期中真题重组卷（天津专用，人教A版选修一）高二数学上学期模拟卷

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1 2 3 4 5 6 > 8 9 C C A 0 C A D 二、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） (0,±3) 10. 1 11.3 2.经 13.(0,4) (5,2] 14.14 15.①②④ 三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16,【解析】(1)设圆C的标准方程为x-a+0-b=r2 1-a)2+(3-b)2=r2 a=2 则由题意得 (2-a)2+(4-b)2=r2 b=3 2a-b-1=0 解得 r=11 放圆℃的标准方程为✉-2)+-3犷=，4分) (2)因为3-2+(-1-3>1，所以点P在圆C外， 当直线1的斜率不存在时，：x=3, 此时圆心到直线的距离为1，等于半径，故满足题意； 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当直线1的斜率存在时，设 :y+1=k(x-3),即c-y-3张-1=0， 2k-3-3k-l=1 则点C(2,3)到直线1的距离V1+2 解得15 8, 此时y=+,即15r+8y-37=0, 综上，直线1的方程为x=3或15x+8y-37=0;(10分) d=6-3-2.1 (3)因为圆心C(2,3)到3x-y-2=0的距离为V32+(←1V10, 斯长w-a-20- .(14分) 17.【解析】(1) 证明：因为底面ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD,故可建立如图所示的空间直角坐标系， ZA B 则根据题意，有 (0,0,0)A1,0,0)E(0,0,2）C(0,1,0)B(11,0）F(11,) 则BF=(0,01,Bc-(-0,0).Ac=(10,2) 设平面BCF的法向量为 =(x,,z) nBF=0 z1=0 则方BC=0,即-x=0,，故可取i=(0,1,0) 因iME=0x(-)+1x0+0x2=0,而AEE平面BCF,所以AE/平面BCF.(4分) 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)由(1)可知， EF=(,1-1)AE=(-1,0,2）AC=(-1,1,0) 设平面4CE的法向量为 =(x2,y2,z2) m.AE=0 -x2+2z2=0 则m4C=0,即-x+为2=0，故可取m=(2,2,1) 设EF与平面ACE所成角为B, m.EF 则sin0= 2×1+2×1+1×(-1) m2+2+1VP+P+353, 5 所以EF与平面ACE所成角的正弦值为3·(9分) (3)由(1)可知， EF=(1,1,-1)AF=(01,) 设平面1CF的法向量为5=(，，2) [5·AF=0 %3+23=0 则5AC=0,即-x+⅓=0，故可取s=(-山，-1，) 由(2)可知，平面1C5的法向量为m=(22,), 设平面ACE与平面ACF所成角为a, 则cosa= m_2×(-1)+2×(-1)+1×刘 35 m时2+22+1-1y+1+P353， 5 所以平面ACE与平面ACF夹角的余弦值为3·(15分) 山)设椭圆和双线的离心幸分别泥9和5，树圆的方程为4+， x2 y2 4261 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 椭圆中G=a2-b2=25-9=16,即9=4a=59-9、4 95 14 由已知%+6=5，所以6，=2： 又因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以S=6=4, 9=4=2 e2= 因此，双曲线中 a>a 所以9=2 即42=4，又42=62-42=16-4=12 ,又 x2 y2 =1 故双曲线方程为412.(6分) （2)若直线的斜率不存在，则直线的方程为=3，根据椭圆的对称性可知此时4B的中点为3,0)。 而不 是点P(3,),故直线1的斜率一定存在； 因此，设直线1的方程为y-1=x-3)即y=c+1-3k,A().B(3,) y=+1-3k x2 y2 将直线和双曲线的方程联立42】， 整理得3-)x-21-3)x-1-3-12=0:得5+5-2-3) 3-k2 又因为P3,)为B中点，所以2 +五=3，即x+x=6, 所 2k-3)=6,解得k=9 3-k2 将k=9代入方程3-)r-2k(1-3)x-(1-3)-12=0即392-234x+344=0, 此时判别式△=2432-4×39×344=5385>0，方程有两个实数根， 所以直线1的方程为y-1=9x-3),即y=9x-26.(15分) 4/8 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.【解析】(1) 证明：因为平行四边形4BCD。 CD中，AB=2.AD=2V2∠BAD=135 所以∠ABC=45,在△4BC中，4B=2BC=AD=25 则4C=V2+(2V2-2x2×2V2×cos45=2. 所以AB2+AC2=BC2,AB⊥AC, 因为四边形ACEF为矩形，所以FA⊥AC, 因为平面ACEF⊥平面ABCD,平面ACEF∩平面ABCD=AC, FAC平面ACEF, 所以FA⊥平面ABCD 建立如图所示的空间直角坐标系， B 则40,0.0.B20,0,c02.0）.D-220）.Fa0,2)E0,22） 当=2时，M=面，所以M0,L2) 2 所以BM=(-2,12)DE=(2,02） 所以BM-DE=(-2L,2)(2,02）=0 所以DE⊥BM;(5分) (2)由上可知 E=(2,0,2),DC=(2,0,0),DM=(2,-1,2) 设平面DBC的一个法向量为”=(a,6c), 5/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 nDC=2a=0 则n·DE=2a+2c=0,取b=1,a=c=0,即n=(01,0) 则点，到平面。的距离d= M DEC 十. (3)由上知平面BCD的一个法向量4=(0,10)， 设M(6%）,由M=F=2020)=0-2.0)=(6,-2,云-2） =0 0820-M020-42 z0=2 所以BM=(-220-2,2.Bc=(-22,0) n,⊥BC 「-2x+2y=0 设平面MBC的法向量m=(x,y,z),因为2,1BM,即-2x+2(1-2)y+2z=0, 取y=1,则x=1,z=九， 所以平面MBC的一个法向量么=(，1)， 因为0<0≤，所以os8= m1·n2 2 V2+2 因为0ss1,所以2+2e2,3]cos0e 52 3’2.(15分) E:y 20.【解析】(1)：椭圆：a+京=1(a>6>0) 1 的半长轴长为2，离心率为2， a=2,e=c=1 =a2,解得c=1,b2=a2-c2=4-1=3 x2,y2 -=1 .椭圆E的方程为43.(4分) 6/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2) B M 当斜率不存在时过点P(4,0)的直线与随圆无交点，故直线斜率存在，设为人，测则直线方程为=(：-4). 联立直线与椭圆方程得3+4)x-322x+642-12=0 32k2 x+为=3+4k2 设点 ，由韦达定理得 64k2-121 A(x,),B(x2,y2) x2= 3+4k2 M(-2,0), ∴.k4=2,kB=2 x+21 。=k2.3-4(x+x)+16 kwkm(G+2)05+2x6+2(6+)+4 64k2-12 32k2 3442+2,3222,361 =,43+16 4 64k2-12, 3+4k2+4 144.(8分) (3) 设直线方程为'=k(x-4),联立直线与椭圆方程得3+4)r-32kx+64k-12=0 △=（←32x-46+4秋642-12>0，解得2<4 7/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 32K2 x+为=3+4k2 设点 ，由韦达定理得 64k2-12' A(x,y),B(x2,y2) xx2= 3+4k2 :AB=+2x-=1+V(x+x}-4xx=V1+2 32k2 4. 64k2-12 3+4k2 3+4k2 _12+20-4 3+4k2 d=14k-1-4W。1 点N(4,)到直线1的距离√2+1√？+1， -mad=号12+0- 16V1-4k2 Γ23+4k2 Vk2+13+4k2, 令1=4， 4,t∈(0,1 50,%求号得)-6+ )4-0,正数在@上单调造塔， 当(=1时面积最大，最大值为S0)4名=2。 .SBw的最大值为2.(16分) 8/8 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（23-24高二上·天津南开·期中）已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（    ）． A． B．0 C．5 D． 【答案】C 【解析】因为不能构成空间的一个基底， 所以共面， 故存在使得， 即， 故，解得. 故选：C 2．（25-26高二上·天津西青·期中）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．内含 D．外离 【答案】C 【解析】由题可得：圆,半径,圆,半径,则, 所以两个圆内含； 故选：C 3．（25-26高二上·天津河东·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 . 故选：D 4．（25-26高二上·天津·期中）已知圆的圆心在直线上，且与直线及都相切，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因圆的圆心在直线上，可设圆心为，半径为， 依题意圆心到直线的距离，① 圆心到直线的距离，② 联立①和②，解得，故圆的方程为. 故选：A. 5．（23-24高二上·天津·期中）已知直线过点和点Q（2，2，0），则点到的距离为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知， ，所以， 所求距离为， 故选：C． 6．（24-25高二上·天津·期中）过抛物线的焦点，且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线即，故其焦点为. 直线的斜率为， 则与直线垂直的直线斜率为， 则所求直线方程为，即. 故选：D. 7．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）点到动直线的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对直线：， 由. 即直线经过定点. 所以点到点的距离就是点到动直线的最大值， 所以. 故选：C 8．（24-25高二上·天津滨海新区·期中）双曲线的左焦点为，，点为双曲线右支上的动点且周长的最小值为14，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】∵，， ∵周长的最小值为14， ∴的最小值为14，即的最小值为， 设右焦点为，则，即， 则，即三点共线且依次排列时等号成立， 此时，即最小值为，得， ∵，∴离心率. 故选：A. 9．（24-25高二上·天津·期中）在如图所示的棱长为的正方体中，点在侧面所在平面上运动，则下列命题中正确的为（   ）. A．若点总满足，则动点的轨迹是圆 B．若二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹是椭圆 C．若直线与直线所成的角的大小为，则动点的轨迹是抛物线 D．若点到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是双曲线 【答案】D 【解析】选项A：空间中满足的点的轨迹是一个平面， 该平面与侧面的交集为一条直线, 所以动点的轨迹是直线，故A错误； 选项B：以为坐标原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 易知平面的一个法向量， 设，则， 设平面的一个法向量， 则 不妨令，则，则， 因为的二面角的大小为 则，即，解得， 所以，即动点的轨迹是一条直线，故B错误； 选项C：因为， 且直线与直线所成的角的大小为， 所以， 即， 整理得：， 此方程不表示抛物线，故C错误； 选项D：设点到直线的距离为，到直线的距离为， 则有，即， 所以， 所以动点的轨迹为双曲线，故D正确. 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．（24-25高二上·天津·期中）双曲线的焦点坐标为______. 【答案】 【解析】因为双曲线的标准方程为：， 所以：双曲线的焦点在轴上，且，，所以. 所以：双曲线的焦点为：. 故答案为： 11．（25-26高二上·天津和平·期中）设，已知为空间四边形，空间内一点满足，若，，共面，则______. 【答案】 【解析】若，，共面，则四点共面， 因为，则，解得. 故答案为：. 12．（25-26高二上·天津·期中）已知直线经过点，且与以，为端点的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 如图，先求出直线的斜率分别为：， 则可得直线的倾斜角分别为， 由图知，要使直线与线段没有公共点，需使直线的倾斜角满足， 即直线的倾斜角的取值范围为. 故答案为：. 13．（25-26高二上·天津·期中）若直线：，则直线恒过定点______；若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】易知时，，即该直线恒过， 对于，即该曲线为以原点为圆心，2为半径的半圆， 如下图所示，不妨设，设直线与圆相切， 则圆心到l的距离为，负值舍去，即， 又，要满足题意需实数的取值范围为. 故答案为： 14．（24-25高二上·天津·期中）已知抛物线的焦点为，其准线与轴交点为，，直线过点，且与抛物线交于，两点，若，则__________ 【答案】14 【解析】由题意，抛物线的焦点为，准线为，准线与轴交点为， ∵，∴， 即抛物线方程为，∴，，准线为， 作垂直于准线交于，则， ∵，∴， ∵在中，， ∴ ∴直线的斜率为，又直线过点， ∴直线的方程为， 由，得， 设，则， ∴. 故答案为：14. 15．（25-26高二上·天津红桥·期中）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B两点，右焦点为F，直线与椭圆C相交于P，Q两点，则下列说法正确的是______（填写序号） ①椭圆C的焦距为2； ②为定值； ③当以P，Q，F，B四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为； ④直线和的斜率的乘积为. 【答案】①②④ 【解析】对于①，由，得到， 可得椭圆C的焦距为2，故①正确； 对于②，如图，设椭圆的左焦点为，连接 由椭圆的对称性有，故②正确； 对于③，由题意得，且， 又因为四边形为平行四边形，有， 可得点的坐标为，代入椭圆中，得到， 解得，即的坐标为， 则平行四边形的面积为，故③错误； 对于④，由，设点的坐标分别为， 代入椭圆中有．又由， ，故④正确． 故选：①②④． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） （25-26高二上·天津·期中）已知圆C经过点和，且圆心C在直线上， (1)求圆C的标准方程； (2)过点作圆C的切线l，求直线l的方程； (3)求直线被圆C所截得的弦长. 【解析】（1）设圆C的标准方程为， 则由题意得，解得， 故圆C的标准方程为；（4分） （2）因为，所以点在圆外， 当直线l的斜率不存在时，， 此时圆心到直线的距离为1，等于半径，故满足题意； 当直线l的斜率存在时，设，即， 则点到直线l的距离，解得， 此时，即； 综上，直线l的方程为或；（10分） （3）因为圆心到的距离为， 所以弦长．（14分） 17．（15分） （25-26高二下·天津·期中）如图，在多面体中，底面为正方形，平面，平面，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1） 证明：因为底面为正方形，平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则根据题意，有，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，，故可取， 因，而平面，所以平面.（4分） （2）由（1）可知，，，， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为.（9分） （3）由（1）可知，，， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 由（2）可知，平面的法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为.（15分） 18．（15分） （23-24高二上·天津红桥·期中）已知双曲线与椭圆有公共的焦点，它们的离心率之和为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线l与双曲线交于线段恰被该点平分，求直线l的方程． 【解析】（1）设椭圆和双曲线的离心率分别是和，椭圆的方程为，双曲线方程为； 椭圆中，即，，， 由已知，所以； 又因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以； 因此，双曲线中， 所以 即， 又， 故双曲线方程为.（6分） （2）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，根据椭圆的对称性可知此时的中点为而不是点，故直线l的斜率一定存在； 因此，设直线l的方程为即，，， 将直线和双曲线的方程联立， 整理得，得， 又因为为中点，所以，即， 所以，解得， 将代入方程即， 此时判别式，方程有两个实数根， 所以直线l的方程为，即.（15分） 19．（15分） （25-26高二上·天津·期中）如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动，且. (1)当时，证明； (2)当时，求点到平面的距离； (3)设平面与平面的夹角为，求的取值范围. 【解析】（1） 证明：因为平行四边形中，，，， 所以,在中， ， 则， 所以，. 因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面. 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 当时，，所以. 所以，， 所以， 所以；（5分） （2）由上可知， 设平面的一个法向量为， 则，取，即， 则点到平面的距离；（10分） （3）由上知平面的一个法向量， 设，由， 得即， 所以，. 设平面的法向量，因为，即， 取，则，， 所以平面的一个法向量， 因为，所以. 因为，所以.（15分） 20．（16分） （25-26高二上·天津·期中）已知椭圆的半长轴长为2，离心率为，过点的直线交椭圆于两点． (1)求椭圆的方程； (2)设点为椭圆的左顶点，求的值； (3)已知点，求的最大值． 【解析】（1）椭圆的半长轴长为2，离心率为， ，解得，， 椭圆的方程为．（4分） （2） 当斜率不存在时过点的直线与椭圆无交点，故直线斜率存在，设为，则直线方程为， 联立直线与椭圆方程得， 设点，由韦达定理得， ，， ．（8分） （3） 设直线方程为，联立直线与椭圆方程得， ，解得， 设点，由韦达定理得， ， 点到直线的距离， ， 令，，， ，求导得，函数在上单调递增， 当时面积最大，最大值为， 的最大值为2．（16分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（23-24高二上·天津南开·期中）已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（    ）． A． B．0 C．5 D． 2．（25-26高二上·天津西青·期中）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．内含 D．外离 3．（25-26高二上·天津河东·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26高二上·天津·期中）已知圆的圆心在直线上，且与直线及都相切，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·天津·期中）已知直线过点和点Q（2，2，0），则点到的距离为（    ） A．3 B． C． D． 6．（24-25高二上·天津·期中）过抛物线的焦点，且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）点到动直线的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·天津滨海新区·期中）双曲线的左焦点为，，点为双曲线右支上的动点且周长的最小值为14，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 9．（24-25高二上·天津·期中）在如图所示的棱长为的正方体中，点在侧面所在平面上运动，则下列命题中正确的为（   ）. A．若点总满足，则动点的轨迹是圆 B．若二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹是椭圆 C．若直线与直线所成的角的大小为，则动点的轨迹是抛物线 D．若点到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是双曲线 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．（24-25高二上·天津·期中）双曲线的焦点坐标为______. 11．（25-26高二上·天津和平·期中）设，已知为空间四边形，空间内一点满足，若，，共面，则______. 12．（25-26高二上·天津·期中）已知直线经过点，且与以，为端点的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为___________． 13．（25-26高二上·天津·期中）若直线：，则直线恒过定点______；若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围为______. 14．（24-25高二上·天津·期中）已知抛物线的焦点为，其准线与轴交点为，，直线过点，且与抛物线交于，两点，若，则__________ 15．（25-26高二上·天津红桥·期中）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B两点，右焦点为F，直线与椭圆C相交于P，Q两点，则下列说法正确的是______（填写序号） ①椭圆C的焦距为2； ②为定值； ③当以P，Q，F，B四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为； ④直线和的斜率的乘积为. 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） （25-26高二上·天津·期中）已知圆C经过点和，且圆心C在直线上， (1)求圆C的标准方程； (2)过点作圆C的切线l，求直线l的方程； (3)求直线被圆C所截得的弦长. 17．（15分） （25-26高二下·天津·期中）如图，在多面体中，底面为正方形，平面，平面，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 18．（15分） （23-24高二上·天津红桥·期中）已知双曲线与椭圆有公共的焦点，它们的离心率之和为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线l与双曲线交于线段恰被该点平分，求直线l的方程． 19．（15分） （25-26高二上·天津·期中）如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动，且. (1)当时，证明； (2)当时，求点到平面的距离； (3)设平面与平面的夹角为，求的取值范围. 20．（16分） （25-26高二上·天津·期中）已知椭圆的半长轴长为2，离心率为，过点的直线交椭圆于两点． (1)求椭圆的方程； (2)设点为椭圆的左顶点，求的值； (3)已知点，求的最大值． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $