精品解析：甘肃白银市靖远县部分校 2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026—2027学年度第一学期期中质量监测卷 九年级 数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 图1是纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式现场，东风液体洲际战略核导弹首次亮相，其打击范围可覆盖全球．图2是东风导弹的部分示意图，关于其三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 4， 3， 8，6 B. 1， 2， 3， 5 C. 3， 4， 5， 6 D. 2， 3， 6， 8 3. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线相互垂直的四边形是菱形 C. 菱形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相互平分 5. 用配方法解方程时，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 2026年暑期，某景区接待游客数量逐月增长．已知7月份接待游客20万人次，9月份接待游客28.8万人次．若该景区接待游客数量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 小虹同学按如下步骤作四边形：①画，②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D，③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C，④连接，，．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网的位置上．已知网高为，击球点到网的水平距离为，若球的运动路线为直线的一部分，则球拍击球的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点、分别是、的中点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 秦腔是四大声腔中最古老、最丰富的声腔体系．秦腔演员在灯光下表演的影子是_____投影．（填“平行”或“中心”） 12. 如图，在平行四边形中，添加一个条件______使平行四边形是矩形． 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_____． 14. 如图，已知，直线分别交1、2、3于、、，直线分别交1、2、3于、、，，，，那么_________． 15. 在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为_________（结果保留根号）． 16. 新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 选用适当的方法解下列方程： （1） （2） 18. 如图，，，，以原点为位似中心，将放大为原来的2倍得． （1）在图中第一象限内画出符合要求的；（不要求写画法） （2）计算的面积； （3）内一点，内与点对应的点的坐标为________． 19. 已知，，为的三边长，且，，求三边的长． 20. 如图，Rt中，，是边上的中线，过点作，过点作与交于点．猜想四边形的形状并说明理由． 21. 已知关于x的方程． （1）求证：无论m取何实数，该方程总有实数根； （2）若该方程的一个根为2，求m的值及方程的另一个根． 22. 如图，在四边形中，平分，且． （1）求证：． （2）若，求的度数． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A走到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4米恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，经过测量发现长为6米． （1）请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置； （2）估计路灯的高． 24. 年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． （1）求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． （2）从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 25. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 26. 提出问题 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，于是原方程可转化为，解此方程，得，． 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题 （1）运用上述换元法解方程． 延伸拓展 （2）已知实数m，n满足，求的值． 27. 【模型建立】（1）如图，四边形是正方形，当点在边上，在边上，时，用等式写出，与之间的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，当点在的延长线上，在的延长线上时，其他条件与（）相同．用等式写出，与之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（3）如图，在中，，，点，均在边上，且．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期期中质量监测卷 九年级 数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 图1是纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式现场，东风液体洲际战略核导弹首次亮相，其打击范围可覆盖全球．图2是东风导弹的部分示意图，关于其三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】B 【解析】 【分析】根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可判断． 【详解】解：东风洲际导弹的三视图为： 所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同． 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 4， 3， 8，6 B. 1， 2， 3， 5 C. 3， 4， 5， 6 D. 2， 3， 6， 8 【答案】A 【解析】 【分析】将每组线段排序后，通过比较首尾线段乘积与中间两线段乘积是否相等，判断是否成比例． 【详解】解：A、 排序为3，4，6，8，，成比例，符合题意； B、，不成比例，不符合题意； C、，不成比例，不符合题意； D、，不成比例，不符合题意． 3. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A、未知数的最高次数为1，是一元一次方程，故不符合题意； B、是整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，是一元二次方程，故符合题意； C、不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故不符合题意； D、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，故不符合题意． 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线相互垂直的四边形是菱形 C. 菱形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相互平分 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．对角线相等的平行四边形是矩形，说法正确； B．对角线相互垂直且平分的四边形是菱形，仅对角线垂直的四边形不一定是菱形，说法错误； C．菱形的对角线平分一组对角，说法正确； D．矩形的对角线相互平分，说法正确． 5. 用配方法解方程时，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 移项得， 配方得， 即． 6. 2026年暑期，某景区接待游客数量逐月增长．已知7月份接待游客20万人次，9月份接待游客28.8万人次．若该景区接待游客数量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】明确7月到9月共经历2次月增长，结合增长前后的游客数量列方程． 【详解】解：设该景区接待游客数量的月平均增长率为x， 可列方程． 7. 小虹同学按如下步骤作四边形：①画，②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D，③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C，④连接，，．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据作图得出，证明四边形为菱形，根据菱形的性质得出，平分，根据平行线的性质得出，最后得出答案即可． 【详解】解：根据作图可得：， ∴四边形为菱形， ∴，平分， ∴， ∴． 8. 如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网的位置上．已知网高为，击球点到网的水平距离为，若球的运动路线为直线的一部分，则球拍击球的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，可得，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如下图， 根据题意，可得，且， ∴， ∴，即， ∴，解得， 即球拍击球的高度为． 9. 如图，在中，点、分别是、的中点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理得出是的中位线，再由中位线的性质得出，进而利用相似三角形的性质可得出结论． 【详解】证明：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴,故选项不符合题意； ∴，故选项不符合题意； ∴, ∴,故选项不符合题意； ∴，故选项符合题意． 10. 雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过作轴于H，连接，根据旋转性质得到每6次一个循环，旋转第次得到的点的坐标与的坐标相同．根据菱形的性质和含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求得的坐标，根据对称性质可得与关于原点对称，进而求得的坐标即可． 【详解】解：过作轴于H，连接， ∵将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转， ∴每6次一个循环， ∵， ∵四边形是菱形，B的坐标是，， ∴，， ∴， ∴， ∴的坐标为， 由题意得，与关于x轴对称，与B关于x轴对称，与关于原点对称， ∴的坐标为， ∴旋转第次得到的点的坐标为． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 秦腔是四大声腔中最古老、最丰富的声腔体系．秦腔演员在灯光下表演的影子是_____投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【解析】 【分析】本题考查的是投影的分类，灵活运用中心投影与平行投影的定义是解题的关键．根据投影的定义可知，由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，而灯光属于点光源，因此秦腔演员在灯光下表演的影子是中心投影． 【详解】解：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，灯光属于点光源，秦腔演员在灯光下的影子是由该点光源发出的光线形成的投影，因此是中心投影． 故答案为：中心． 12. 如图，在平行四边形中，添加一个条件______使平行四边形是矩形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题已知四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理，添加合适条件，证明该平行四边形为矩形．可以添加对角线相等，或者有一个内角是直角这类条件． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形． 故添加一个条件使平行四边形是矩形（答案不唯一）． 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】需满足两个条件：一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是有实数根要求根的判别式大于等于0，分别求解后取交集即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵原方程有实数根， ∴， 即， 解得， 综上，的取值范围是且． 14. 如图，已知，直线分别交1、2、3于、、，直线分别交1、2、3于、、，，，，那么_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得． 15. 在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为_________（结果保留根号）． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据黄金分割的计算公式正确计算即可． 【详解】解：点C是线段的黄金分割点， ． 16. 新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“同族二次方程”的定义得到，进而可得方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， 解得， ． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 选用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得． 18. 如图，，，，以原点为位似中心，将放大为原来的2倍得． （1）在图中第一象限内画出符合要求的；（不要求写画法） （2）计算的面积； （3）内一点，内与点对应的点的坐标为________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干要求，分别找出点，再依次连接，即可作答； （2）利用网格的特征，列式计算，求出的面积即可； （3）根据位似图形的性质，且结合内一点，则内与点对应的点的坐标为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：内与点对应的点的坐标为． 19. 已知，，为的三边长，且，，求三边的长． 【答案】、、 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，三角形的周长，通过设比例系数，将各量转化为含的表达式是解题关键． 采用等比设法，设（），将三边表示为，，，结合三角形周长列方程，求出，进而得到三边长度． 【详解】解：设（），则，，， ， ，即， 解得， ，，， 故三边的长分别为、、． 答：、、． 20. 如图，Rt中，，是边上的中线，过点作，过点作与交于点．猜想四边形的形状并说明理由． 【答案】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵，， 四边形为平行四边形． 中，，为斜边边上的中线．  ． 平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、直角三角形斜边上的中线的性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定和直角三角形斜边上的中线性质是解此题的关键． 先证四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线性质得出，然后根据菱形的判定即可得出结论． 【详解】略 21. 已知关于x的方程． （1）求证：无论m取何实数，该方程总有实数根； （2）若该方程的一个根为2，求m的值及方程的另一个根． 【答案】（1）证明：， ∵，即， ∴无论m取何实数，该方程总有实数根； （2），另一个根为 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式进行证明即可； （2）先把代入方程，求出，再把代入方程，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入方程，得：， 即， 解得：， 此时方程为， 即， ∴或， 解得：，, ∴另一个根为． 22. 如图，在四边形中，平分，且． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由平分，可得，由，可得，即可证得结论； （2）由，可得，则，再由三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A走到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4米恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，经过测量发现长为6米． （1）请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置； （2）估计路灯的高． 【答案】（1） 如图： 点O和点Q即为所求： （2）路灯的高是4.5米 【解析】 【分析】此题考查了中心投影作图、相似三角形的判定与性质，熟练掌握投影的特点与相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）由题意可得，进而得到，即，解得，再结合即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知：， ， ，， 又， ，则， 即：， 解得：， ， ， ， 所以路灯的高是4.5米． 24. 年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． （1）求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． （2）从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 【答案】（1） （2）当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元 【解析】 【分析】（1）增长率模型：初始量最终量； （2）根据“单件利润销售量总利润”，表示出降价后每件的利润与当月销量，列出一元二次方程，求出符合实际意义的售价． 【详解】（1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 25. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，且， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）证明，且，，可得，证明四边形是平行四边形，结合，可得结论； （2）证明，，，可得，求解，可得，结合，再求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得：∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键． 26. 提出问题 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，于是原方程可转化为，解此方程，得，． 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题 （1）运用上述换元法解方程． 延伸拓展 （2）已知实数m，n满足，求的值． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）根据材料提示，利用换元法解方程即可求解； （2）按整式的乘法，先展开，再合并同类项，利用完全平方公式以及材料中换元法解方程即可求解． 【详解】解：解决问题：（1）设， ∴原方程变形为，解得，，， 当时，，故舍去； 当时，，解得，，； 综上所示，原方程的解为，． 延伸拓展：（2） ∴， ∴原式变形为， ∴，设， ∴，则，解得，，即， ∵， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查解方程的运用，掌握整体思想，换元思想解方程，完全平方公式的变形是解题的关键． 27. 【模型建立】（1）如图，四边形是正方形，当点在边上，在边上，时，用等式写出，与之间的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，当点在的延长线上，在的延长线上时，其他条件与（）相同．用等式写出，与之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（3）如图，在中，，，点，均在边上，且．若，，求的长． 【答案】 （1）， 理由：如图，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴； （2）， 理由：如图，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）类似（1），通过旋转构造全等三角形，结合全等性质得线段相等； （3）将绕点逆时针旋转至，使与重合，连接，根据全等三角形的性质、勾股定理计算． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）将绕点逆时针旋转至，使与重合，连接， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $