甘肃定西市安定区城区学校联考2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

安定区城区2026—2027学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.每小题只有一个选项符合题意) 1.围棋起源于中国，古代称为“弈”.以下是两位同学的部分对弈图.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( ) 2.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是 ( ) A.2x-1=0 3.关于一元二次方程 根的情况，下列说法正确的是 ( ) A.有两个相等实数根 B.有两个不相等实数根 C.没有实数根 D.无法判断 4.抛物线 的顶点坐标是 ( ) A. (1, 3) B. (-1, 3) C. (1, - 3) D. (-1, - 3) 5.在同一平面直角坐标系中，正比例函数 y=kx和反比例函数 (k是常数且 k≠0)的图象 可能是 ( ) 6.将抛物线 向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 ( ) 学科网（北京）股份有限公司 7.对于二次函数 的图象与性质，下列说法错误的是 ( ) A.开口向下 B.顶点坐标为(-1, 7) C.对称轴为直线x=-1 D.当x>1时，y随x的增大而增大 8.为加强劳动教育，拓宽学生实践渠道，培养学生实践能力，安定区积极规划建设了多处劳动实践基地.我校学生在“开心农场”实践时，准备用总长 5 米的篱笆，在两面足够长的直角围墙一角，围出一块 6 平方米的矩形菜地种植作物，如图所示.设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程 ( ) 第8题图 第9题图第 10题图 C. x(5-x) =6 9.如图，点A为反比例函数 图象上一点，过A作 AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO 的面积为 （ ） A. - 4 B. 2 C. - 2 D. 4 10.如图是二次函数 (a，b，c是常数，a≠0)图象的一部分，与x轴的交点A在点(2, 0)和(3, 0)之间,对称轴是x=1.对于下列说法: ①abc<0； ②2a+b>0； ③3a+c<0;④a+b>m(am+b) (m为实数且m≠1)； ⑤当-1<x<3时, y>0,其中正确的是 ( ) A. ①②④ B. ①③⑤ C. ①③④ D. ②④⑤ 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11.点(-3，1)关于原点对称的点的坐标是 . 12.已知一元二次方程 的一个根为3，则它的另一个根为 ，m= 。 13.已知在反比例函数 的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是 . 14.定西作为全国马铃薯之乡，马铃薯种植面积持续增长：2024 年为400万亩，到2026年达到484 万亩.设这两年种植面积的年平均增长率相同，则这两年种植面积的年平均增长率为 . 15.已知抛物线 与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是 . 16.如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度 y (m)与水平距离x (m)之间的关系式是 则水流喷出的最大高度是 . 三、解答题(一)(本大题共 5 小题，共32分.解答应写出必要的演算步骤、文字说明) 17.(本题6分)用适当方法解下列方程： 18.(本题6分)已知二次函数 (1)将此解析式化为顶点式； (2)直接写出当x取何值时，y随x的增大而增大. 19.(本题6分)关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围； (2)若a、b是方程的两个实数根，且 求m的值. 20.(本题7分)在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(-1, 1)、B(3, 1)、C(1, 3). (1)在网格中画出△ABC关于原点O成中心对称的△A₁B₁C₁(点A、B、C的对应点分别为A₁、B₁、C₁), 并直接写出A₁、B₁、C₁的坐标； (2) 求△ABC的面积。 21.(本题7分)近年来，青少年近视患病率持续上升，科学用眼、做好近视防控十分重要.近视眼镜镜片的度数y(单位：度)是关于镜片焦距x(单位：m)的反比例函数，其图象如图所示. (1)求近视眼镜镜片的度数y关于镜片焦距x(x>0)的函数解析式； (2)若某同学近视眼镜的镜片为 500 度，求其焦距. 四、解答题(二)(本大题共 5 小题，共 40 分.解答应写出必要的演算步骤、文字说明) 22.(本题7分)如图,在等边三角形ABC中, D为△ABC内的一点,∠ADB=120°, ∠ADC=90°,将△ABD绕点 A逆时针旋转60°得△ACE,连接DE. (1)求证: AD=DE; (2)若BD=1,求 CD的长. 23.(本题7分)如图，一次函数 y=x+4的图象与反比例函数 (k为常数且k≠0) 的图象交于A(-1, m) , B(n,1)两点,与x轴交于点C. (1)求此反比例函数的表达式； (2)若点P在 x轴上,且 求点 P 的坐标. 24.(本题8分)2023 年，定西宽粉成功注册国家地理标志证明商标，品牌享誉全国、走向世界.某超市销售某品牌定西宽粉，进价为每件 20元，当售价为每件25元时，每天可售出 250件；据市场调查：售价每上涨1元，每天销量减少 10件(每件售价不低于进价). (1)若超市计划某天销售定西宽粉获利 2000 元，且为了让顾客得到实惠，售价应定为每件多少元? (2)当售价定为每件多少元时，每天获得的利润最大，并求出最大利润. 25.(本题8分)阅读材料： 若关于x的一元二次方程 的两个实数根为x₁x₂，满足 我们称这个方程为“友好方程”，两根叫做一对“友好根”. 根据定义，完成下列问题： (1)判断方程 是否是“友好方程”，并说明理由； (2)已知方程 的一根是3，且该方程是友好方程，求m -n的值； 26.(本题10分)如图，已知抛物线 经过A(3, 0) ,B(0, 3)两点. (1)求此抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为M，求△MAB 的面积. (3)若点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AB于点D，是否存在 点P使得PD最大?若存在，求出点P的坐标及PD的最大值；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $九年级数学期中试卷答案 一、选择题 DBBACDDCBC 二、填空题 11.(3,-1) 12.另-个根：1，m=3 13.k<1 14.10% 15.m>1且m≠2 三、解答题（一） 17. (1)x2=2x x2-2x=0,x(x-2)=0 E1=0,c2=2 (2)2x2-4x+1=0 a=2,b=-4,c=1,△=16-8=8 x=4±V8_2±V2 4 2 =245,-2≥9 2 19. (1)△=(-6)2-4m>0→36-4m>0→m<9 (2)a+b=6,ab=m a2+b2=(a+b)2-2ab=36-2m=20 36-2m=20→m=8 20. (1)A1(1,-1),B1(-3,-1),C(-1,-3) y ②SAABC=2X4×2=4 21. k (四设y=立 代入(0.25,400) 400= 0.25 →k=10,解析式：y=100 (x>0) 100 (2)y=500,500= ,→x=0.2米 四、解答题（二） 22. (1)证明：由旋转得AD=AE,∠DAE=60° ∴.△ADE是等边三角形，.AD=DE (2)∠ADB=120°，旋转得∠AEC=∠ADB=120° ∠AED=60°→∠DEC=120°-60°=60° .·∠ADC=90°→∠EDC=90°-60°=30 CE=BD=1,在Rt△CDE中，∠EDC=30 .DE=3,CD=3 23. (1)A(-1,m)在y=x+4上，m=-1+4=3,A(-1,3 k=-1×3=-3,反比例函数：y=一 3 3 B(m,1)代入：1=-°→n=-3,B(-3,1) (2)C是y=x+4与x轴交点：C(-4,0) SABOC 2×4×1=2,SAACP-= ×2=3 设P(t,0),PC=t+4纠 2t+4到3=3→1t+4到=2 S△ACP= P(-2,0)或P(-6,0) 24. (1)设每件涨价c元，售价(25+x)元，销量(250-10x) (25+x-20)(250-10x)=2000 (5+x)(250-10x)=2000 x2-20x+75=0,解得x1=5,x2=15 要实惠，选x=5,售价：25+5=30元 (2)设利润w w=(5+x)(250-10x)=-10x2+200x+1250 对称轴x=10,售价25+10=35元 0max=-10×100+2000+1250=2250元 25. (1)x2-4x=0,x1=0,x2=4,x1-x2=4≠2 .·.不是友好方程 (2)一根是3，分两种情况： ①另-根是3+2=5：方程(x-3)(x-5)=x2-8x+15,m=8,n=15,m-n=-7 ②另-根是3-2=1：方程(x-3)(x-1)=x2-4x+3,m=4,n=3,m-n=1 ..m-n=-7或1 26. (1)代入A(3,0),B(0,3) -9+36+c=0 c=3 →b=2,c=3 解析式：y=-x2+2x+3 (2)y=-(x-1)2+4,顶点M(1,4) 直线AB:y=-x+3 S△MAB=3 (3)存在。 设P(t-t2+2t+3),过P作PQ⊥x轴交AB于Q(t,-t+3) PQ=(-t2+2t+3)-（-t+3)=-t2+3t △PQD是等腰直角三角形，PD=Y? 2 PQ =+=--+= 时PQ最大 p(,)PD= 9V2 8