形的左侧某位置时，，求此时t的值． 【答案】(1)，， (2)①；② 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性、实数与数轴 【分析】本题考查了绝对值的非负性，实数与数轴，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是正确用t的代数式表示各点． （1）根据绝对值和平方式的非负性求解即可； （2）①先用t的代数式表示运动后点的所对应的数，再找出两个临界位置求出t值，即可求解取值范围； ②由面积关系得到，再用t的代数式表示，然后建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵m是64的算术平方根， ∴，， ， 故答案为：，，； （2）解：①当点B与F重合时，则， 解得； 当点与点重合时，则， 解得， ∴t的取值范围为； ②∵， ∴， ∴， ∴ 解得． 40．（24-25七年级下·广西南宁·阶段检测）阅读材料，完成任务． 【答案】（1）   （2），   （3）， 在数轴上表示为点，如图所示： 【知识点】绝对值的其他应用、求一个数的算术平方根、实数与数轴 【分析】本题考查了图形的变换、无理数、实数与数轴、绝对值化简、熟练掌握无理数的数轴上表示是关键． （1）根据正方形的面积，求出表示的数即可； （2）根据点在数轴上的位置，直接写出点和点表示的数即可； （3）根据的值代入所求代数式化简后，在数轴上表示出来即可． 【详解】解：（1）材料一中，， ∴，（负值舍去） 故答案为：； （2）根据点在数轴上的位置及范例计算方法可得：点表示的数是，表示的数是 ， 故答案为：，； （3）由（1）可知， ∴，， 【考点7】无理数的估算与整数部分（第41-49题） · 夹逼法估整数部分 · 小数部分 = 原数 - 整数部分 · 运算中整体代换 41．（18-19八年级上·广东湛江·周测）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，关键是利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．的被开方数是13，可以找到最接近13的两个完全平方数，来确定的整数部分，再用减去整数部分就得到小数部分，然后根据题意计算代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴． 故选B． 42．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】本题考查算术平方根的估算．求出石雕的边长是解题的关键． 由于正方形的面积等于边长的平方，故边长等于面积的算术平方根，据此先求出正方形墙面的边长，进而利用割补法算出石雕的面积，再根据算术平方根求出石雕的边长，最后利用估算无理数大小的方法估算出石雕边长的取值范围即可． 【详解】解：∵正方形墙的面积为， ∴正方形墙的边长为， ∵石雕的四个角分别在墙的四边的中点， ∴石雕的面积为； ∴石雕的边长为， ∵， ∴， ∴石雕边长的整数部分为2． 故答案为：B． 43．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形（正方形和正方形），已知：，，，则大正方形的边长为______． 【答案】/ 【知识点】算术平方根的实际应用、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了算术平方根的应用，平方差、完全平方公式，设大正方形的边长为，则有，，然后通过，则，所以，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设大正方形的边长为， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴或（舍去）， ∴大正方形的边长为， 故答案为：． 44．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）如图是第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案，它包含着丰富的数学元素，展现我国古代数学的文化魅力，在其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．而八进制数3745转换成十进制数的计算方式为：，十进制数2021表示的举办年份，而十进制数2024正好是你进入初中的年份，请将十进制数2024换算成八进制数是______，数学组设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，则的值是______． 【答案】 3750 9 【知识点】含乘方的有理数混合运算、利用平方根解方程 【分析】本题考查了有理数的运算以及利用平方根解方程等知识，根据题意列出关于n的方程是解答本题的关键． 根据十进制换算成八进制的方法即可作答；根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的方程，解方程即可求解． 【详解】解：因为8的4次方就是4096，3次方是512， 所以2024写成8进制就是4位数，且首位是3，其值为3乘以8的3次方， 然后剩下， 而， ， 十进制数2024换算成八进制数是3750 根据题意有：， 整理得：， 解得，（负值舍去）， 故n的值为9． 故答案为：3750，9． 45．（24-25八年级下·浙江金华·期中）已知是关于的完全平方式，则常数___________． 【答案】1 【知识点】利用平方根解方程、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方式及解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断得出，然后解方程即可得出结果． 【详解】解：∵是关于的完全平方式， ∴， 整理得：， 解得：， 故答案为：1． 46．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）已知，比较、、的大小并用“”连接：______． 【答案】 【知识点】实数的大小比较、异分母分式加减法 【分析】根据已知的范围，利用求差法比较三个代数式的大小即可得到结果． 【详解】解：， ∵， ∴，， ∴，即； ， ∵， ∴，，， ∴，即， ∴． 47．（23-24九年级下·四川成都·阶段检测）估计值的整数部分是：______． 【答案】4 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】根据，得到的整数部分为2，从而得到的整数部分为4，解答即可．本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴的整数部分为4， 故答案为：4． 48．（22-23七年级下·四川凉山·期末）阅读下面的文字，解答问题:大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而于是可用来表示的小数部分．请解答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知：，其中是整数，且，求的算术平方根． 【答案】(1)4， (2)1 (3) 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能够熟练运用夹逼法是解题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出、的范围，求出a、b的值，再代入求解即可； （3）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴的整数部分是4，小数部分是：， 故答案为：4，； （2）， ， ∴的小数部分为：， ， ∴， ∴的整数部分为： ∴＝ ∴的值为1； （3）解： ， ∴， ∴， 又∵，其中是整数，且， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 49．（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的相反数、倒数和绝对值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，， (2)，， (3)，， 【知识点】实数的性质 【分析】（1）（2）直接利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出答案； （3）利用立方根的定义化简，再利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出答案． 本题考查了实数的相反数、倒数的定义和绝对值的非负性，解题关键在于掌握各性质和定义． 【详解】（1）的相反数是，倒数是，绝对值是； （2）的相反数是，倒数是，绝对值是； （3）的相反数是，倒数是，绝对值是． 【考点8】实数的实际应用（第50-52题） · 实际问题转化为根式运算 · 注意单位与结果合理性 · 检验符合实际 50．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 【答案】(1)长方体的长为，宽为，高为； (2)这个纸盒的体积是； (3)这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 【知识点】算术平方根的实际应用、实数的大小比较、实数运算的实际应用 【分析】本题主要考查的是算术平方根的实际应用，无理数大小的比较． （1）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的底面积等于长宽列方程求得答案即可； （2）利用长方体的体积公式计算求得答案即可； （3）先求得底面对角的线，再求得长方体的对角线的长，与比较即可得解． 【详解】（1）解：设长方体的高为，则长为，宽为， 由题意得：， 解得：，则， ∴长方体的长为，宽为，高为； （2）解：这个纸盒的体积是； （3）解：， 底面对角线的长为， 长方体的对角线的长为， ∴这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 51．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 【答案】(1) (2) 【知识点】平方根的应用、立方根的实际应用 【分析】本题考查算术平方根，立方根的应用， （1）根据长方体体积的计算公式“长方体的体积底面积高”列方程求解即可； （2）根据“正方体体积的计算方法以及个小正方体体积与总体积之间的关系”列方程求解即可； 理解算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键． 【详解】（1）解：设长方体底面正方形的边长为， 依题意，得：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， 答：长方体底面正方形的边长为； （2）解：设每一个小正方体铁块的棱长为， 依题意，得：， 解得：， 答：每一个小正方体铁块的棱长为． 52．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）灵宝剪纸是河南省灵宝市的传统美术，国家级非物质文化遗产之一，历史悠久，在长期发展过程中形成了粗犷、质朴、率真、浑厚的艺术特色．现有一张长方形的彩纸，彩纸的长与宽的比为，彩纸面积为216平方厘米． (1)求出长方形彩纸的周长． (2)小明想利用这张彩纸剪出一张面积为平方厘米的完整圆形纸片，他能剪出想要的圆形纸片吗？请说明理由． 【答案】(1)厘米 (2) 解：不能剪出想要的圆形纸片，理由如下： 设圆的半径为厘米， 则， 则， ∵ ∴直径大于厘米，此时直径大于长方形的宽， ∴不能剪出想要的圆形纸片． 【知识点】算术平方根的实际应用、无理数的大小估算 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算等知识点． （1）由题意设长方形彩纸的长为，宽为，根据长方形面积公式列方程，然后根据平方根的性质解方程求出，再求出长和宽即可求解周长； （2）设圆的半径为，则，利用平方根的性质解方程求出半径，在求出直径与长方形的宽比较即可． 【详解】（1）解：由题意设长方形彩纸的长为厘米，宽为厘米， 则， 解得：或（舍）， ∴长为（厘米），宽为（厘米）， ∴周长为：（厘米） （2）略 💯 课后巩固 复习建议 · 概念题逐条辨析，注意特例 · 根式运算先化简再计算 · 非负式之和为 0 直接列方程 · 数轴化简先判符号再取绝对值 · 估算用夹逼法，记住常见平方数 【作业1】．（23-24七年级下·上海虹口·期中）下列实数中，无理数是（      ） A． B．1414 C． D．0 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】解：A、，是有理数，故选项不符合题意； B、1414是有理数，故选项不符合题意； C、是无理数，故选项符合题意； D、0是有理数，故选项不符合题意； 故选：C． 【作业2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．任何数都有平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．任何实数不是正实数就是负实数 D．实数与数轴上的点一一对应 【答案】D 【知识点】平方根概念理解、无理数、实数与数轴、实数的分类 【分析】根据平方根，无理数，实数与数轴的关系，解答即可. 本题考查实数的基本概念，包括平方根、无理数的性质、实数的分类以及实数与数轴的关系. 【详解】解：∵ 负数没有平方根， ∴ A错误； ∵两个无理数的和不一定是无理数，如， ∴ B错误； ∵ 0是实数，但既不是正实数也不是负实数， ∴ C错误； ∵ 实数与数轴上的点一一对应， ∴ D正确， 故选：D. 【作业3】．（25-26八年级上·上海·期中）两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义，较小的数等于的平方，则较大的数是较小数加，再求算术平方根即可． 【详解】解：设较小的正整数为， 的算术平方根是， 则， 较大的正整数为：， 较大的数的算术平方根为：． 故选A． 【作业4】．（25-26八年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．有限小数一定是有理数 B．无限小数一定是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数两类 D．数轴上的所有点都对应有理数 【答案】A 【知识点】实数与数轴、实数的分类 【分析】本题考查的是实数的分类．根据实数的分类对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、有限小数一定是有理数，故本选项说法正确，符合题意； B、无限不循环小数一定是无理数，原说法错误，故本选项不符合题意； C、实数可以分为正实数和负实数和0，原说法错误，故本选项不符合题意； D、数轴上的所有点都对应实数，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 【作业5】．（25-26八年级上·上海·期中）下列语句中，说法正确的个数是（     ） ① 4 的平方根是； ② 0 的平方根和立方根都是 0 ； ③的平方根是； ④倒数是它本身的数是1 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】倒数、求一个数的平方根、立方根概念理解 【分析】本题考查平方根、立方根和倒数的概念．逐个判断每个语句的正确性即可．注意正数的平方根有正负两个值，0的平方根和立方根都是0，倒数是它本身的数有1和． 【详解】解：① ∵，∴ 4的平方根是，正确． ② ∵，，∴ 0的平方根和立方根都是0，正确． ③ ∵，∴，∴， ∵ 9的平方根是，∴ 不是，错误． ④ 设倒数是它本身的数为x，则，化简得 ，解得，∴ 不仅是1，还有，错误． ∴ 正确的语句是①和②，共2个． 故选：B 【作业6】．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）已知实数a，b，c所对应的点在数轴上的位置如图所示． 化简：______． 【答案】a 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数与数轴 【分析】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，立方根定义，解题关键在于确定a，，，的符号，然后根据二次根式的性质分别去掉根号和绝对值符号． 利用数轴得出，，，，进而化简各式得出答案． 【详解】解：由题中数轴可知，，，，且， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【作业7】．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为___________． 【答案】 【知识点】平方根的应用 【分析】本题主要考查了平方根的应用，解题的关键是看懂阴影部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系．设阴影部分正方形的边长为x，根据阴影部分与空白部分面积相等，由此列式可解． 【详解】解：设阴影部分正方形的边长为x， 由于阴影部分与空白部分面积相等，，则有 ， 即 解得 ， ， ， 则阴影部分正方形的边长为． 故答案为：． 【作业8】．（2024·广东·模拟预测）已知，为实数，且满足 ，则_____，______． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了通过完全平方公式分解因式，偶次幂非负性，算术平方根的非负性，根据完全平方公式，偶次幂非负性，算术平方根的非负性即可求解，掌握知识点的应用是解题关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 【作业9】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知；；； 根据上述式子猜想规律，并求出____________（n为正整数，结果用含有n的式子表示） 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了数字类规律探索，算术平方根，根据已知等式发现一般规律是解题关键．观察已知等式发现，连续奇数的和的平方根等于奇数的个数，则，把原式变形为即可求解． 【详解】解：观察已知等式发现，连续奇数的和的平方根等于奇数的个数， 1个奇数的和：； 2个奇数的和：； 3个奇数的和：； 4个奇数的和： …… 归纳可得：， ∴ 故答案为：． 【作业10】．（24-25七年级下·广东肇庆·阶段检测）若，则_____． 【答案】3 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了平方的非负性和算术平方根的非负性，熟练的掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0，是解题的关键． 根据算术平方根为非负数以及平方为非负数即可解答．几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【作业11】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知与互为相反数，其中x、y是实数，则________． 【答案】或 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查绝对值、算术平方根的非负性，理解算术平方根、绝对值的非负性是正确解答的关键． 根据算术平方根、绝对值的非负性求出x、y的值，再代入计算即可． 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， 解得，， 或， 故答案为：或 【作业12】．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知：和是正数M的平方根，的立方根为，则的算术平方根__________． 【答案】或 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数，平方根的定义，求一个数的算术平方根，根据和是正数M的平方根可得与相等或与互为相反数，据此求出a的值， 再由立方根的定义求出b的值，则可求出的值，最后根据算术平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：当时，则， 当与不相等时， ∵和是正数M的平方根， ∴， ∴； 综上所述，或； ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴或， ∴的算术平方根是或， 故答案为；或． 【作业13】．（25-26八年级上·重庆渝北·开学考试）已知分别是的整数部分和小数部分，则______． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，利用夹逼法可得，即得，得到，，再代入代数式计算即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， 即， ∴， ∵分别是的整数部分和小数部分， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【作业14】．（25-26八年级上·上海虹口·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)正方形的边长的长在两个连续整数________和________之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，点在数轴上表示的数是_______； (3)在（2）的基础上以数2对应的点为折叠点，将数轴向右对折，则点与数______对应的点重合． 【答案】(1)2，3 (2) (3) 【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴、无理数的大小估算、折叠问题 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，无理数的估算，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长，再利用夹逼法即可求出其范围； （2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点D表示的数； （3）设点D与数对应的点重合，根据对折可得，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：， ∵， ∴， ∴的长在2和3之间； 故答案为：2，3； （2）解：把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，则点D在数轴上表示的数为：； 故答案为：； （3）解：设点D与数对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 故答案为：． 【作业15】．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段检测）我们用表示不大于的最大整数．的值称为数的小数部分，如，的小数部分为． (1)＝ ，＝ ； (2)设的小数部分为a，则＝ ； (3)已知：，其中是整数，且，求的值的相反数． 【答案】(1)， (2)0 (3) 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分、无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据平方运算估算出和，进而求解； （3）估算的范围即可得到和，然后根据相反数的意义，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分为：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵，是整数，且， ∴，， ∵， ∴， ∴的相反数为：． 【作业16】．（24-25七年级下·福建福州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) 能；理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ， ， 能够完成新阵法． 【知识点】平方根的应用、无理数的大小估算、实数运算的实际应用 【分析】本题考查了平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． （2）略 【作业17】．（24-25七年级下·陕西安康·阶段检测）小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【答案】(1)长方形信封的长为，宽为 (2) 小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封， 理由：由题意得：面积为的正方形贺卡的边长是， ∵， ∴， ∴信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【知识点】估计算术平方根的取值范围、算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根的应用，以及无理数的估算，利用算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长是解题的关键． （1）先设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 【详解】（1）解：设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， ∴，负值舍去 ∴，， 答：长方形信封的长为，宽为． （2）略 【作业18】．（24-25八年级上·全国·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 ___________， 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则___________； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【知识点】求一个数的算术平方根、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，算术平方根等知识． （1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据整体代入计算即可； （3）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （4）设正方形的边长为正方形的边长为由题意可得，，根据求出的值即可． 【详解】（1）解：图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）∵，， ； （3）∵， ∴ （4）设正方形的边长为正方形的边长为由题意可得， ， 即，， ， ， ，， ， 即． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $