2026-2027学年苏科版九年级数学上册 期中模拟试卷

2026-2027学年第一学期期中考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x+y＝1 B．x+y2﹣2＝0 C．x（x2﹣3）＝0 D．2x2﹣3x＝3 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此进行判断即可． 【解答】解：x+y＝1含有两个未知数，并且其最高次数为1，则A不符合题意， x+y2﹣2＝0含有两个未知数，则B不符合题意， x（x2﹣3）＝x3﹣3x＝0，其最高次数为3，则C不符合题意， 2x2﹣3x＝3符合一元二次方程的定义，则D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．一元二次方程x2﹣3x+4＝0的根的情况是（　　） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式b2﹣4ac与0的大小关系，即可得出方程根的情况． 【解答】解：x2﹣3x+4＝0， ∴a＝1，b＝﹣3，c＝4， ∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×4＝9﹣16＝﹣7＜0， ∴方程没有实数根， 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于掌握根的判别式的应用，即b2﹣4ac＞0，方程有两个不相等的实数根；b2﹣4ac＝0，方程有两个相等的实数根；b2﹣4ac＜0，方程无实数根． 3．反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A．（﹣1，﹣5） B．（1，5） C．（2，3） D．（﹣2，3） 【分析】将反比例函数关系式进行变形，逐项判断即可． 【解答】解：将反比例函数关系式进行变形得xy＝6．据此逐项分析判断如下： A． （﹣1）×（﹣5）＝5≠6，不符合题意； B．1×5＝5≠6，不符合题意； C．2×3＝6，符合题意； D． （﹣2）×3＝﹣6≠6，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 4．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点（﹣2，3），点P是图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积是（　　） A．6 B．2.5 C．3 D．2 【分析】先根据图象上点的坐标求出反比例函数的比例系数，再利用反比例函数系数k的几何意义求解． 【解答】解：∵反比例函数的图象过点（﹣2，3）， ∴k﹣1＝﹣2×3＝﹣6， ∵点P是图象上任意一点，PM⊥x轴， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点A（1，0），点C（0，7），反比例函数的图象经过点B，则k的值为（　　） A．9 B．12 C．16 D． 【分析】过B作BE⊥x轴于E，BF⊥y轴于点F，则∠EBF是直角，根据正方形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝90°，然后可以证明三角形BFC与三角形BAE全等，从而得到BE＝BF，AE＝CF，从而可以得出四边形OEBF是正方形，设正方形OEBF的边长为m，则AE＝1﹣m，CF＝7﹣m，然后根据m﹣1＝7﹣m即可求解． 【解答】解：过B作BE⊥x轴于E，BF⊥y轴于点F， ∵∠BFC＝∠BEA＝90°， ∴四边形OEBF是矩形， ∴∠EBF＝90°， ∠CBF+∠ABF＝90°，∠ABE+∠ABF＝90°， ∴∠CBF＝∠ABE， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AB， ∴△ABE≌△CBF（AAS）， ∴BE＝BF，AE＝CF， ∴四边形OEBF是正方形， 设正方形OEBF的边长为m，则AE＝1﹣m，CF＝7﹣m， ∴m﹣1＝7﹣m， 解得m＝4， ∴B点的坐标为（4，4）， ∴， ∴k＝16， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为（　　） A．3 B． C．5 D． 【分析】首先通过正六边形来构造辅助线形成等边三角形，进而可以利用垂直在直角三角形中求解OM的长度即可． 【解答】解：正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，如图，连接OB，OC， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC＝60°， ∵OB＝OC， ∴△BOC为等边三角形，即BC＝OB＝6， ∵OM⊥BC， ∴， 在Rt△BOM中，， 故选：D． 【点评】本题主要考查正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点的应用，利用正六边形的性质求边长是解题的关键． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O是△ABC的内切圆，连接OA，OB，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C．2π D． 【分析】设⊙O与AC、BC、AB分别相切于E、F、H，连接OE、OF，可证明四边形OECF是正方形，由∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，求得∠CAB+∠CBA＝90°，AB＝10，由AE＝AH，BF＝BH，求得AE+BF＝AB＝10，则CE+CF＝2CE＝AC+BC﹣（AE+BF）＝4，则OE＝CE＝2，由∠OAB∠CAB，∠OBA∠CBA，求得∠OAB+∠OBA＝45°，则∠AOB＝135°，所以阴影部分扇形的圆心角为225°，根据扇形的面积公式求得S阴影，于是得到问题的答案． 【解答】解：设⊙O与AC、BC、AB分别相切于E、F、H，连接OE、OF， ∵AC⊥OE，BC⊥OF， ∴∠OEC＝∠OFC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形OECF是矩形， ∴CE＝CF， ∴四边形OECF是正方形， ∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴∠CAB+∠CBA＝90°，AB10， ∵AE＝AH，BF＝BH， ∴AE+BF＝AH+BH＝AB＝10， ∴CE+CF＝2CE＝AC﹣AE+BC﹣BE＝AC+BC﹣（AE+BF）＝6+8﹣10＝4， ∴OE＝CE＝2， ∴AO平分∠CAB，BO平分∠CBA， ∴∠OAB∠CAB，∠OBA∠CBA， ∴∠OAB+∠OBA（∠CAB+∠CBA）＝45°， ∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝135°， ∴阴影部分扇形的圆心角为360°﹣135°＝225°， ∴S阴影， 故选：D． 【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、勾股定理、三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 9. 如图．将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内、使D、C，B在一张直线上，且，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则点E在量角器上所对应的锐角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先设半圆的圆心为O，连接OE，OA，由题意易得AC是线段OB的垂直平分线，即可求得∠AOC=∠ABC=60°，又由AE是切线，易证得Rt△AOE≌Rt△AOC，继而求得∠AOE的度数，则可求得答案． 【详解】解：设半圆的圆心为O，连接， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴ ∵是切线， ∴， ∴， 在Rt△AOE和Rt△AOC中， ， ∴， ∴ ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质．此题难度适中，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 10. 如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离处．如果以的速度沿由A向B的方向移动，那么（　　）秒钟后与直线相切． A. 3 B. 7 C. 3或7 D. 6或14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆位置关系和含角的直角三角形的性质．根据题意与相切分：在直线左侧时，在直线右侧时，求出运动的路程，即可根据速度求得时间． 【详解】解：①由题意可知与相切于点E， ∴， ∵半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴秒． ②当圆心P在直线的右侧时，， 则需要运动的时间为秒． 综上所述，与直线相切时经过的时间为3或7秒钟， 故选：C． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则m的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 12. 已知整数，使方程无实数根，则的值可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的不等式，解之即可求出的值． 【详解】解：，． ， ． 则c的值可以是2． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【详解】解：圆锥侧面积=•2π•3•5=15π． 故答案为15π． 14. 如图，点为外接圆的圆心，点为的内心，连接，，若，则的度数为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内心和外心的概念，圆周角定理，等腰三角形的定义，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 连接，根据点是内心得到，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义以及三角形内角和定理进行计算，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点是的外接圆的圆心， ∴， ∵， 故答案为： ． 15. 如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数的图象于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为 　﹣7　 ． 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得，，根据平行线的性质和三角形的面积公式可得S△OAB＝S△CAB＝2，根据S△AOM﹣S△BOM＝2，求出k的值即可． 【解答】解：如图，连接OA、OB，延长AB交y轴于M，则，， ∵AB∥x轴， ∴S△OAB＝S△CAB＝2， 即S△AOM﹣S△BOM＝2， ∴， ∵k＜0， ∴k＝﹣7， 故答案为：﹣7． 【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 16. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM，若⊙O的半径为4，则CM的取值范围是　　 ． 【分析】根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离、最小距离进行计算即可． 【解答】解：当点P在⊙O上移动时，M为AP的中点，连接OM，根据垂径定理得出∠OMA＝90°， ∵90度的圆周角所对的弦是直径， ∴AP的中点M的轨迹是以OA为直径的⊙O'， 如图，当CO′交⊙O'于点M，此时CM的值最小， ∴， 如图，当CO′交⊙O'于点M，此时CM的值最大， 由题意得，OA＝OB＝OC＝4，， 在Rt△O′OC中，OC＝4，OO′＝2， ， ∴， ∴CM的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，正确进行计算是解题关键． 三、解答题（本大题共有8小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再利用直接开平方的方法解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再根据配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 18. 已知关于的方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根． （2）若两边、的长是已知方程的两个实数根．当为何值时，是菱形？求此菱形的边长． 【答案】（1）证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况，平行四边形的性质和菱形的判定和性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式，菱形的性质是解题的关键． （1）利用根的判别式即可得出答案； （2）当，是菱形，即可求出m的值，然后代入原方程，解方程即可得出菱形的边长． 【小问1详解】 解： ， ， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：是菱形， ∴， 的两边、的长是已知方程的两个实数根． ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 当时，原方程为：， 解得：， 此时菱形的边长为． 19. 如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，6），B（3，n）两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）连接OA，OB，求△AOB的面积． 【分析】（1）将A，B代入解析式可求解析式 （2）求一次函数解析式y＝﹣2x+8图象交x轴交点C的坐标，由∵△AOB面积＝△AOC面积﹣△COB面积，可求△AOB面积． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y（x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点， ∴m＝6×1＝3×n， ∴m＝6，n＝2， ∵， 解得：， ∴一次函数解析式y＝﹣2x+8， 反比例函数的解析式y． （2）∵一次函数解析式y＝﹣2x+8图象交x轴为点C， ∴C（4，0）， ∵△AOB面积＝△AOC面积﹣△COB面积4×64×2＝12﹣4＝8． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，关键是运用面积的和差表示所求面积． 20. 某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件，假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变． （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？ 【答案】（1） （2）5元 【解析】 【分析】(1)首先设四、五月份销售量平均增长率为x，然后列出方程即可得解； (2)首先设商品降价m元，然后列出方程即可得解. 此题主要考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系列出方程是解题关键. 【小问1详解】 设四、五月份销售量平均增长率为x， 则, 解得（舍去） 所以四、五月份销售量平均增长率为． 【小问2详解】 设商品降价m元， 则, 解得（舍去） 所以商品降价5元时，商场获利2250元． 21. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为的中点，DE⊥AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接AD．证明OD∥AE，可得∠E＝90°，则∠ODE＝90°得出DE⊥OD即可； （2）设⊙O的半径为r．过点O作OF⊥AE于F，则OF＝DE＝4，EF＝OD＝r，AF＝8﹣r（8﹣r）2+42＝r2解方程即可得出答案． 【解答】（1）证明：连接AD． ∵点D为弧BC的中点， ∴， ∴∠EAD＝∠DAB， ∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠DAB， ∴∠EAD＝∠ADO， ∴OD∥AE， ∵DE⊥AC， ∴∠E＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴DE⊥OD ∴DE是⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径为r． 过点O作OF⊥AE于F，则OF＝DE＝4，EF＝OD＝r，AF＝8﹣r， ∵在Rt△AFO中，AF2+OF2＝OA2， ∴（8﹣r）2+42＝r2， ∴r＝5， ∴⊙O的半径为5． 【点评】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确运用基本图形的性质解决问题，属于中考常考题型． 22. 如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，网格中，都是格点，以为圆心，为半径作圆，仅用无刻度的直尺完成以下画图； （1）在图①中画的一个内接正六边形． （2）在图②中画的一个内接正八边形． （3）图②中正八边形的面积为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，等腰直角三角形的性质与判定； （1）设的延长线与圆交于点D，根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即，故在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F,同理∶在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接，如图，正六边形即为所求； （2）圆的内接八边形的中心角为，而正方形的对角线与边的夹角也为，根据正方形对角线能形成角，以此确定，同理即可确定另外4个点位置，再顺次连接即可． （3）根据网格，先计算，进而即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 如图①，正六边形即为所求； 【小问2详解】 如图所示， 如图②，正八边形即为所求． 【小问3详解】 解：如图所示，过点作， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴图②中正八边形的面积为， 故答案为：． 23. 如图，已知，以点为圆心，为半径作，与轴的另一个交点为，点是上的一个动点，连接，点是的中点，连接． （1）证明： （2）当点不与重合时，求的度数． （3）当点在优弧上运动时，求点的运动路径长． 【答案】（1）见解析 （2）或； （3） 【解析】 【分析】本题考查了周角角定理，三角形的中位线定理，求弧长； （1）由三角形中位线定理可得，； （2）由圆周角定理得，由平行线的性质可得或； （3）先确定点的运动轨迹，作的外接圆，并从中确定的运动轨迹是圆上的一条弧，根据弧长公式即可求解． 【小问1详解】 证明：∵点D是的中点，点O是的中点， ∴， 【小问2详解】 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当在劣弧上时，则， 同理可得 综上所述或； 【小问3详解】 如图3，作的外接圆，连接， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∵当点C在上运动时， ∴点D在上运动， ∴点D的运动路径长， 24. 【概念认识】对于平面直角坐标系中的图形T和图形W，给出如下定义：M为图形T上任意一点，N为图形W上任意一点，将M、N两点间距离的最小值称为图形T到图形W的“最近距离”，记作．如图①，到正方形的“最近距离”就是点A、D之间的距离，即． 【概念理解】如图②，在平面直角坐标系中，以为圆心，2为半径作圆． （1）若点H的坐标为，则______； （2）若点Q的坐标为，，则______； （3）【灵活运用】如图③，在平面直角坐标系中，已知点，，．点P是x轴上的一点，设点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆．若，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）3 （2） （3）m的取值范围为或或 【分析】（1）连接，与交于点，由勾股定理得，由题意知，即可求解； （2）连接，交于点，根据题意可得，再利用勾股定理，即可求解； （3）根据半径为1，，可得圆心到的边的最小距离为2时满足条件，再根据，，，，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，与交于点， 由题意得，， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，连接，交于点， 由题意得，， ∵，即， ∴， ∵， ∴， 解得． （3）解：如图，设与轴的交点为，与轴的交点为， ∵半径为1，， ∴圆心到的边的最小距离为2时满足条件， ∵，， ∴， ∵圆心的坐标为， ∴圆心到的距离为， 当时，， ∴，即，不符合题意； 当时，， ∴，符合题意； 当时，， ∴，不合题意； 当时，， ∴，符合题意； 当时，，即， 此时∵，， ∴轴， ∵点是x轴上的一点， ∴点到的距离为2， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作于点， 当时，， ∴， ∴当时，符合题意； 如图，过点作于点， 当时，， ∴， ∴当时，符合题意； 由图可知，当，时，均不符合题意； 综上所述，m的取值范围为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x+y＝1 B．x+y2﹣2＝0 C．x（x2﹣3）＝0 D．2x2﹣3x＝3 2．一元二次方程x2﹣3x+4＝0的根的情况是（　　） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 3．反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A．（﹣1，﹣5） B．（1，5） C．（2，3） D．（﹣2，3） 4．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点（﹣2，3），点P是图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积是（　　） A．6 B．2.5 C．3 D．2 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点A（1，0），点C（0，7），反比例函数的图象经过点B，则k的值为（　　） A．9 B．12 C．16 D． 6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为（　　） A．3 B． C．5 D． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O是△ABC的内切圆，连接OA，OB，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C．2π D． 9. 如图．将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内、使D、C，B在一张直线上，且，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则点E在量角器上所对应的锐角度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离处．如果以的速度沿由A向B的方向移动，那么（　　）秒钟后与直线相切． A. 3 B. 7 C. 3或7 D. 6或14 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则m的值是________． 12. 已知整数，使方程无实数根，则的值可以是______． 13. 圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______． 14. 如图，点为外接圆的圆心，点为的内心，连接，，若，则的度数为______ 15. 如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数的图象于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为 _______ ． 16.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM，若⊙O的半径为4，则CM的取值范围是____________________ ． 三、解答题（本大题共有8小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）； 18. 已知关于的方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根． （2）若的两边、的长是已知方程的两个实数根．当为何值时，是菱形？求此菱形的边长． 19. 如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，6），B（3，n）两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）连接OA，OB，求△AOB的面积． 20. 某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件，假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变． （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？ 21. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为的中点，DE⊥AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径． 22. 如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，网格中，都是格点，以为圆心，为半径作圆，仅用无刻度的直尺完成以下画图； （1）在图①中画的一个内接正六边形． （2）在图②中画的一个内接正八边形． （3）图②中正八边形的面积为______． 23. 如图，已知，以点为圆心，为半径作，与轴的另一个交点为，点是上的一个动点，连接，点是的中点，连接． （1）证明： （2）当点不与重合时，求的度数． （3）当点在优弧上运动时，求点的运动路径长． 24. 【概念认识】对于平面直角坐标系中的图形T和图形W，给出如下定义：M为图形T上任意一点，N为图形W上任意一点，将M、N两点间距离的最小值称为图形T到图形W的“最近距离”，记作．如图①，到正方形的“最近距离”就是点A、D之间的距离，即． 【概念理解】如图②，在平面直角坐标系中，以为圆心，2为半径作圆． （1）若点H的坐标为，则______； （2）若点Q的坐标为，，则______； （3）【灵活运用】如图③，在平面直角坐标系中，已知点，，．点P是x轴上的一点，设点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆．若，请直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $