福建三明市明溪县第一中学、清流县第一中学2026-2027学年高二第一学期期中学情调研适应性练习数学试题

2026-2027学年第一学期学情调研高二数学适应性练习参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B C D A B C B AD ABD ACD 8．B. 【详解】设，由可知点在以原点为圆心，半径为的圆上， 又，所以，即， 设点到直线的距离分别为，则， 所以， 取的中点，则点到直线的距离， 又，即点在以原点为圆心，半径为的圆上，设点到直线的距离为， 则点到直线的距离的最大值为，即， 因为，所以，所以， 所以， 即的最大值为. 故选：B 11.【详解】在中，由，得或，由，得或， 则直线与坐标轴有5个公共点， 当时，曲线：是直线右侧半圆，圆心，半径； 当时，曲线：是直线右侧半圆，圆心，半径； 当时，曲线：是直线左侧半圆，圆心，半径； 当时，曲线：是直线左侧半圆，圆心，半径，    对于A，将表达式中替换成，可得，即，因此曲线关于轴对称； 同理将表达式中替换成也满足表达式，即曲线关于轴对称； 综上可知曲线关于坐标轴对称,A正确； 对于B，曲线围成的图形面积，B错误； 对于C，曲线上的任意点到原点距离的最大值为， 因此曲线在圆及内部，则曲线上任意两点的距离不超过，C正确； 对于D，点到轴距离最大值为，而，则的最大面积为，D正确. 故选：ACD 12． 13． 14． 14.【详解】因为平面的方程为，则平面的法向量为， 平面与的法向量分别为，， 直线是两个平面与的交线， 设直线的方向向量为，则，令，则， 设直线与平面所成的角为， 则， 则直线与平面所成角的正弦值是. 故答案为： 15．【答案】(1) (2) 15.【详解】（1）已知向量 则， ， 所以----------------------------------------------------------------------------------------------------6 （2）由（1）知则，， 所以在方向上的投影向量为 .------------------------------------------------------------------------------------13 16．【答案】(1) (2) (3) 16.【详解】（1）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为， 则l的倾斜角为，可知l的斜率， 所以l的方程为，即；--------------------------------------------------------------------------------5 （2）表示与点连线的斜率， 又是直线l在部分上的动点，如下图示：    则，直线AB的斜率不存在，则， 即的取值范围为.--------------------------------------------------------------------------------------------10 （3）点关于对称后为在直线上， 则，即， 所以直线l关于点对称的直线方程为.-----------------------------------------------------------------15 17．【答案】(1) 略 (2) 【详解】（1）证明：因为平面，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 由已知可得，，，，， 因为为的中点，所以， 所以，， 所以， 所以， 所以.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6 （2），， 设平面的法向量，则 ，即，令得， 所以． 平面的法向量， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为．--------------------------------------------------------------------------15 18．(1)． (2) 3 (3) 【详解】（1）设点，因为，所以， 整理得．   ------------------------------------------------------------------------------------------------------4 （2） 设直线与曲线C的交点为，， 联立消去y, 可得0， 其中 ， ， . ---------------------------------------------------------10 （3）当斜率为0时，即，不符合题意； 当斜率不为0时，设其方程为，设，， 由消去得， ②，③．        由，，得， 所以，，①， 联立①②③，可得，即， ∴直线的方程为．------------------------------------------------------------------------------------17 19．定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点” (1)求点P所在曲线的方程. (2)已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）存在， 【详解】（1）因为点P为圆A的“黄金点”， 所以，即， 所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆， 故点P所在曲线的方程为 ------------------------------------------------------------------------5 （2）（ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则 所以，即点P在圆上， 则P是圆和的交点. 因为P，Q均为圆“”的“钻石点”， 所以直线即为圆和的公共弦所在直线，两圆方程相减可得， 故直线的方程为. ---------------------------------------------------------------------------------------10 ( ii )设的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为. 直线的方程为，得的中点坐标为， 点S到直线的距离为， 则，所以圆H的方程为. 假设轴上存在点满足题意，设，. 若轴平分，则，即， 整理得 又，所以代入上式可得， 整理得①， 由可得， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以. 故轴上存在点，使得轴平分. ----------------------------------------------------------------------17 答案第4页（共6页） 答案第5页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年第一学期学情调研适应性练习 高二数学 (满分：150分，考试时间：120分钟) 友情提示：1.本试卷5页。 2.考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卷上。 3.答题要求见答题卷上的“注意事项”。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是正确的， 1.已知直线的方程为y=x+1,则直线1的倾斜角为( ) A.45 B.90 C.120 D.135 2.直线2x-3y+1=0与4x-6y-1=0间的距离为( ) A.3V13 B.3V13 C.2v13 D.V13 13 26 13 13 3.已知圆C1x2+y2-2x+my+1=0(m∈R)的面积被直线x+2y+1=0平分，圆 C2:(x+2)2+(y-3)2=36,则圆C,与圆C2的位置关系是( ) A.外离 B.相交 C.内切 D.外切 3b 4.若直线名+言=1a>0b>0)过点(1，)，则a+6+0的最小值为 ) A.7 B.9 C.4V3 D.6 5.已知线段AB的端点B的坐标是(3,4)，端点A在圆(x-1)2+(y-2)=4上运动， 则线段AB的中点P的轨迹方程为() A.(x-2)2+(y-3)=1 B.(x-2)2+（y-3)2=2 C.(x-3)2+(y-4)2=1 D.(x-5)2+(y-5)2=2 6.如图，ABCD-EFGH是棱长为1的正方体，若点P在平面BDE内，且满足AP= 写巫+2A而+名证，则点P到直线AB的距离 为( A.V5 B.V10 6 6 D C.V13 A 6 D.V5 4 高二数学第1页（共5页) 7,已知点0是坐标原点，点Q是圆(x-3)2+(y+4)=1上的动点，点P是直线x+ y+4=0上的一个动点，则PQ+|P0的最小值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 8.已知平面内点Px:yo到直线Ax+By+C=0的距离为d= Axo Byo+C ,根据 VA2 +B2 公式解决问题：实数x1,x2,y1,y2满足x子+y=4,x号+y2=4,x1x2+y1y2=0,则 x:+y1-5+x2+y2-5的最大值为( ) A.122 B.14 C.72 D.12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法正确的有() A.若空间中点0，A,B,C满足0C=10A+30B,则A,B,C三点共线 B.直线l的方向向量a=(0,3,-6),平面的法向量元=(1,2,1)，则1⊥a C.a=(1,1,6-=(3x9),若x>0则a与的夹角为锐角 D.对空间任营-点0和不共线三点4，R,C者O-号O+名0丽+0C,则P, A,B,C共面 10.以下四个命题表述正确的是() A.直线mx+4y-12=0(m∈R)恒过定点(0,3) B.直线x+3y+2=0与直线3x-y+7=0互相垂直 C.两圆x2+y2+4x-4y=0与x2+y2+2x-12=0的公共弦所在的直线方程 为x+2y+6=0 D.已知圆C:x2+y2=2,P为直线x+Y+2V3=0上一动点，过点P向圆C引一 条切线PA,其中A为切点，则PA的最小值为2 11.已知曲线C的方程为：x2+y2=2x+4y(x,y∈R),下列结论正确的为() A.曲线C关于坐标轴对称 B.曲线C围成的图形面积大于48 C.曲线C上任意两点的距离最大值为4V⑤ D.若A,B为曲线C与y轴的交点，点P在曲线C上，则△APB的面积最大为4+ 4V5 高二数学第2页（共5页) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=2,BC=CC,=1,则直线AB,与BC1所成角 的余弦值为 13.设m为实数，若方程x2+y2-2x+6y+m=0表示圆，则m的取值范围为 14.某校的几个高二年同学在深人研究选择性必修第一册教材第一章中的习题时 发现原来空间直线与平面也有方程.教材中阐述并要求证明下面的两个结论： 在空间直角坐标系中，已知点P(xoyo),向量i=(a,b,c)(abc≠0)，方= (m,n,t)(mnt≠0). (1)过点P且一个法向量为i的平面a:的方程为a(x-x0)+b(y-yo)+ c(2-z0)=0; (2)过点P且方向向量为的直线的方程为x-0=y-0=-0 m t 请利用这两个结论求解下列问题： 已知平面α的方程为2x-y+z+1=0,直线l是两个平面2x-y+2=0与x- z+1=0的交线，则直线l与平面a所成角的正弦值是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 已知向量d=（1,2,-2),3=(4,-2,4) (1)求cos<a,6>; (2)求a在方向上的投影向量的坐标 16.(本小题满分15分) 已知直线过点(1,2，且直线！的倾斜角比直线V5x-y+1=0的倾斜角大2 (1)求直线的方程（一般式表示）； ②)若点M在直线上，且2)，求 的取值范围； (3)求直线l关于点(1,0)对称的直线，的方程（一般式表示） 高二数学第3页（共5页） 17.本小题满分15分)》 如图，DA⊥平面ABC,AB⊥AC,AD∥CE,AB=AC=CE=1,AD=2,M为AD的 中点. D (1)证明：EM⊥BD; (2)求平面DBC与平面ABC夹角的余弦值. M 18.(本小题满分17分) 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到 两个定点A,B的距离之比为定值入（入≠1）的点所形成的图形是圆.后来，人们以他 的名字命名该种圆，称之为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系x0y 中4A1,0,B(-20,点P满足=)设点P所构成的曲线为C PBI (1)求曲线C的标准方程； (2)已知直线l2:y=k(x+2)与曲线C交于E,F两点（不与原点0重合），直线 0E,0F斜率分别为k1,k2,求证，k2为定值； (3)过点A(1,0)作直线L,与曲线C交于M,N两点，若MA=2NA,求L,的方程 (一般式表示). 高二数学第4页（共5页) 19.(本小题满分1分) 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记MN的最大值为m,MN的最小值 为n,若m=2n,则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G 为圆“E-F的“钻石点”.已知圆A:(x+1)+(6+1)°=7P为圆A的“黄金点” (1)求点P所在曲线的方程； (2)已知圆B:(x-2)2+（-2)=1,P,Q均为圆“A-B”的“钻石点”. (i)求直线PQ的方程； (i)若圆H是以线段P0为直径的圆，直线：y=x+号与圆H交于1，J两点， 对于任意的实数飞，在y轴上是否存在一点W,使得y轴平分∠WJ?若存在，求出点 W的坐标；若不存在，请说明理由. 高二数学第5页（共5页)