精品解析：江苏盐城市初级中学2025-2026学年度第一学期九年级期中考试数学试卷

盐城市初级中学2025-2026学年度第一学期期中考试 初三年级数学试卷 （卷面总分：150分 考试时间：120分钟） 数学，是思维的体操，引领我们探索世界的奥秘．相信自己所学的知识，保持冷静和自信．你们的笔尖下，流淌的是智慧的光芒，那一个个数字、符号和公式，将编织成属于你们的精彩答案！ 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 2. 下列函数是二次函数的是（） A. B. C. D. 3. 如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 平行 4. 将抛物线向下平移个单位后得到的抛物线对应的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个正边形的每个外角为，则这个正边形的边数是（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 6. 一次体质健康检测中，某班体育委员对该班名男生在一分钟内“引体向上”的个数进行了统计，并制作如下统计表： 个数 人数 则这名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数是（ ） A. B. C. D. 7. 三个旅游团游客年龄的方差分别是：，，，导游小方喜欢带游客年龄相近的团队，则他应该选择( ) A. 甲团 B. 乙团 C. 丙团 D. 甲乙丙均可以 8. 二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 抛物线与轴的交点坐标为_______． 10. 如图，，切⊙于两点，若，则_____． 11. 如图，是的弦，半径于点，且，则的长为_______． 12. 小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛，她的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为90分，80分，60分，若依次按照的百分比确定最终成绩，那么她的最终成绩是_______分． 13. 若点，都在二次函数的图象上，则_____（填“”或“”）． 14. 如图，点I为的内心，若，则的度数为_______． 15. 司南是我国古代辨别方向的一种仪器，早在战国时期就已经被发明，是指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，连接，并延长交于点．则点位于点的北偏东的角度是______． 16. 在如图所示的直角坐标系中，，，若二次函数与线段有且只有一个公共点，则的取值或取值范围是_______． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 求下列二次函数图象的顶点坐标． （1）（配方法）； （2）（公式法）． 18. 已知二次函数的图象经过点． （1）求a的值； （2）若点在该函数的图象上，求m的值． 19. 如图，中，弦，相交于点，．求证： （1）； （2）． 20. 如图，的顶点、在上，圆心在边上，，，连接． （1）求的度数； （2）求证：与相切． 21. 某校广播站在新学期计划招聘一名播音主持．经过层层选拔，最后甲、乙两名同学进入决赛．决赛成绩由8位评委打分，广播站管理员将根据决赛数据选择一名同学担任播音主持． 数据整理：管理员将甲、乙两名同学的决赛成绩整理如下： 甲：5，6，7，7，7，8，9，9 乙：4，5，6，7，8，9，9，10 数据分析：管理员对甲、乙两名同学的决赛成绩进行了如表分析： 同学 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲 7 乙 请认真阅读以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______，______，______； （2）甲、乙两名同学决赛成绩公布后，甲、乙两人都认为自己能够担任播音主持．请你分别站在甲、乙的角度谈谈他们各自的理由．（甲、乙各写出一条理由即可） 22. 已知二次函数（m为常数，）． （1）求证：该函数的图象与轴有两个公共点． （2）若该图象与x轴两交点之间的距离为4，求m的值． 23. 如图，由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过、、三点，请仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图1中． ①标出的圆心O； ②画出过点B的弦，使得； （2）在图2中的边上找到一点，使得平分． 24. 已知二次函数（b、c为常数） （1）若函数图象关于直线对称， ①则_______； ②若函数图象与x轴的一个交点为，则另一个交点为______； （2）若函数图象的顶点在直线上，求c的最小值． 25. 如图，点A，B，C在上，的半径是6，，以，为边作． （1）当点D也在上时（如图2），证明：是矩形； （2）当与相切时，求的长； （3）当与相切时，在图3中用无刻度的直尺和圆规作出符合条件的（保留作图痕迹，不写作法）． 26. 问题情境： “康居课题学习小组”在学习扇形的面积公式时，对生活中所用的一次性纸杯（如图产生了兴趣，决定对制作这种纸杯的相关问题进行研究．（说明：整个探究过程中均忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度．） （1）任务1：测量如图1所示的圆口水杯的杯口直径． 工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺． 测量方法一：如图2，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点，分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，，利用刻度尺测得的长，即为杯口直径．这里用到的几何知识是：_____；（请选择正确的序号填入） ①垂直于弦的直径平分弦；②的圆周角所对的弦是直径；③直径所对的圆周角是． 测量方法二：如图3，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为，另一边与杯口相交于，两点，利用刻度尺测得的长为．请求出此时杯口的直径； （2）任务2：测量出杯口直径后，用类似的方法测得杯底直径（如图4），杯壁母线长，请求出任务1中水杯的侧面积（如图5）． 27. 阅读下列内容： 如果点在一次函数的图象上，那么点一定在哪个函数的图象上呢？下面是解决问题的一种途径（简称消参法）． 所以点一定在函数的图象上． 根据阅读内容解决下列问题： （1）如果点在二次函数的图象上，那么点一定在哪个函数的图象上呢？填写下面的空格； ___，_____，_______，______； （2）如图，若点在二次函数的图象上，则点一定在哪个函数的图象上呢？（设这个函数为．） ①求函数的函数表达式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象（不要求列表）； ②记、组成的新函数为，当时，的最大值与最小值的差是8，请求出所有符合条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盐城市初级中学2025-2026学年度第一学期期中考试 初三年级数学试卷 （卷面总分：150分 考试时间：120分钟） 数学，是思维的体操，引领我们探索世界的奥秘．相信自己所学的知识，保持冷静和自信．你们的笔尖下，流淌的是智慧的光芒，那一个个数字、符号和公式，将编织成属于你们的精彩答案！ 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆内时，点到圆心的距离与半径的大小关系是解题关键． 【详解】解：∵的半径为3，点P在内， ∴， ∵选项中只有， ∴的长可能是2， 故选：D． 2. 下列函数是二次函数的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项自变量的次数是1，不是二次函数，不符合题意； B选项的自变量在分母上，不是二次函数，不符合题意； C选项是二次函数，符合题意； D选项自变量的次数是1，不是二次函数，不符合题意． 3. 如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．根据直线与圆有两个交点，则直线与圆相交，由此即可得． 【详解】解：由图可知，图中的江面和太阳的位置关系为相交， 故选：C． 4. 将抛物线向下平移个单位后得到的抛物线对应的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将抛物线向下平移个单位后得到的抛物线对应的函数表达式是． 5. 若一个正边形的每个外角为，则这个正边形的边数是（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵这个正边形的每个外角为， ∴． 6. 一次体质健康检测中，某班体育委员对该班名男生在一分钟内“引体向上”的个数进行了统计，并制作如下统计表： 个数 人数 则这名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数的定义求解即可． 【详解】解：个数是的有人，个数是的有人，个数是的有人，个数是的有人，个数是的有人， 又， 个数出现次数最多， 众数为． 7. 三个旅游团游客年龄的方差分别是：，，，导游小方喜欢带游客年龄相近的团队，则他应该选择( ) A. 甲团 B. 乙团 C. 丙团 D. 甲乙丙均可以 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的意义，根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵，，， ∴，导游小方应该选择甲团． 故选：A． 8. 二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数的图象的开口方向、与坐标轴交点的位置逐项判断即可． 【详解】解：A选项：由函数图象可知，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，，故A选项错误； B选项：由函数图象可知，抛物线开口向上，，抛物线的对称轴是直线，，又，，故B选项正确； C选项：当时，可得：，由函数图象可知，当时，，，故C选项错误； D选项：抛物线与轴有两个交点，有两个不相等的解，，，故D选项错误． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 抛物线与轴的交点坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】y轴上的点的横坐标为0，将代入抛物线解析式，计算对应的函数值即可得到交点坐标． 【详解】解：令，得， ∴ 抛物线与y轴的交点坐标为． 10. 如图，，切⊙于两点，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的性质得到，进而得出，根据题意计算，得到答案． 本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：∵，切⊙于两点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11. 如图，是的弦，半径于点，且，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用垂径定理求解即可． 【详解】解：∵是的弦，半径于点， ∴． 12. 小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛，她的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为90分，80分，60分，若依次按照的百分比确定最终成绩，那么她的最终成绩是_______分． 【答案】78 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数的求法，掌握加权平均数公式是解题关键．本问题是求小红三项成绩的加权平均数，利用加权平均数的计算公式，列式算出答案即可． 【详解】解：小红的平均成绩为：（分） 故答案为：78． 13. 若点，都在二次函数的图象上，则_____（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，结合对称轴左侧的函数增减性，比较两点的横坐标大小即可判断函数值的大小关系． 【详解】解：∵二次函数解析式为，其中二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵开口向上的抛物线，在对称轴左侧，y随x的增大而减小， ∵点A的横坐标为，点B的横坐标为，满足，两点均在对称轴左侧， ∴横坐标更小的点A对应的函数值更大，即． 14. 如图，点I为的内心，若，则的度数为_______． 【答案】 或52度 【解析】 【分析】根据三角形内心的定义可知 是 的角平分线，利用角平分线的性质即可求解； 【详解】解：点为的内心， 平分， ， ， ． 15. 司南是我国古代辨别方向的一种仪器，早在战国时期就已经被发明，是指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，连接，并延长交于点．则点位于点的北偏东的角度是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据八个方位将圆形八等分，可得、、、、、、所对的圆心角都相等，且都为，从而确定为南北方向，将所求角度转化为圆周角求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由图可得被点八等分， ∴、、、、、、所对的圆心角都相等，且都为， ∴，， ∴， 由图可得在南北方向， ∴也在南北方向， ∵ ∴点位于点的北偏东的角度是． 16. 在如图所示的直角坐标系中，，，若二次函数与线段有且只有一个公共点，则的取值或取值范围是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】分当抛物线与相切时和当抛物线与相切时两种情况，结合图形求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴抛物线过点． 情况：当抛物线与相切时，如图， ∵线段过， ∴线段在直线上，满足． 联立， ∴， 整理，得， 情况：当一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 解得或， 当时，方程为，解得，，符合条件． 当时，方程为，解得，不在范围内，舍去． 情况：当抛物线与相交时，如图， 则当时，， ， 解得， 验证：当时，，解得，，两个根都在内，有两个交点，不符合题意，不取等号． 综上，或． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 求下列二次函数图象的顶点坐标． （1）（配方法）； （2）（公式法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 配方得， 可得顶点坐标为． 【小问2详解】 解：， 可得，，， 计算顶点横坐标：， 计算顶点纵坐标：， 可得顶点坐标为． 18. 已知二次函数的图象经过点． （1）求a的值； （2）若点在该函数的图象上，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入求解即可； （2）得到，然后将代入即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴ 将代入得，． 19. 如图，中，弦，相交于点，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵在同圆中，相等的弦所对的弧相等， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2） 证明：∵，， ∴，， 在和中： ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，理解在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等是解题关键． （1）根据等弧所对的弦相等进行证明即可； （2）根据等弧所对的圆周角证明即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，的顶点、在上，圆心在边上，，，连接． （1）求的度数； （2）求证：与相切． 【答案】（1） （2）证明：由（1）得：， ∵， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴与相切． 【解析】 【分析】（1）先得出，再根据等边对等角求解即可； （2）先求出，则，再根据圆的切线的判定即可得证． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 21. 某校广播站在新学期计划招聘一名播音主持．经过层层选拔，最后甲、乙两名同学进入决赛．决赛成绩由8位评委打分，广播站管理员将根据决赛数据选择一名同学担任播音主持． 数据整理：管理员将甲、乙两名同学的决赛成绩整理如下： 甲：5，6，7，7，7，8，9，9 乙：4，5，6，7，8，9，9，10 数据分析：管理员对甲、乙两名同学的决赛成绩进行了如表分析： 同学 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲 7 乙 请认真阅读以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______，______，______； （2）甲、乙两名同学决赛成绩公布后，甲、乙两人都认为自己能够担任播音主持．请你分别站在甲、乙的角度谈谈他们各自的理由．（甲、乙各写出一条理由即可） 【答案】（1），， （2）站在甲的角度：甲、乙两人的平均数相同，但甲决赛成绩的方差小于乙的，说明甲的成绩更稳定，发挥波动小，更适合担任播音主持． 站在乙的角度：甲、乙两人的平均数相同，但乙的中位数和众数均大于甲的，乙拿到高分的表现更突出，更适合担任播音主持． 【解析】 【分析】（1）根据平均数公式、中位数和众数的定义求解即可； （2）从方差、中位数和众数的角度分析即可． 【小问1详解】 解：； ∵甲同学的决赛成绩从小到大排序后，第4个数和第5个数的平均数即为其中位数， ∴； ∵在乙同学的决赛成绩中，9出现的次数最多，出现了2次， ∴其众数． 【小问2详解】 略． 22. 已知二次函数（m为常数，）． （1）求证：该函数的图象与轴有两个公共点． （2）若该图象与x轴两交点之间的距离为4，求m的值． 【答案】（1）证明：令，得方程． ． ∵， ∴，即， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴该函数的图象与轴有两个公共点． （2） 【解析】 【分析】（1）将二次函数与x轴交点问题转化为一元二次方程根的问题，通过计算判别式并结合的条件证明判别式大于0； （2）求解一元二次方程得到两交点横坐标，根据两点距离列绝对值方程求解m的值． 【小问1详解】 证明：令，得方程， ． ∵， ∴，即， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴该函数的图象与轴有两个公共点． 【小问2详解】 解：令，则， ∴， 解得，． ∵两交点之间的距离为4， ∴，即， ∴， ∴． 23. 如图，由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过、、三点，请仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图1中． ①标出的圆心O； ②画出过点B的弦，使得； （2）在图2中的边上找到一点，使得平分． 【答案】（1）①如图，圆心O即为所求 ②如图，弦即为所求 （2）如图，点即为所求 【解析】 【分析】（1）①三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，也就是弦的垂直平分线必过圆心；观察格点可知：是水平线段，它的垂直平分线是经过中点的竖直线；再作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是格点O，即为的圆心；②根据相等的圆周角所对的弦相等画图即可，由可知，； （2）利用格点找出的中点G，根据等弧所对的圆周角相等可得，即平分，因此与的交点即为所求的点D． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：略 24. 已知二次函数（b、c为常数） （1）若函数图象关于直线对称， ①则_______； ②若函数图象与x轴的一个交点为，则另一个交点为______； （2）若函数图象的顶点在直线上，求c的最小值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式即可求解，再由对称性求解另一交点； （2）先表示出顶点坐标，再代入直线，得到关于的二次函数，再由二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：①，对称轴为直线 ∴， 解得； ②函数图象关于直线对称，图象与x轴的一个交点为， ∴另一个交点为，即； 【小问2详解】 解：， ∴顶点为 ∵顶点在直线上， ∴，则 此时该函数开口向上，故当时，取得最小值为． 25. 如图，点A，B，C在上，的半径是6，，以，为边作． （1）当点D也在上时（如图2），证明：是矩形； （2）当与相切时，求的长； （3）当与相切时，在图3中用无刻度的直尺和圆规作出符合条件的（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴， ∴是矩形． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先得出，，进而可得，再根据矩形的判定即可得证； （2）画出图形，连接，先得出是等边三角形，则，再利用弧长公式求解即可； （3）先作出线段的垂直平分线，与优弧交于点，再过点作直线的垂线，然后在这条垂线上截取，在直线下方交于点，连接，即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：由题意，画出图形如下：连接， ∵的半径是6， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵与相切， ∴，即， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为． 【小问3详解】 略． 26. 问题情境： “康居课题学习小组”在学习扇形的面积公式时，对生活中所用的一次性纸杯（如图产生了兴趣，决定对制作这种纸杯的相关问题进行研究．（说明：整个探究过程中均忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度．） （1）任务1：测量如图1所示的圆口水杯的杯口直径． 工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺． 测量方法一：如图2，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点，分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，，利用刻度尺测得的长，即为杯口直径．这里用到的几何知识是：_____；（请选择正确的序号填入） ①垂直于弦的直径平分弦；②的圆周角所对的弦是直径；③直径所对的圆周角是． 测量方法二：如图3，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为，另一边与杯口相交于，两点，利用刻度尺测得的长为．请求出此时杯口的直径； （2）任务2：测量出杯口直径后，用类似的方法测得杯底直径（如图4），杯壁母线长，请求出任务1中水杯的侧面积（如图5）． 【答案】（1）②；此时杯口的直径为 （2） 【解析】 【分析】（1）测量方法一：根据的圆周角所对的弦是直径进行解答即可； 测量方法二：设点为圆心，连接交于点，连接．根据为的切线得到．由得到，垂径定理得到，设的半径为，则，在中，，列出方程即可求解． （2）根据纸杯侧面是大扇形减去小扇形的扇环求解即可； 【小问1详解】 解：测量方法一：∵纸板的两个顶点，分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为， ∴为杯口的直径（的圆周角所对的弦是直径）， 即小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是的圆周角所对的弦是直径． 测量方法二：如图，设点为圆心，连接交于点，连接． ∵为的切线， ， 又∵， ， ∴， 设的半径为，则， 在中，， ， 解得， 所以杯口的直径为． 【小问2详解】 解：杯口周长为大扇形的弧长：， 杯底周长为小扇形的弧长：， 设小扇形的半径为，圆心角为， 根据弧长公式得： ， 两式相减得，解得，代入得， ∴． 27. 阅读下列内容： 如果点在一次函数的图象上，那么点一定在哪个函数的图象上呢？下面是解决问题的一种途径（简称消参法）． 所以点一定在函数的图象上． 根据阅读内容解决下列问题： （1）如果点在二次函数的图象上，那么点一定在哪个函数的图象上呢？填写下面的空格； ___，_____，_______，______； （2）如图，若点在二次函数的图象上，则点一定在哪个函数的图象上呢？（设这个函数为．） ①求函数的函数表达式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象（不要求列表）； ②记、组成的新函数为，当时，的最大值与最小值的差是8，请求出所有符合条件的的值． 【答案】（1），，， （2）①，；②或或 【解析】 【分析】（1）先得出，再设，消去即可得； （2）①先得出，且，再代入消去即可得函数解析式，然后利用描点法画出函数的图象即可； ②分五种情况：，，，和，利用二次函数的性质求出最大值与最小值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入二次函数得：， ∵点的坐标为， ∴， 设， ∴，即． 【小问2详解】 解：①将点代入函数得：，且， ∴， ∵点的坐标为， ∴， 设， ∴，即， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象：略． ②由上可知，，即， ∴结合图象可知，当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；且当时，；当时，． （Ⅰ）当，即时， 在内，随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为；当时，取得最小值，最小值为， ∵当时，的最大值与最小值的差是8， ∴， 解得，不符合题设，舍去； （Ⅱ）当，即时， ∴结合函数图象可知，此时的最大值为或或；当时，取得最小值，最小值为， ∴，， ∵当时，的最大值与最小值的差是8， ∴只能是， 解得或（舍去）； （Ⅲ）当时，， 此时的最大值为4，最小值为，，符合题意； （Ⅳ）当时， ∴结合函数图象可知，此时的最小值为或或；当时，取得最大值，最大值为4， ∴，， ∵当时，的最大值与最小值的差是8， ∴只能是， 解得或（舍去）； （Ⅴ）当时， ∴此时的最大值为，最小值为， ∵当时，的最大值与最小值的差是8， ∴， 解得，不符合题设，舍去； 综上，所有符合条件的的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $