29.2.1 垂直于弦的直径 教学设计 2026—2027学年人教版九年级数学上册

29.2.1 垂直于弦的直径 教学设计 课题 29.2.1 垂直于弦的直径 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 1 课时 课型 新授课 教学目标 1. 探索并理解圆的对称性，体会圆的对称美；2. 掌握垂径定理及其推论，并能灵活运用它们解决有关的证明与计算问题；3. 能利用垂径定理及其推论解决相关的实际问题，体会数学与生活实际的密切联系. 教学重点 探索圆的对称性；垂径定理及其推论的应用. 教学难点 垂径定理的探索与证明. 教学方法 动手操作、讲练结合、小组讨论 教学准备 多媒体课件、直尺、圆规和剪刀 课后练习 教材本节课后练习中与本课时相关的题目。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 环节一 温故知新 一、温故知新 1．在一个平面内，线段　　　绕它固定的一个端点　　旋转一周，另一端点 P 所形成的图形叫作圆. 其固定的端点 O 叫作圆心，线段　　　叫作半径. 圆的形成 2．OA＞r⇔点 A 在⊙O 外；OB＝r⇔点 B 在⊙O 上；OC＜r⇔点 C 在⊙O 内. 点与圆的三种位置关系 3．连接圆上任意两点的　　　　叫作弦，经过　　　　的弦叫作直径. 圆上　　　　　　的部分叫作圆弧，简称弧. 　　　　半圆的弧叫作优弧；　　　　半圆的弧叫作劣弧. 弦、直径与弧 图中优弧有、、、、；劣弧有、、、、；是半圆. 答案：OP；O；OP；线段；圆心；任意两点间；大于；小于. 【设计意图】带领学生复习与圆有关的一些概念，巩固基础，为本节课研究圆的性质做准备. 学生填空回顾圆的定义、点和圆的位置关系以及弦、直径、优弧、劣弧等概念，在图形中指认弦与弧，为探究圆的性质作准备. 复习与圆有关的概念，通过填空诊断学情，巩固基础，为本节课研究圆的性质做好铺垫. 环节二 探究圆的 对称性 二、探究圆的对称性 【问题】剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，你发现了什么？重复做几次，由此你能得到圆具有怎样的对称性？能证明你的结论吗？ 圆形纸片沿直径对折 【师生活动】学生先自己动手操作，教师进行演示，然后小组讨论，得出结论：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 教师提示：要想证明这个结论，只需要证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上即可. 【答案】证明：如图，设 AB 是⊙O 的任意一条直径，M 为⊙O 上点 A，B 以外的任意一点. M′是 M 关于直线 AB 的对称点，那么直线 AB 是线段 MM′的垂直平分线. ∵圆心 O 在 AB 上，∴OM′＝OM，∴点 M′在⊙O 上. 圆是轴对称图形的证明 如果点 M 与点 A 或点 B 重合，那么结论显然也成立. 【新知】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 圆有无数条对称轴 【设计意图】让学生在动手操作中发现圆的对称性，知道圆的对称轴是任意一条直径所在的直线，掌握证明一个图形是轴对称图形的常用方法，体会圆的对称美. 学生动手对折圆形纸片，归纳圆的对称性，根据教师提示独立完成“对称点仍在圆上”的证明，理解轴对称图形证明的常用方法. 在动手操作中发现圆的对称性，把“对折重合”的操作经验上升为逻辑证明，帮助学生掌握证明图形是轴对称图形的常用方法，体会圆的对称美. 环节三 探究 垂径定理 三、探究垂径定理 【问题】如果我们在圆形纸片上任意画一条弦 AB，如图，观察这个图形，它还是轴对称图形吗？若是，请找出它的对称轴. 圆中以 AB 为弦的图形 【师生活动】学生先独立操作，然后小组讨论得出答案. 【答案】如图，作出垂直于弦 AB 的直径 CD，沿着这条直径所在的直线对折，图形在这条直径两侧的部分能完全重合，即图形关于这条直径所在直线对称. 垂直于弦 AB 的直径 CD 【思考】设直径 CD 与弦 AB 垂直于点 E（如图），在沿直径 CD 所在直线对折的过程中，观察图中有哪些相等的线段和相等的弧？ 直径 CD 与弦 AB 垂直于点 E 【师生活动】学生独立操作、思考，得出答案：AE＝　　　，＝，＝. 答案：BE. 【思考】结合下面的动图，你能将你的发现归纳成一般结论吗？ 沿直径对折的动态演示 【师生活动】学生小组讨论，教师进行总结. 【新知】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理 符号语言：∵CD 是直径，AB 为⊙O 的弦，且 CD⊥AB，垂足为 E，∴AE＝BE，＝，＝. 这个定理也可以理解为一条直线若满足：①过圆心，②垂直于弦，则可以推出③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧. 在这个定理中，①过圆心，②垂直于弦，这两个条件缺一不可，同时满足这两个条件时才能推出结论③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧. 【设计意图】借助动图和动画，形象地展示圆的对称性，让学生在动手操作的过程中探索出垂径定理. 加深学生对定理的理解，为学习垂径定理的推论做准备. 学生操作、对折、观察，从图形重合中发现相等的线段与相等的弧，在教师引导下归纳出垂径定理，并会用符号语言表述. 借助对折操作与动图演示，让学生经历“观察—猜想—归纳”的过程得出垂径定理，理解定理中“过圆心”与“垂直弦”两个条件缺一不可. 环节四 探究 垂径定理的推论 四、探究垂径定理的推论 【问题】反过来，平分弦的直径一定垂直于这条弦吗？ 请在纸上画一个以点 O 为圆心的圆，在⊙O 上任意画出一条弦 CD（不是直径）. 找到弦 CD 的中点 E，过点 E 作⊙O 的直径 MN，MN 与 CD 有什么位置关系？如果弦 CD 是直径呢？ 平分弦 CD 的直径 MN 【师生活动】学生先自己画图、测量，然后小组讨论交流，得出答案. 【答案】MN⊥CD. 如果弦 CD 是直径，两条直径任何时候都是互相平分的，但是不一定相互垂直. 猜想：如果有一条直径平分一条不是直径的弦，那么它就能垂直于这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧. 【追问】你能对你的猜想进行证明吗？ 【师生活动】学生独立思考，得出答案，教师进行总结. 已知：如图，⊙O 的直径 CD 交弦 AB（不是直径）于点 P，AP＝BP. 求证：CD⊥AB，＝，＝. 推论的证明 证明：连接 OA，OB，则 AO＝BO. ∴△AOB 是　　　　三角形. ∵AP＝BP，∴CD⊥AB. ∴＝，＝.（垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧） 【新知】垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论 符号语言：∵在⊙O 中，CD 是直径，弦 AB 不是直径，且 AE＝BE，∴CD⊥AB，＝，＝. 这个推论也可以理解为一条直线若满足：①过圆心，③平分弦，则可以推出②垂直于弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧. 在这个推论中，“③平分弦”的“弦”一定是非直径的弦，否则命题就不一定成立. 【设计意图】让学生在动手操作的过程中观察、思考，得出垂径定理的推论，引导学生区分垂径定理及其推论的题设和结论. 学生画图、测量猜想“平分弦的直径垂直于弦”，通过填空完成猜想的证明，理解推论中“弦不是直径”这一前提的必要性. 通过操作、猜想、证明的完整过程得出垂径定理的推论，引导学生对比定理与推论的题设和结论，理解“弦为非直径的弦”这一限制条件的作用. 环节五 典例精讲 学以致用 五、典例精讲、学以致用 例1 如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 8 cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3 cm，求⊙O 的半径. 弦 AB 与圆心 O 【师生活动】学生先独立思考，然后小组讨论，尝试进行解答，教师给予帮助. 解：如图，过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E，连接 OA. 作 OE⊥AB，连接 OA ∵OE⊥AB，AB＝8 cm，∴AE＝AB＝4 cm. 在 Rt△OEA 中，由勾股定理，得＝+，∴OA＝5，即⊙O 的半径为 5 cm. 例2 如图，M 是⊙O 中的弦 CD 的中点，EM 经过圆心 O 交⊙O 于点 E，并且 CD＝6 cm，EM＝9 cm，求⊙O 的半径. 弦 CD 与直径 EM 【师生活动】学生独立完成，教师出示答案. 解：如图，连接 OC. 设 OC＝r cm，则 OM＝(9－r) cm. 连接 OC ∵EM 经过圆心 O，M 是 CD 的中点，CD＝6 cm，∴EM⊥CD，CM＝CD＝3 cm. 在 Rt△OCM 中，由勾股定理，得＝+，解得 r＝5，即⊙O 的半径为 5 cm. 【归纳】垂径定理基本图形的四变量、两关系. 垂径定理基本图形 1．四变量：如图，弦长 a，圆心到弦的距离 d，半径 r，弧的中点到弦的距离（弓形高）h，已知这四个变量中的任意两个可求其他两个. 2．两关系：（1）+＝；（2）h+d＝r. 例3 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1 400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶. 它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）. 赵州桥 【分析】解决问题的关键是根据赵州桥的实物图抽象出几何图形，将求赵州桥主桥拱的半径问题转化为求圆弧所在圆的半径问题. 【师生活动】学生根据提示进行小组讨论并完成作答，教师出示答案，并总结. 解：如图，用 AB 表示主桥拱，设 AB 所在圆的圆心为 O，半径为 R. 经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC，D 为垂足，连接 OA. 根据垂径定理，D 是 AB 的中点，C 是弧AB 的中点，CD 就是拱高. 赵州桥主桥拱的几何图形 由题设可知 AB＝37，CD＝7.23，∴AD＝AB＝×37＝18.5，OD＝OC－CD＝R－7.23. 在 Rt△OAD 中，由勾股定理，得＝+，即＝+. 解得 R≈27.3. 因此，赵州桥的主桥拱半径约为 27.3 m. 【归纳】垂径定理及其推论解决相关的实际问题. 实际问题与数学问题的转化 【设计意图】巩固学生对垂径定理及其推论的应用. 学生独立思考、小组讨论完成例1、例2 的计算，在“作垂直、连半径”的基本图形中运用勾股定理列方程；通过赵州桥实例体会从实际问题抽象出数学图形的过程. 通过计算题巩固垂径定理与推论，归纳“四变量、两关系”的基本图形结论，并以赵州桥为例让学生经历“实际问题—数学问题—解答—检验”的完整建模过程，体会数学与生活实际的联系. 环节六 拓展提升 课堂小结 六、拓展提升与课堂小结 【思考】观察垂径定理及其推论的题设与结论，你能发现什么？ 【师生活动】教师出示垂径定理及其推论，学生小组讨论，师生一起总结. 【归纳】对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧. 简记为“知　　推　　”. 答案：二；三. 与垂径定理有关的常用结论：（1）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 【思考】（1）本节课我们学习的主要内容是什么？（2）垂径定理及其推论的条件和结论分别是什么？（3）你还有什么疑问？ 知识结构图 【归纳】①圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴；②垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；③垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④知二推三：①过圆心、②垂直于弦、③平分弦（非直径）、④平分弦所对的优弧、⑤平分弦所对的劣弧，五个条件知二推三；⑤基本关系：弦长 a、弦心距 d、半径 r、弓形高 h 满足 (a/2) 的平方加 d 的平方等于 r 的平方、h+d＝r. 【布置作业】教材本节课后练习中与本课时相关的题目. 学生通过填空归纳“知二推三”的结论，借助知识结构图梳理圆的对称性、垂径定理及其推论，养成系统整理知识的习惯；课后独立完成作业. 引导学生整体观察定理与推论的题设结论，归纳“知二推三”的结构性认识，通过课堂小结使学生对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点. 板书设计 29.2.1 垂直于弦的直径 一、圆的对称性 圆是轴对称图形；任意一条直径所在的直线都是对称轴 二、垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 CD 是直径，CD⊥AB ⇒ AE＝BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD 三、垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 四、知二推三 过圆心、垂直弦、平分弦（非直径）、平分优弧、平分劣弧 知二推三；基本关系：(a/2) 的平方加 d 的平方等于 r 的平方，h+d＝r 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $