天津市南开中学2026-2027学年第一学期质量监测（一）高二数学试卷

南开中学2026—2027学年度第一学期质量监测（一） 高二数学试卷 考试时间：120分钟 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷两部分，共150分．考试结束后，请将答题纸交回． I卷（共60分） 一．选择题（共60分，每题5分） 1．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知直线：和直线：，若，则与间的距离为（ ） A． B． C． D． 4．已知直线：和直线：，则“”是“”的（ ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 5．设点，，的周长为，则的顶点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 6．与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ） A．条 B．条 C．条 D．条 7．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆：上，则它爬行的最短路程是（ ） A． B． C． D． 8．直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．已知圆：与圆：相外切，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 10．已知点，是椭圆的两个焦点，点是该椭圆上的一个动点，为坐标原点，则的值为（ ） A． B． C． D． 11．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，直线与椭圆交于另一点，若，，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 12．已知椭圆：的两个焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，点在椭圆上，且满足．当变化时，给出下列三个命题： ①点的轨迹关于轴对称； ②存在使得椭圆上满足条件的点仅有四个； ③的最小值为． 其中，所有正确命题的序号是（ ） A．①② B．①②③ C．①③ D．②③ Ⅱ卷（共100分） 二．填空题（共40分，每题5分） 13．已知圆：的圆心坐标为，半径为，则________． 14．直线过点，且斜率为，则直线在轴上的截距为________． 15．已知直线与轴，轴分别交于，两点，与圆交于，两点，若，则________． 16．若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围为________． 17．已知点为椭圆：的左焦点，点为椭圆上任意一点，点的坐标为，则取最大值时，点的坐标为________． 18．过椭圆：的右焦点且与长轴垂直的弦的长为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为________． 19．与大家阔别已久的温思黛同学为南开一百二十二周年校庆设计了一枚由数字“”，“”，“”抽象而成的徽章（如图）．在图中，圆的半径为，直线，分别与圆切于，两点，直线，，，依次平行且等间距，过点与圆相切的另一条直线与其切于点（点异于点），且与直线，分别交于，两点． （1）若，则________； （2）若以线段为直径的圆与圆相切，则________． 20．已知直线与椭圆：交于，两点，为点关于轴的对称点，若的面积为，且点在椭圆上，则椭圆的方程为________． 三．解答题（共50分） 21．在长方体中，底面是边长为的正方形，侧棱，点，分别在棱和棱上，且，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 22．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求外接圆的方程． 23．已知椭圆：的离心率为，且长轴长为，点，分别为椭圆的左、右焦点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作斜率存在且不为零的直线与椭圆交于，两点． （i）若，的斜率分别为，，当时，求弦的长； （ii）记线段的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的最小值． 24．已知椭圆经过点和点 （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线：，若点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求实数的值； （3）已知斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，，点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点，和点三点共线，求实数的值． 学科网（北京）股份有限公司 $南开中学2026-2027学年度第一学期质量监测（一）高二数学参考答案 选择题： 题号 1 2 3 8 10 11 12 答案 B B B B B D B D B 二、填空题： 13.0 14.7 15.2 16.（-1,U{-2 17.(0,-1) 18.32+3 19.1:2:2 3 20. +少= 164 三、解答题： 21.(I)以D为原点，分别以DA,DC,DD所在直线为x,y,z轴如图建系， 可得D(0,0,0),B(2,2,0),E(2,0,1),C(0,2,3),A2,0,0),C(0,2,0),F(0,0,2) D 所以BD=(-2,-2,0),CE=(2,-2,-2), A F 所以BD.CE=-(2)×2+(-2)×(-2)+0×(-2)=0, 因此BD⊥CE,即BD⊥CE (2)EF=(-2,0,1),设=(x%,乙)为平面CEF的一个法向量，发 则 m·EF=-2x+名=0 7CE=2x-2%-23=0’令=1，得3=2=-1，即%=0，-12) AC=(-2,2,0),AC=2W2, 设直线AC与平面CEF所成角为O, AC.n |1x(-2)+(-1)×2+05 因此sin0 AC. 2W2×√6 31 即直线4C与平面CEF夹角的正弦值为 3 (3)BC=(-2,0,0),BF=(（-2,-2,2), 第1页（共6页） 设平面BCF的法向量n2=(x2,y2,z2), m2·BC=-2x2=0 可得 6-F=-2x-2%+2,=0’令乃=1，得为=03=1，即%=(0,1）， 设平面CEF和平面BCF的夹角为P, m2 1×0+(-1)×1+2×1 1V5 可得cosp= nn2 V12+(-1)2+22×V02+12+12V6×26’ 因此平面CBF与平面BCF夹角的余弦值为 6 22.(1)AC⊥BH,BH的方程为x-3y+7=0, 不妨设直线AC的方程为3x+y+m=0, 将A(3,4)代入得9+4+m=0,解得m=-13, .直线AC的方程为3x+y-13=0, 3x+y-13=0 联立直线AC,CD的方程，即 2x+3y-11=0'解得点C的坐标为(4,1)： 2)设(w.则） x-3%+7=0 :点B在BH上，点D在CD上， +3+3%+12-11=0'解得B(-,2), 2 设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 9+16+3D+4E+F=0 16+1+4D+F+F=0解得D三717’、 7 1+4-D+2E+F=0 .∴△ABC外接圆的方程为7x2+7y2-22x-26y-5=0. 第2页（共6页） 28,1D因为椭圆的离心率为分，即e=;,即a=20, a 2 又2a=4,所以a=2,所以公2=a2-c2=3,则椭圆的标准方程为 =1 3 (2)(i)由(1)知，F(-1,0),F(1,0), 设点A(0,%0≠0)，则k=,k=% 七)+11 七-11 因为k=5k,则名=5×b x0-1x+11 15 因为%≠0，所以 无一】=十即。子代入椭圆方程少 431, 如解得方习 43 16 设过点F(L,0)的直线为：x=my+1, x=my+1 联立方程组x2,y2 2=1'得3m2+4y2+6my-9=0, 043 6m 9 所以y%+yB= 3m2+43%g=- 3m2+4' 3 又名=m%+1=2则m= ,所以m 1 n42=2= 2y% 2121, 16 所以|ABl=V1+m2以-yal=V1+m2VOo+yaP-4yya =1+m2, 6m一}-4-3m2+4 9 3m2+4 =120+m.120+2 25 121= 3m2+43× +48 4 21 第3页（共6页） (i)由(i)知，线段AB的中点N满足 w=+=- 3m 2 3m2+4xv=mw+1= 3m2+4' 所以直线ON为y=-3mx ,交x=4于点M(4,-3m) 4 因为直线ME,过FL,0)和M4,-3m),且k=4-司 -3m-0 =一m, 所以方程为x=-y+1, m 因为kBk=m×(-)=-l,所以AB⊥ME,即AB⊥CD, m 由①知48=120+m),同理可得1CD= 12(m2+1) 3m2+4 3+4m2 所以四边形ACBD面积为 c(m 72(m2+102 7212 2 令1=m2+1>1,S=8+X4-12+ 11, 2 令u=-∈(0,1)，则分母f()=-2+u+12为开口向下的二次函数，对称轴为u= 2 所以0)的最大值为兮=分+分12-？ 288 所以当t=2即m=±1时，S取最小值为 49 24.(1)设所求椭圆方程为mx2+y2=1(m>0,n>0且m≠n) 3 1 m+-n=1 m= 4 2 解得 3 9 所以椭圆E的方程为女+y -=1 32 m+-n=1 4 n-2 (2)如图所示， 因为M与N关于直线I对称，所以直线MW⊥I,所以kMN=-1, 第4页（共6页） 22-号 代入上式可得x= -7x-12 = 2+2+32-】 4x1+7 {+7即c 所以⅓=k(s+2)=”-7x-12+2 问可得o小又aQ- 所以0c=日 g, 因为C、D、Q三点共线，所以QC∥QD 1 +小g →广 即2-(4x2+7)=片-(4x+7),化简可得2-片=4(2-x), 所以k=占-上=4 X2-x 第6页（共6页） 又M(-V5,0）,所以MN:y=-(x+5)=-x-5, y=x+m x2.y2 =1 联立{3 2 ,得5x2+6V5x+3=0, ly=-x-/3 △=(6W3-4×5×3=48>0, 所以x+5=-65, 5 设P(,%)为MW中点，则6=+五=3 2 5’%=-6-V5=-2 5 即P 352W5 5，- 5 又因为点P在直线1上，所以_23-3 55 +m,解得m=3 (3)设A(x,),B(2,),C(x,),D(x4,y4), 则有写+=三+发， 3 2 32 又720叭.则=2直线=+2) x2.y2 联立 3+21,得+3)2+12x+12x-6=0, y=k(x+2) 所以+为= 12K 2+3’ )2 12 12k x+2 122 所以3= 2+3K2 2一X= 2+3当 2(x+2)2+3y (+2 因为A在椭圆上，所以三+芳=1→=2-名， 3 2 3 第5页（共6页）