29.2.1 垂直于弦的直径 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

29.2.1 垂直于弦的直径 教学设计（新授课）

2026-2027学年人教版（2024）数学九年级上册 · 第1课时

 

一、教材分析

本课是人教版（2024）九年级上册第二十九章“圆”中 29.2“圆的有关性质”的第一课时。学生已认识圆心、半径、直径、弦、弧，并了解圆的基本作图。本课从圆的轴对称性切入，通过折纸观察提出猜想，再用等腰三角形“三线合一”严格证明，得到垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；进而得到常用推论，并把圆中弦长问题转化为“半径—弦心距—半弦”直角三角形。

教材路径：轴对称观察 → 垂径定理猜想与证明 → 推论辨析（弦非直径）→ 基本图形与计算。本课按折纸猜想 → 证明定理 → 推论与反例 → 基本图形 → 例题应用落实；圆心角、圆周角的系统研究留给 29.2.2、29.2.3，切线与弧长扇形不抢讲。

教学时盯住四处易混：①把对称轴说成“直径”而不是“直径所在直线”；②证明时不连半径，空喊“对称”；③推论漏掉“弦不是直径”；④计算时把整弦长直接代入勾股，或求出半弦后忘记乘 2。

二、学情分析

学生已掌握轴对称、等腰三角形三线合一与勾股定理，也熟悉半径、弦的概念。进入垂径定理时，常见四类困难：

① 对称表述不严：知道圆“能对折重合”，说不清“有无数条对称轴，且对称轴是直径所在直线”。

② 证明跳步：折纸后直接当定理用，不会写“连 OA、OB → 等腰 → 三线合一”。

③ 推论条件漏：把“平分弦的直径一定垂直于弦”用到直径与直径上，遇到反例才慌。

④ 基本图形不会构造：不会主动作弦心距、连半径；求弦长时停在半弦。

因此本课用“折纸出猜想 → 板书规范证明 → 反例钉死条件 → 基本图形口算 → 两类例题”把定理与计算模型做实。

三、教学目标（核心素养导向）

1. 几何直观：认识圆是轴对称图形，能说出任一直径所在直线都是对称轴；能在图中指出弦心距。

2. 推理能力：经历猜想与证明，理解并会叙述垂径定理；能在教师引导下完成“连半径 + 三线合一”的证明口述；会说明推论中“弦不是直径”的必要性。

3. 运算能力：会构造“半径—弦心距—半弦”直角三角形，运用 求弦长、弦心距或半径（知二求一）。

4. 模型观念：形成“见弦想垂径、作垂线连半径”的审题路径；能用定理说明弧被平分等简单结论。

达成可测表现：课末能独立完成——（1）叙述垂径定理；（2）指出推论的条件；（3）已知 与弦长求弦心距；（4）已知 与弦心距求弦长。

四、教学重点与难点

重点：垂径定理及其常见推论；半径、弦心距、半弦的基本图形与计算。

难点：垂径定理的规范证明；推论中“弦不是直径”的辨析；计算时正确取半弦并还原整弦。

五、教学准备

教师：投影（或实物展台）、圆形纸片若干、圆规与直尺、三角板、黑板上的大圆（或投影圆）、本课例题与练习纸。

学生：圆形纸片一张、圆规、直尺、三角板、笔记本、铅笔。

说明：本设计可独立使用，不依赖某一套课件页码；课堂插图见文中附图，也可改画到黑板大圆上。

六、教学过程

课时时间分配（参考）

 

（一）创设情境，认识圆的轴对称（约 4 分钟）

发给每位学生一张圆形纸片。先不讲“垂径”，从对折开始。

图1　导入：任选直径对折，圆的两半重合吗？

师：请沿纸片上任意一条直径对折。两半完全重合吗？再换另一条直径试试。

【预设】预设：每次都能重合。学生发现无论怎么选直径都能对折重合。

师：这说明圆是什么图形？它有多少条对称轴？对称轴究竟是“直径”还是“直径所在的直线”？

【预设】预设：轴对称图形；有无数条对称轴。典型错误：说“对称轴是直径”。纠正为：**对称轴是直径所在的直线**。

师：今天就用圆的轴对称，研究一条特殊的直径——垂直于弦的直径——能推出哪些结论。

【设计意图】用折纸激活轴对称经验；把“直线”措辞钉死，为后面“直径所在直线是对称轴”的证明语言铺路。

（二）探究活动 1：折纸猜想垂径定理（约 6 分钟）

1. 操作任务

学案指令：在圆形纸片上任画一条不过圆心的弦 AB；折叠纸片使 A、B 重合，展开后折痕与 AB 交于 E，并与圆交于 C、D。

图2　探究1：垂直于弦的直径 CD，交弦 AB 于 E

任务 A： 折痕是否过圆心？它与 AB 有什么位置关系？（可用三角板验证直角）

任务 B： 比较 AE 与 BE；用彩笔描出弧 AC 与弧 BC、弧 AD 与弧 BD，观察是否重合。

任务 C： 用一句话写出猜想。

2. 对话与猜想

师：各组发现：折痕过哪里？与弦垂直吗？AE、BE 怎样？弧呢？

【预设】预设：折痕过圆心，是直径所在直线；CD ⊥ AB；；弧 弧 BC，弧 弧 BD。

师：谁来把猜想说完整？注意：不只平分弦，还平分弦所对的**两条弧**。

猜想（板书）： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

师：折纸与度量只能支持猜想。要成为定理，必须证明。证明前想：怎样把 A、B 与圆心联系起来？

【预设】预设：连接 OA、OB。

【设计意图】让定理从操作中“长”出来；补全“两条弧”，避免只写平分弦；自然过渡到添辅助线。