福建三明市五县联盟2025-2026学年上学期期中质量检测高二数学试题

2025-2026学年第一学期五县联合质检 高二数学参考答案及评分说明 一、选择题(1-8单选题，每题5分，9-11多选题，每题6分) 题 2 6 10 号 答 D C B A D AB ABD ACD 案 二、填空题（每题5分） 5 12.-3 13.2 14.「-5，V51 三、解答题(13+15+15+17+17) 1 15.解：(1)因为直线x-3y+1=0的斜率为V5,所以其顿斜角为30 -----2分 所以，所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为V3 -3分 又所求直线经过点 45.-,所以共方为+3=(x-5同) -5分 即V3x-y-6=0(写成y=V3x-6不扣分) -6分 x+y=1 (2)由题可知，直线不经过原点，故可设直线方程为ab, -8分 -2.2 =1 则(ab 10分 (没加绝对值扣1分，前面若有说明a,b同号就不扣分) a=2a=-1 解得b=1或b=-2」 -12分 x+2y-2=02x+y+2=0 故所求的直线方程为： 或 -13分 (漏解扣2分) 16.解：(1)因为点M是线段AG的中点，点G是△OBC的重心，所以 OM=104+L0G -1分 -oi+0+-o+go丽+goc -3分 因为0A:OB=0B:0C=0A:0C=2×2×cos60°=2，所以 o=om2-oi+08+oc2+0A.0B+20a.0c+0B.0c 4 36 36 6 6 18 2x4+x4+ 1 1 ×2+二×2+ 36366 x2=2 6 18 6分 .OM= -7分 (2) o-o+gos+oc]o丽-o网 -8分 A-0B-08OB-0C-04-Oc 6 32、 1 6*21 .1 ×4+×4+ 2=-2 6 6 6 -10分 Cos(OM,OA) OM.OA 2 3V2 设直线OM与直线AB成角为O, OM.0a2.26 12分 o0-ko(Ot.0a) -14分 √2 所以异面直线OM与AB所成角的余弦值为6. 15分 17.解：(1)当直线斜率不存在时，则x=2,此时直线与圆相切，满足题意；--1分 当直线斜率存在时，设切线的斜率为k,则切线方程为)+2=k(x-2),即 G-y-2k-2=0 -2分 1-2k-21 3 :圆心严(0，-)到切线的距离等于半径2,2+1，解得《4， 此时切线方程为3x-4y-14=0 4分 故切线方程为x-2=0或3x-4y-14=0 -5分 x2+(0+1)2=4 ∫x=0∫x=2 (2》联立lx-2)八+0-=4，解得D=1欧=-1，÷圆p与圆2的交点为 S(0,1),T(2,-1) -7分 线段ST的垂直平分线为x-y-1=0, -8分 2a+b-2=0 a=1 设所求圆的圆心为M(a,b) 半径为r,由a-b-1=0,解得b=0, 圆心为 M(1,0),r=MS=V2 -9分 因此，所求圆的方程为(x-1)2+y2=2 -10分 (利用圆系求解也行) c3)设P(),A,-),B(-2,0),C(0,-2)=点，PA+PB+PC =(x-1)2+(y+1)2+(x+2)+y2+x2+(+2)2=3x2+3y2+2x+6y+10 -11分 :点P在圆产+(0+=4上运动，则-2≤x≤2。 -12分 .3x2+3y2+2x+6y+10=19+2x -13分 当x=2时，P+PB+PC取得最大值23， -14分 当x=-2时，P4+PB+PC取得最小值15. -15分 (利用圆的参数方程求解也行) 18.解：(1)证明：法一：分别取AB,CD、的中点G,H,连接EG,GH,FH,由题意可 知点E,F分别为线段PB,C的中点，所以EG/IPA,FHIIQD,因为PAIIDQ,所以 EG11FH,所以点E,G,H,F四点共面， 1分 因为G,H分别为AB,CD的中点，所以GH1IAD,因为ADc平面ADQP, GHt平面ADOP,所以GH1/平面ADQP,又因为FH/QD, QDc平面ADOP,FH￠平面ADOP,所以FHII平面ADQP, -2分 又因为FH∩GH=H,FH,GH,c平面EGHF,所以平面EGHF//平面ADQP, -3分 因为EFC平面EGHF,所以EFI/平面ADOP, -4分 法二：因为ABCD为正方形，且PA⊥平面ABCD,所以AP,AB,AD两两互 相垂直，以点A为坐标原点，以AB,AD,AP所在直线分别为名，少，2轴建立如下 图所示的空间直角坐标系， 1分 (.03).c(330).0(03).p(30.0),0r3) 则 -2分 所以BF=(0,3-),易知平面PAD0的一个法向量a=(1,0,0）,所以a-EF=0,所以 EF⊥a, -3分 又因为EF￠平面ADOP,所以EF1/平面ADQP: -4分 (2)设平面PC0的法向量m=(xy,2）,P℃=(3,3，-3)，C0=（-30,1) ，---5分 m·PC=3x+3y-3z=0 则mC@=-3x+z=0,取x=1,可得m=(2,3), -7分 所以平面PC的一个法向量为m=(2,3),易知平面CQD的一个法向量”=(0,10），设 cos0-losm mn 2 平面PCQ与平面CQD夹角为0， 1×V1+4+9 =2-14 V147 -9分 14 所以平面PC卫与平面CQD夹角余弦值为7： -10分 (3)假设存在点M,使得PM=PC=(32,3A,-3A）,其中∈[0,1， 11分 则4m=AP+PM=(0,03)+(3,3元，-3)=(3,32,3-32) -12分 由(2)得平面PC的一个法向量为m=(L,2,3),由恩意可得 AM.m cos(4M,m) 32+62+9-92 √42 AM园 V14xV922+922+(3-32) 7 -14分 整理可得122-81+1=0，即(21-1)(62-1)=0 -15分 11 PM-⊥PM-1 因为0≤元≤1，解得6或2，所以，MC5或MC -17分 19.解：(1)根据切比雪夫距离的定义，设1上任意一点为Q(1,y), d(P,R)=max{3+1,1-4=max{4,3}=4 1分 d(P,Q)=max(3-1,1-yl)=max(2,1-yl -2分 当1-≥2时.d(P,0)=|1-小≥2， 3分 当1-k2时，d(,Q)=2, 4分 d(P,2)的最小值为2，故d(P,)=2 -5分 (3)①由慰可知圆C的标准方程为(x-)+少=4，÷圆心为C(L,0）, 半径1=2 6分 由圆E的方程知圆心为 aa-￥e-,scn-m-o-引 一一一一一 -7分 此时 4-3引 a<- ,:圆C与圆E 内切， 10分 ②Ne有.a-d0以，=3-店-空 259=2 a=7a= 1 =44,得 2或2（舍去）， 11分 此时圆 -号--号，-0.k=5AMc、 M(5,0),N(2,0) -12分 x=my+5 由题意设直线AB的方程为x=mw+5,A(x4y),B(x,),由x+y-2r-3=0, 可得（m+y2+8mv+12=0.当△=64m2-48(m2+)>0.即 me(o,5u(5,+)时， -13分 +y6=-8 有 m+1y12 m2+1, -14分 2myya+3(y4+yB)】 x4-2 xa-2 mya+3 mya+3 m'yay8+3m(y+ya)+9 -15分 2mvaya+3(ya+ya)=- 号-0.n+版-0 -------16分 ∴直线与关于x轴对称，即关于直线MN对称，由对称性知d(M,)=d(M,马)】 -17分 命题人：潘丽钦肖秀勇 审题人：吕健生 2025—2026学年上学期五县联盟期中质量检测 高二数学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：1．本试卷6页． 2．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卷上． 3．答题要求见答题卷上的“注意事项”． 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在空间直角坐标系中，点到平面的距离等于（ ） A． B． C． D． 2．经过两点，的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．已知两条直线：和：，若，则与之间的距离为（ ） A． B． C． D． 4．已知，，，且，，，四点共面，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（ ） A． B． C． D． 6．过点作：的切线，，切点分别为，，则（ ） A． B． C． D． 7．空间向量，，，向量，其中，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线：就是其中之一（如图）．曲线与轴交于、两点，点为曲线上一动点，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ） A．点在曲线内部 B． C． D．点的纵坐标的最大值为 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知为直线的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列判断正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知圆：与圆：，下列说法正确的是（ ） A．与的公切线恰有条 B．与相交弦的方程为 C．与相交弦的弦长为 D．若，分别是圆，上的动点，则 11．铁蒺藜在古代能抵挡敌人骑兵的进攻，有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图，也可由正方体切割而成，如图，在如图所示的“蒺藜形多面体”中，若，则（ ） A．该几何体的表面积为 B．直线与直线所成的角为 C．该几何体的体积为 D．二面角的余弦值为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，，若，则的值为________． 13．已知，，，则的面积为________． 14．若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）求适合下列条件的直线方程： （1）经过点，并且其倾斜角等于直线的倾斜角的倍的直线方程； （2）求经过点并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是的直线方程． 16．（本小题15分）已知正四面体的棱长为，点是的重心，点是线段的中点． （1）用，，表示，并求出； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 17．（本小题15分）已知圆：． （1）求过点且与圆相切的直线方程； （2）求圆心在直线上，且经过圆与圆：的交点的圆的方程； （3）已知，，三点，点在圆上运动，求的最大值和最小值． 18．（本小题17分）已知底面是正方形，平面，，，点，分别为线段，的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，请说明理由． 19．（本小题17分）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到的“切比雪夫距离”，记作． （1）已知点和点，直线：，求和； （2）已知圆：和圆：； ①若两圆心的切比雪夫距离，判断圆和圆的位置关系； ②若，圆与轴交于，两点，其中点在圆外，且，过点任作一条斜率不为的直线与圆交于，两点，记直线为，直线为，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $