福建三明市五县联盟2025-2026学年上学期期中质量检测高二数学试题

2025-2026学年第一学期五县联合质检 高二数学参考答案及评分说明 一、选择题(1-8单选题，每题5分，9-11多选题，每题6分) 题 2 6 10 号 答 D C B A D AB ABD ACD 案 二、填空题（每题5分） 5 12.-3 13.2 14.「-5，V51 三、解答题(13+15+15+17+17) 1 15.解：(1)因为直线x-3y+1=0的斜率为V5,所以其顿斜角为30 -----2分 所以，所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为V3 -3分 又所求直线经过点 45.-,所以共方为+3=(x-5同) -5分 即V3x-y-6=0(写成y=V3x-6不扣分) -6分 x+y=1 (2)由题可知，直线不经过原点，故可设直线方程为ab, -8分 -2.2 =1 则(ab -10分 (没加绝对值扣1分，前面若有说明a,b同号就不扣分) a=2a=-1 解得b=1或b=-2 -12分 x+2y-2=02x+y+2=0 故所求的直线方程为： 或 -13分 (漏解扣2分) 16.解：(1)因为点M是线段AG的中点，点G是△OBC的重心，所以 OM=104+L0G -1分 -oi+0+-o+go丽+goc -3分 因为0A:OB=0B:0C=0A:0C=2×2×cos60°=2，所以 o=om2-oi+08+oc2+0A.0B+20a.0c+0B.0c 4 36 36 6 6 18 x4+x4+2x2+2x2+ 1 1 36366 x2=2 6 18 6分 .OM= -7分 (2) o-o+gos+oc]o丽-o网 -8分 -号o1.o丽-oi+o+om.oc1a.oc 6 32、 1 6*2 , ×4+×4+ 2=-2 6 6 6 -10分 Cos(OM,OA) OM.OA 2 3V2 设直线OM与直线AB成角为O, OM.0a2.26 12分 o0-ko(Ot.0a) -14分 √2 所以异面直线OM与AB所成角的余弦值为6. 15分 17.解：(1)当直线斜率不存在时，则x=2,此时直线与圆相切，满足题意；--1分 当直线斜率存在时，设切线的斜率为k,则切线方程为)+2=k(x-2),即 kc-y-2k-2=0 -2分 1-2k-21 k=3 :圆心严(0，-)到切线的距离等于半轻径2，P+1,解得《=4， 此时切线方程为3x-4y-14=0 4分 故切线方程为x-2=0或3x-4y-14=0 -5分 x2+(0y+1)2=4 ∫x=0∫x=2 (2》联立lx-2)八+0-=4，解得D=1欧=-1，÷圆p与圆2的交点为 S(0,1),T(2,-1) -7分 线段ST的垂直平分线为x-y-1=0, -8分 2a+b-2=0 a=1 设所求圆的圆心为M(a,b) 半径为r,由a-b-1=0,解得b=0, 圆心为 M(1,0),r=MS=V2 -9分 因此，所求圆的方程为(x-1)2+y2=2 -10分 (利用圆系求解也行) c3)设P(),A,-),B(-2,0),C(0,-2)=点，PA+PB+PC =(x-1)2+(y+1)2+(x+2)+y2+x2+(+2)2=3x2+3y2+2x+6y+10 -11分 点P在圆+(0+=4上运动，则-2≤x52. -12分 .3x2+3y2+2x+6y+10=19+2x -13分 当x=2时，P+PB+PC取得最大值23， -14分 当x=-2时，P4+PB+PC取得最小值15. -15分 (利用圆的参数方程求解也行) 18.解：(1)证明：法一：分别取AB,CD、的中点G,H,连接EG,GH,FH,由题意可 知点E,F分别为线段PB,C的中点，所以EG/IPA,FHIIQD,因为PAIIDQ,所以 EG11FH,所以点E,G,H,F四点共面， 1分 因为G,H分别为AB,CD的中点，所以GH1IAD,因为ADc平面ADQP, GHt平面ADOP,所以GH1/平面ADQP,又因为FH/QD, QDc平面ADOP,FH￠平面ADOP,所以FHII平面ADQP, -2分 又因为FH∩GH=H,FH,GH,c平面EGHF,所以平面EGHF//平面ADQP, -3分 因为EFC平面EGHF,所以EFI/平面ADOP, -4分 法二：因为ABCD为正方形，且PA⊥平面ABCD,所以AP,AB,AD两两互 相垂直，以点A为坐标原点，以AB,AD,AP所在直线分别为名，少，2轴建立如下 图所示的空间直角坐标系， 1分 (.03).c(330).Q(03).p(30.0),E0.)r(.3) 则 --2分 所以BF=(0,3-),易知平面PAD0的一个法向量a=(1,0,0）,所以a-EF=0,所以 EF⊥a, -3分 又因为EF￠平面ADOP,所以EF1/平面ADQP: -4分 (2)设平面PC0的法向量m=(xy,2）,P℃=(3,3，-3)，C0=（-30,1) ，---5分 m·PC=3x+3y-3z=0 则mC@=-3x+z=0,取x=1,可得m=(2,3), -7分 所以平面PC的一个法向量为m=(2,3),易知平面CQD的一个法向量”=(0,10），设 cos0-osm mn 2 平面PCQ与平面CQD夹角为0， 1×V1+4+9 =2-14 V147 -9分 14 所以平面PC卫与平面CQD夹角余弦值为7； -10分 (3)假设存在点M,使得PM=PC=(32,3A,-3A）,其中∈[0,1， ----11分 则4m=AP+PM=(0,03)+(3,3元，-3)=(3,32,3-32) -12分 由(2)得平面PC的一个法向量为m=(L,2,3),由恩意可得 AM.m cos(4M,m) 32+62+9-92 √42 AM园 V14xV922+922+(3-32) 7 -14分 整理可得122-81+1=0，即(21-1)(62-1)=0 -15分 11 PM-⊥PM-1 因为0≤元≤1，解得6或2，所以，MC5或MC -17分 19.解：(1)根据切比雪夫距离的定义，设1上任意一点为Q(1,y), d(P,R)=max{3+1,1-4=max{4,3}=4 1分 d(P,Q)=max(3-1,1-yl)=max(2,1-yl -2分 当1-≥2时.d(P,0)=|1-小≥2， 3分 当1-<2时，d(P,2)=2 4分 d(P,2)的最小值为2，故d(P,)=2 -5分 (3)①由慰可知圆C的标准方程为(x-)+少=4，÷圆心为C(L,0）, 半径1=2 6分 由圆E的方程知圆心为 ae-引t-.dc=amo-引 一一一一一一 -7分 此时 4-3引 a<- ,:圆C与圆E 内切， 10分 ②Ne有.a-d0以，=3-店-空 259=2 a=7a= 1 =44,得 2或2（舍去）， 11分 此时圆 -号--号，-0.k=5AMc、 M(5,0),N(2,0) -12分 x=my+5 由题意设直线AB的方程为x=mw+5,A(x4y),B(x,),由x+y-2r-3=0, 可得（m+y2+8mv+12=0.当△=64m2-48(m2+)>0.即 me(o,5u(5,+)时， -13分 +y6=-8 有 m+1y12 m2+1, -14分 2myya+3(y4+yB)】 x4-2 xa-2 mya+3 mya+3 m'yay8+3m(y+ya)+9 -15分 2mvaya+3(ya+ya)=- 号-0.n+版-0 -------16分 ∴直线与关于x轴对称，即关于直线MN对称，由对称性知d(M,)=d(M,马)】 -17分 命题人：潘丽钦肖秀勇 审题人：吕健生2025-2026学年上学期五县联盟期中质量检测 高二数学 (满分：150分；考试时间：120分钟) 友情提示：1.本试卷6页 2.考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卷上 3.答题要求见答题卷上的“注意事项” 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.在空间直角坐标系0-xyz中，点A(-4,2,-8)到平面x0y的距离等于() A.2V5 B.2 C.4 D.8 2.经过两点A(2,m),B(m,4)的直线l的倾斜角为45°，则m的值为() A.-2 B.1 C.3 D.4 3.已知两条直线l1:(a+1)x+2y-1=0和l2:4x+(a-1)y+2=0,若111l2,则l1 与12之间的距离为() A.3V5 B.3V5 c 3v5 D.3V5 5 10 2 4.已知AB=(1,-2,2),BC=(2,1,-3),C⑦=（入，3，-5），且A,B,C,D四点共面，则入 的值为() A.-1 B.2 C.-2 D.1 5.已知光线从点A(-2,3)射出，经直线y=-x反射，且反射光线过点B(3,-1),则 入射光线所在直线的方程是()》 A.2x+y=0 B.2x+y+1=0C.x-2y+5=0D.x+2y-3=0 6.过点P(V2,1)作⊙0x2+y2=1的切线PA,PB,切点分别为A,B,则PA.PB=() 号 B c.3 D.2 3 7.空间向量0A=（1,0,0),0B=(0,1,0),0C=(0,0,1),向量0P=x0A+y0B+z0C, 其巾宁++：=1，则o丽的最小值为( ) A.1 B.4V6 C.v6 D.2 3 3 高二数学试题第1页（共4页） 8.数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线Cx2+y2=1+xy就是其中之一 (如图).曲线与y轴交于A、B两点，点P为曲线上一动点，给出下列四个结论，其中 正确的结论是() A点1，在曲线内部 B.PA2+PB2≥4 C.OP v6 2 D.点P的纵坐标的最大值为2V3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。 9.已知为直线l的方向向量，n1,2分别为平面B的法向量(，B不重合)，则下列 判断正确的是()》 A.若元1∥元2，则alB B.若n11n2,则&上B C.若ln,则l D.若元⊥n1,则/la 10.已知圆Cx2+y2=9与圆C2:(x-3)2+(y-4)=16,下列说法正确的是() A.C1与C2的公切线恰有2条B.C,与C2相交弦的方程为3x+4y-9=0 C.C,与C,相交弦的弦长为D.若P,Q分别是圆C,C,上的动点，则PQ=12 11.铁蒺藜在古代能抵挡敌人骑兵的进攻，有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正 交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2，在如图2所示 的“蒺藜形多面体”中，若AB=2,则() A.该几何体的表面积为12√3 B.直线w与直线Gy所成的角为看 C.该几何体的体积为4 H D.二面角B-BP-H的余弦值为-号 图1 图2 高二数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知a=(2,-1,3),b=(-1,2,-2),c=(6,1,),若(a-6)1c,则入的值为 13.已知A(1,1),B(3,2),C(0,3),则△ABC的面积为 14.若当x∈[-2,2]时，不等式x-√4-x2+61≥Vk2+1恒成立，则实数k的取值 范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分)求适合下列条件的直线方程： (1)经过点A(V3,-3),并且其倾斜角等于直线x-V3y+1=0的倾斜角的2 倍的直线方程； (2)求经过点A(-2,2)并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程， 16.(本小题15分)已知正四面体OABC的棱长为2，点G是△OBC的重心，点M是线 段AG的中点 (1)用0A,0B,0C表示0M,并求出0M: (2)求异面直线OM与AB所成角的余弦值. 17.(本小题15分)已知圆W:x2+(y+1)=4. (1)求过点T(2,-2)且与圆W相切的直线方程； (2)求圆心在直线2x+y-2=0上，且经过圆W与圆Q:(x-2)2+(y-1)2=4 的交点的圆的方程； (3)已知A(1,-1),B(-2,0),C(0,-2)三点，点P在圆W上运动，求PA2+ PB+PC的最大值和最小值， 高二数学试题第3页（共4页） 18.(本小题17分)已知底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,PA∥DQ,PA=AD= 3DQ=3,点E,F分别为线段PB,CQ的中点. (1)求证：EF/平面PADQ; (2)求平面PCQ与平面CDQ夹角的余弦值； (3)线段PC上是否存在点M,使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是 Y4华，若存在求出化的值若不存在，请说明理内。 19.(本小题17分)在平面直角坐标系中，定义d(4,B)=maxx,-x,,y1-y,}为 两点A(x1y),B(x2y2)的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q,称 d(P,Q)的最小值为点P到的“切比雪夫距离”，记作d(P,). (1)已知点P(3,1)和点R(-1,4),直线l:x=1,求d(P,R)和d(P,): (2)已知圆C:+y2-2x-3=0和圆E:x-a+g-a+3=25 3 21 ； ①若两圆心的切比雪夫距离d(C,E)=),判断圆C和圆E的位置关系； ②若a>0,圆E与x轴交于M,N两点，其中点M在圆C外，且d(M,N)=3,过 点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A,B两点，记直线AN为l,直线 BN为l2,证明：d(M,l）=d(M,l2) 高二数学试题第4页（共4页）