2026-2027学年苏科版九年级数学上册期中提分特训卷（盐城专版）

2026-2027学年苏科版九年级数学上期中提分特训卷（盐城专版） （范围：第一章～第三章 时间：100分钟 满分：150分） 【命题说明】 命题背景：2026盐城地方特色。 难度配比：易:中:难=6:2:2； 选题来源：2025、2026盐城地区期中/期末/月考真题（改编）； 一．选择题（共24分） 1.（2026·盐城盐都·二模改编）方程(m2-1)x2+2x-3=0是一元二次方程，则m取值（ ） A.m≠1　 B.m≠-1　 C.m≠±1　 D.m取任意实数 2.（2026·盐城阜宁·二模改编）如图是三个反比例函数在x轴上方的图像，由此观察得到的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3.（2025·盐城中考改编）如图,在平面直角坐标系中, ⊙O的半径是1,直线AB与x轴交于点P(x,0),且与x轴的正半轴夹角为45°,若直线AB与⊙O有公共点,则x值的范围是(　　) A. -1≤x≤1 B. -≤x≤ C. -<x< D. 0≤x≤ 4.（2026·盐城滨海改编）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 5.（2026·盐城射阳·二模改编）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（ ）． A. B. C. D. 6.（2026·盐城大丰·期末改编）如图，在平面直角坐标系中，点是正六边形的边与轴的交点，，点在第一象限．将绕点顺时针旋转后点的对应点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 7.（2025·盐城亭湖·二模改编）关于x的一元二次方程x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则代数式x12+x22﹣x1x2+1的最小值是（　　） A．﹣8 B．﹣5 C．1 D．2 8.（2026·盐城盐都·月考改编）如图1，点从正的顶点出发，沿方向运动到某一点后，再经过正三角形内部运动到边上某一点，然后沿方向运动到点停止，设点的运动路程为，，已知点运动时，随变化的关系图象如图2所示，则正的边长为（   ） A. B． C．2 D．3 二．填空题（共24分） 9.（2026·盐城阜宁·二模）若方程x2+kx+4=0有两个相等实数根，则k=______。 10.（2026·盐城滨海·期末改编）如图，直线y ＝kx(k＞0)与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1＝___________． 11.（2025·盐城亭湖·一模改编）如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是________． 12.（2026·盐城射阳·一模改编）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值　 　． 13.（2026·盐城大丰·二模改编）如图，A，B两点在反比例函数y=的图象上，C，D两点在反比例函数y=的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则k1﹣k2的值是_______． 14.（2026·盐城盐都·二模改编）如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中点C，D，E在AB上，点F，N在半圆上．若半圆O的半径为10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是_________. 15.（2025·盐城中考改编）如图，在用配方法解一元二次方程x2+6x＝40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是（x+6）、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形，则m的值是 　    　． 16.（2026·盐城阜宁·期末改编）如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转______________． 三．解答题（共102分） 17. （6分）如图，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A、B、C. ①用尺规作图法找出所在圆的圆心(保留作图痕迹，不写作法)； ②设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R. 18．（12分）解方程 (1)x2+2x﹣1＝0；（用配方法） (2)3x2﹣5x+1＝0；（用公式法） (3)3（2x+1）2＝4x+2；（用因式分解法） (4)3x2+5x＝3x+3．（选择适当的方法） 19. （8分）已知y=y1+y2 ，y1与x+1成正比例，y2与x+1成反比例，当x=0时，y=-5；当x=2时，y=-7． （1）求y与x函数关系式； （2）当y＝5时，求x的值． 20．（8分）设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A，O间距离为d. 图1　　　　　　　图2　　　　　　　图3 (1)如图1，当r＜a时，根据d与a，r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表： d，a，r之间关系 公共点的个数 d＞a＋r d＝a＋r a－r＜d＜a＋r d＝a－r d＜a－r 所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有___________个； (2)如图2，当r＝a时，根据d与a，r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表： d，a，r之间关系 公共点的个数 d＞a＋r d＝a＋r a≤d＜a＋r d＜a 所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有_______________个； (3)如图3，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明：r＝a. 21.（12分）在函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，并结合图像研究函数性质的过程，以下是兴趣小组研究函数性质及其应用的部分过程，请完成下列各小题． （1） ______； ______；并在图中补全该函数图像； （2）根据函数图像，下列关于该函数性质的说法． ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴为y轴． ②当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 其中正确的是______．（只填序号） （3）兴趣小组进一步探究：函数与函数的关系，请你在同一坐标系中画出函数的图像，结合你所画的函数图像完成下列问题． ①方程有______个解； ②直接写出不等式的解集为______．（保留1位小数，误差不超过0.2） 22.（10分）【问题提出】 如图①，AB，AC是⊙O的两条弦，AC＞AB，M是的中点，MD⊥AC，垂足为D，求证：CD＝AB＋AD.小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下： 证明：如图②，延长CA至点E，使AE＝AB，连结MA，MB，MC，ME，BC. ∵M是的中点， ∴∠MCB＝∠MBC，MB＝MC.(请你在下面的空白处补全小敏的证明过程) 【推广运用】 如图③，等边三角形ABC内接于⊙O，AB＝1，D是上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD，垂足为E，则△BDC的周长是________． 【拓展研究】 如图④，若将【问题提出】中的“M是的中点”改成“M是的中点”，其余条件不变，“CD＝AB＋AD”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出CD，AB，AD三者之间的数量关系，并说明理由． 23.（12分）（2026·江苏盐城校级压轴改编）某文创店铺销售一款纪念摆件，每件进价为30元，根据市场销售统计：当售价为每件50元时，每周可卖出200件。经过调研发现：每件售价每上涨1元，每周销量就减少5件（售价为整数，且不亏本）。 设每件摆件售价上涨 x 元，根据题意解答下列问题： (1) 请用含 x 的代数式分别表示：涨价后每件的单件利润、每周的销售总数量； (2) 若店铺本周销售这款摆件的总利润恰好为4500元，求每件摆件的上涨价格； (3) 店铺能否通过调价，使得本周总利润达到5000元？请通过计算说明理由； (4) 若店铺规定单件利润不低于26元，且每周销量不低于150件，求本周总利润能达到4200元时的定价。  24．（10分）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义． (1)【定义】我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________； (2)【探索】分别求出正方形和正六边形的“正圆度”； (3)【总结】随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括． 25.（12分）项目化学习 【项目主题】：探究杠杆平衡条件. 【项目步骤】：实验课上李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：自制了一个类似天平的仪器如图①，在左边固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在右边活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况． 【试验数据】： x/cm 10 15 20 25 30 y/g 30 20 15 12 10 【问题解决】：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，…在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； （2）观察所画的图像，猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式； （3）当活动托盘B与点O的距离为12.5cm时，求砝码的质量； （4）当活动托盘B往左移动（不能移动到点O）时，应往托盘B中添加还是减少砝码？___．（填写“添加”或“减少”） 26.（12分）阅读理解 【学习心得】 （1）小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=46°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC=　23　°． 【问题解决】 （2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=28°，求∠BAC的数． 小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心， BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心， BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题． 【问题拓展】 （3）如图3，在△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，求证：∠EFC=∠DFC． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏科版九年级数学上期中提分特训卷（盐城专版） （范围：第一章～第三章 时间：100分钟 满分：150分） 【命题说明】 命题背景：2026盐城地方特色。 难度配比：易:中:难=6:2:2； 选题来源：2025、2026盐城地区期中/期末/月考真题（改编）； 一．选择题（共24分） 1.（2026·盐城盐都·二模改编）方程(m2-1)x2+2x-3=0是一元二次方程，则m取值（ ） A.m≠1　 B.m≠-1　 C.m≠±1　 D.m取任意实数 【答案】C 【解析】m2-1≠0→ m≠1且m≠-1。 2.（2026·盐城阜宁·二模改编）如图是三个反比例函数在x轴上方的图像，由此观察得到的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】：∵反比例函数在第一象限，∴，，∵当x的值相同时，的函数值比的函数值大，∴，∵反比例函数在第二象限，∴，综上，，故选：B． 3.（2025·盐城中考改编）如图,在平面直角坐标系中, ⊙O的半径是1,直线AB与x轴交于点P(x,0),且与x轴的正半轴夹角为45°,若直线AB与⊙O有公共点,则x值的范围是(　　) A. -1≤x≤1 B. -≤x≤ C. -<x< D. 0≤x≤ 【答案】：B 【解析】：∵直线AB与x轴正方向夹角为45°，∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC，∵⊙O的半径为1，△AOC是等腰直角三角形，∴OC=PC=1，∴OA==，∴P（，0），同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（，0），∴-≤x≤． 故选B 4.（2026·盐城滨海改编）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【答案】D 【解析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果．x2﹣2x﹣8＝0，x2﹣2x＝8， x2﹣2x+1＝8+1，（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3解得：x1＝4，x2＝﹣2，由上可得，丁同学是错的， 5.（2026·盐城射阳·二模改编）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】：如图，过点C作CE⊥y轴于E．在正方形ABCD中，∵， ∴．∵，∴，∵点A的坐标为，∴，∵，∴，在和中， ∵，∴≌（AAS），∴，，∴，∴点C的坐标为， ∵反比例函数的图象过点C，∴，∴反比例函数的表达式为，故选：D． 6.（2026·盐城大丰·期末改编）如图，在平面直角坐标系中，点是正六边形的边与轴的交点，，点在第一象限．将绕点顺时针旋转后点的对应点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由、可知，正六边形的中心在原点，边长为4，即，正六边形的中心角为，点在第一象限，旋转到，如图所示，此时，，在中，，， 在第四象限，旋转后对应点坐标为．故选D． 7.（2025·盐城亭湖·二模改编）关于x的一元二次方程x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则代数式x12+x22﹣x1x2+1的最小值是（　　） A．﹣8 B．﹣5 C．1 D．2 【答案】C 【解析】∵x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0有两个实数根，∴△≥0即4（k+2）2﹣4（k2+2k）≥0， 解得k≥﹣2；∵x1、x2是x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0的两个实数根，∴x1+x2＝2k+4，x1•x2＝k2+2k， x12+x22﹣x1•x2+1＝（x1+x2）2﹣3x1•x2+1＝（2k+4）2﹣3（k2+2k）+1＝k2+10k+17＝（k+5）2﹣8， 当k≥﹣2时，（k+5）2﹣8的值随k的增大而增大，∴k＝﹣2时，x12+x22﹣x1•x2+1的值最小为（﹣2+5）2﹣8＝1．故选：C． 8.（2026·盐城盐都·月考改编）如图1，点从正的顶点出发，沿方向运动到某一点后，再经过正三角形内部运动到边上某一点，然后沿方向运动到点停止，设点的运动路程为，，已知点运动时，随变化的关系图象如图2所示，则正的边长为（   ） A. B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】如图，由函数图象可得， 点P在内运动轨迹是以点B为圆心，为半径的弧长，，点P运动到时所经过的路程为，的长为，正，，，，，故选：D． 二．填空题（共24分） 9.（2026·盐城阜宁·二模）若方程x2+kx+4=0有两个相等实数根，则k=______。 【答案】：±4 【解析】：△=k2-16=0，k2=16，k=±4。 10.（2026·盐城滨海·期末改编）如图，直线y ＝kx(k＞0)与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1＝___________． 【答案】20 【解析】观察图象得：直线y=kx（k＞0）过原点和一、三象限，且与双曲线交于两点，∴这两点关于原点对称，∴x1=-x2，y1=-y2，又∵点A、点B在双曲线上，∴x1×y1=4，x2×y2=4，∴x1×y2=-4，x2×y1=-4，∴2x1y2-7x2y1=2×（-4）-7×（-4）=20．故答案为：20 11.（2025·盐城亭湖·一模改编）如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是________． 【答案】 【解析】如图，连接，由题意可得为的直径，，，∴，即扇形的对应半径为，∴弧的长为，设圆锥的底面圆半径为，则，∴，∴将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是． 12.（2026·盐城射阳·一模改编）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值　 　． 【答案】﹣3 【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根，∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，解得k≤，由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k， ∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，即﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16， ∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，整理得k2﹣2k﹣15＝0，解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3． ∴k＝﹣3，故答案为﹣3． 13.（2026·盐城大丰·二模改编）如图，A，B两点在反比例函数y=的图象上，C，D两点在反比例函数y=的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则k1﹣k2的值是_______． 【答案】2 【解析】设点A的坐标为，则由题意可得点C的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为，∴，BD=，∵BD=1，∴，解得：，∴．故答案为2． 14.（2026·盐城盐都·二模改编）如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中点C，D，E在AB上，点F，N在半圆上．若半圆O的半径为10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是_________. 【答案】100 【解析】连接ON，OF，设正方形CDMN的边长为a，正方形DEFG边长为b，OD＝c，则CN＝CD＝a，DE＝EF＝b，∵四边形CDMN和DEFG都是正方形，∴∠NCD＝90°，∠FED＝90°，∵半圆O的半径为10，∴ON＝OF＝10，由勾股定理得：NC2+CO2＝ON2，OE2+EF2＝OF2，∴a2+（a+c）2＝102①，b2+（b﹣c）2＝102②，①﹣②，得a2+（a+c）2﹣b2﹣（b﹣c）2＝0，（a2﹣b2）+[（a+c）2﹣（b﹣c）2）]＝0，（a+b）（a﹣b）+（a+c+b﹣c）（a+c﹣b+c）＝0，（a+b）（a﹣b）+（a+b）（a﹣b+2c）＝0，（a+b）（a﹣b+a﹣b+2c）＝0， 2（a+b）（a﹣b+c）＝0，∵a+b≠0，∴a﹣b+c＝0，即b＝a+c，把b＝a+c代入①，得a2+b2＝102＝100，即正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是100， 15.（2025·盐城中考改编）如图，在用配方法解一元二次方程x2+6x＝40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是（x+6）、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形，则m的值是 　    　． 【答案】3． 【解析】用配方法求解即可．由题意，得x(x+6)=40,∴x2+6x＝40，∴x2+6x+9＝40+9， （x+3）2＝49，∴m＝3．故答案为：3． 16.（2026·盐城阜宁·期末改编）如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转______________． 【答案】50°或110°　 【解析】：如图，①当BA′与⊙O相切，BA′位于BC上方时，设切点为P，连接OP，则∠OPB＝90°.在Rt△OPB中，∵OB＝2OP，∴∠A′BO＝30°，∴∠ABA′＝50°；②当BA′与⊙O相切，BA′位于BC下方时，同①，可求得∠A′BO＝30°，此时∠ABA′＝80°＋30°＝110°.故旋转角的度数为50°或110°. 三．解答题（共102分） 17. （6分）如图，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A、B、C. ①用尺规作图法找出所在圆的圆心(保留作图痕迹，不写作法)； ②设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R. 解：①作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心； ②连接AO、BO，AO交BC于E，∵AB=AC，∴AE⊥BC，∴BE=BC= ×8=4， 在Rt△ABE中，AE==3，设⊙O的半径为R，在Rt△BEO中， OB2=BE2+OE2 ， 即R2=42+（R-3）2 ， ∴R= (cm)，答：圆片的半径R为 cm 18．（12分）解方程 (1)x2+2x﹣1＝0；（用配方法） (2)3x2﹣5x+1＝0；（用公式法） (3)3（2x+1）2＝4x+2；（用因式分解法） (4)3x2+5x＝3x+3．（选择适当的方法） 解：(1)x2+2x﹣1＝0，x2+2x＝1，x2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，∴x+1＝±， ∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣． (2)3x2﹣5x+1＝0，∵a＝3，b＝﹣5，c＝1，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13＞0， 则x＝，即x1＝，x2＝； (3)3（2x+1）2＝4x+2，3（2x+1）2﹣2（2x+1）＝0，（2x+1）[3（2x+1）﹣2]＝0， 2x+1＝0或6x+1＝0，x1＝﹣，x2＝﹣． (4)3x2+5x＝3x+3，3x2+2x-3=0∵a＝3，b＝2，c＝-3，∴Δ＝22﹣4×3×（﹣3）＝40＞0， ∴x＝＝，∴x1＝，x2＝． 19. （8分）已知y=y1+y2 ，y1与x+1成正比例，y2与x+1成反比例，当x=0时，y=-5；当x=2时，y=-7． （1）求y与x函数关系式； （2）当y＝5时，求x的值． 解：（1）y1=k1(x+1), y2=,y= k1(x+1)+，,解得， . （2）5=,2(x+1)2+5(x+1)+3=0,[2(x+1)+3][(x+1)+1]=0,x=-2或．(经检验是方程的根). 20．（8分）设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A，O间距离为d. 图1　　　　　　　图2　　　　　　　图3 (1)如图1，当r＜a时，根据d与a，r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表： d，a，r之间关系 公共点的个数 d＞a＋r d＝a＋r a－r＜d＜a＋r d＝a－r d＜a－r 所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有___________个； (2)如图2，当r＝a时，根据d与a，r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表： d，a，r之间关系 公共点的个数 d＞a＋r d＝a＋r a≤d＜a＋r d＜a 所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有_______________个； (3)如图3，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明：r＝a. 解：(1) d，a，r之间关系 公共点的个数 d＞a＋r 0 d＝a＋r 1 a－r＜d＜a＋r 2 d＝a－r 1 d＜a－r 0 所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有0，1，2个； (2) d，a，r之间关系 公共点的个数 d＞a＋r 0 d＝a＋r 1 a≤d＜a＋r 2 d＜a 4 所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0，1，2，4个； (3)连接OC.则OE＝OC＝r，OF＝EF－OE＝2a－r.在Rt△OCF中，由勾股定理，得 OF2＋FC2＝OC2，即(2a－r)2＋a2＝r2，4a2－4ar＋r2＋a2＝r2，5a2＝4ar，5a＝4r. ∴r＝a. 21.（12分）在函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，并结合图像研究函数性质的过程，以下是兴趣小组研究函数性质及其应用的部分过程，请完成下列各小题． （1） ______； ______；并在图中补全该函数图像； （2）根据函数图像，下列关于该函数性质的说法． ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴为y轴． ②当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 其中正确的是______．（只填序号） （3）兴趣小组进一步探究：函数与函数的关系，请你在同一坐标系中画出函数的图像，结合你所画的函数图像完成下列问题． ①方程有______个解； ②直接写出不等式的解集为______．（保留1位小数，误差不超过0.2） 解：（1）当时，，当时，，.画出函数的图像如图： （2）根据函数图像： ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴为轴，说法错误； ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值-3，说法正确. （3）由图像可知：①方程有3个解. ②不等式的解集为或 22.（10分）【问题提出】 如图①，AB，AC是⊙O的两条弦，AC＞AB，M是的中点，MD⊥AC，垂足为D，求证：CD＝AB＋AD.小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下： 证明：如图②，延长CA至点E，使AE＝AB，连结MA，MB，MC，ME，BC. ∵M是的中点， ∴∠MCB＝∠MBC，MB＝MC.(请你在下面的空白处补全小敏的证明过程) 【推广运用】 如图③，等边三角形ABC内接于⊙O，AB＝1，D是上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD，垂足为E，则△BDC的周长是________． 【拓展研究】 如图④，若将【问题提出】中的“M是的中点”改成“M是的中点”，其余条件不变，“CD＝AB＋AD”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出CD，AB，AD三者之间的数量关系，并说明理由． 解:【问题提出】∵∠MAC＝∠MBC，∴∠EAM＝180°－∠MAC＝180°－∠MBC. 又∵∠BAM＝180°－∠MCB，∴∠EAM＝∠BAM.在△EAM 和△BAM 中，∴△EAM≌△BAM，∴ME＝MB＝MC.又∵MD⊥AC，∴ED＝CD， ∴CD＝AE＋AD＝AB＋AD. 【推广运用】1＋ 【拓展研究】不成立，AD＝AB＋CD，理由：如图，延长MD交⊙O于点E，连结EA，EC，EB，EB交AC于点N.∵M是的中点，.∴∠BEM＝∠CEM.在△EDN 和△EDC 中， ∴△EDN≌△EDC，∴ND＝CD，∠END＝∠ECD.又∵∠ECD＝∠ABE，∠END＝∠ANB，∴∠ANB＝∠ABE，∴AN＝AB，∴AD＝AN＋ND＝AB＋CD. 23.（12分）（2026·江苏盐城校级压轴改编）某文创店铺销售一款纪念摆件，每件进价为30元，根据市场销售统计：当售价为每件50元时，每周可卖出200件。经过调研发现：每件售价每上涨1元，每周销量就减少5件（售价为整数，且不亏本）。 设每件摆件售价上涨 x 元，根据题意解答下列问题： (1) 请用含 x 的代数式分别表示：涨价后每件的单件利润、每周的销售总数量； (2) 若店铺本周销售这款摆件的总利润恰好为4500元，求每件摆件的上涨价格； (3) 店铺能否通过调价，使得本周总利润达到5000元？请通过计算说明理由； (4) 若店铺规定单件利润不低于26元，且每周销量不低于150件，求本周总利润能达到4200元时的定价。  解：(1) 原单件利润：50-30=20元，涨价x元后：单件利润：(20+x)元，原销量200件，每涨1元少卖5件，销售总数量(200-5x)件 (2) 总利润=4500元，求上涨价格，等量关系：总利润=单件利润×销售数量列方程： (20+x)(200-5x)=4500，整理方程：4000-100x+200x-5x2=4500，-5x2+100x-500=0， 两边同除以-5：x2-20x+100=0，因式分解：(x-10)2=0，解得：x1=x2=10，检验实际意义： 涨价10元，单件利润、销量均为正数，符合题意。 答：每件摆件上涨价格为10元。 (3) 判断能否达到总利润5000元，假设总利润可以达到5000元，列方程：(20+x)(200-5x)=5000，整理：-5x2+100x+4000=5000，x2-20x+200=0，计算根的判别式： △=(-20)2-4×1×200=400-800=-400<0，此一元二次方程无实数根，∴无法通过调价使总利润达到5000元 （4）已知限制条件：① 单件利润不低于26元：20+x≥26，得 x≥6，② 销量不低于150件：200-5x≥150，-5x≥-50 → x≤10 ∴ x 取值范围：6≤x≤10，再根据总利润4200元列方程：(20+x)(200-5x)=4200，整理：-5x2+100x+4000=4200，x2-20x+40=0，△=(-20)2-4×40 =240，x==10±2，x1=10+2≈17.746>10，x2=10-2≈2.254<6. 均不在取值范围内，无符合题意的解答：在题目规定的销售限制条件下，无法使本周总利润达到4200元。 24．（10分）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义． (1)【定义】我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________； (2)【探索】分别求出正方形和正六边形的“正圆度”； (3)【总结】随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括． 解：（1）由题意得，，故答案为：； （2）假设正方形边长1，∴此时正方形的内切圆半径为，∴； 设正六边形的边长为1，内切圆圆心为O，则，又∵， ∴是等边三角形，∴，∴，∴； （3），随着n的增大，越来越接近于1．由张衡、祖冲之的研究，精进的取值的方法可知：正多边形，边长数越多，越接近于圆，因此当边长增多时，其周长L也与对应的内切圆周长更接近，其比值更接近于1． 25.（12分）项目化学习 【项目主题】：探究杠杆平衡条件. 【项目步骤】：实验课上李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：自制了一个类似天平的仪器如图①，在左边固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在右边活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况． 【试验数据】： x/cm 10 15 20 25 30 y/g 30 20 15 12 10 【问题解决】：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，…在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； （2）观察所画的图像，猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式； （3）当活动托盘B与点O的距离为12.5cm时，求砝码的质量； （4）当活动托盘B往左移动（不能移动到点O）时，应往托盘B中添加还是减少砝码？___．（填写“添加”或“减少”） 解：（1）如图所示. （2）由图像猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，∴设，把，代入得：．∴y与x的函数关系式为：． （3）把代入，得．∴当活动托盘B与点O的距离是12.5cm时，当砝码的质量为24g． （4）根据反比例函数的增减性，即可得出，随着活动托盘与点的距离不断减小，砝码的示数会不断增大，应添加砝码. 26.（12分）阅读理解 【学习心得】 （1）小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=46°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC=　23　°． 【问题解决】 （2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=28°，求∠BAC的数． 小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心， BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心， BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题． 【问题拓展】 （3）如图3，在△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，求证：∠EFC=∠DFC． 解：（1）如图1，∵AB=AC，AD=AC，∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC=∠BAC=23°，故答案是：23°； （2）证明：取BD中点O，连接AO、CO，在Rt△BAO中，AO=BD，同理：CO=BD ∴AO=DO=CO=BO，∴点A、B、C、D在以O为圆心的同一个圆上，∴∠BAC=∠BDC=28°； （3）∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴点A、F、H、E在以AH为直径的同一个圆上，∴∠EFC=∠DAC，同理：点B、D、H、E在以BH为直径的同一个圆上，∠DFC=∠CBE，又∵∠DAC=∠EBC，∴∠EFC=∠DFC． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $