精品解析：浙江杭州市滨江区滨兰实验学校2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试卷（10月 ）

2026学年第一学期作业（一）九年级数学 一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义；熟练掌握二次函数解析式的一般形式（其中）是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如（其中）的函数是二次函数．检查各选项，只有选项B符合此定义． 【详解】解：二次函数要求自变量的最高次数为2，且系数不为0． 选项A：，的最高次数为1，是一次函数； 选项B：，的最高次数为2，且系数，符合定义； 选项C：，分母有未知数，不是二次函数； 选项D：，分母有未知数，不是二次函数； 故选：B． 2. 已知的半径为3，若，则点P与的位置关系是（    ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断点与圆的位置关系，已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当时，点P在内，②当时，点P在上，③当时，点P在外，根据以上内容判断即可． 【详解】解：∵⊙O的半径为3，，且， ∴点P与的位置关系是点P在内， 故选：A． 3. 将二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到二次函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解：二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到的二次函数表达式为， 即二次函数的表达式为． 故选A． 【点睛】本题考查的是二次函数图象的平移，掌握其平移规律是关键． 4. 对于的性质，下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 当时，有最大值 D. 当时，随增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】对于，其顶点坐标为，对称轴为，当时，随的增大而增大，根据性质逐一分析即可． 【详解】解：抛物线， 所以抛物线的顶点坐标为：，对称轴为：， ，图象开口向上，当时，有最小值为， 当时，随的增大而增大， 故A，C，D不符合题意；B符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是抛物线的性质，结合抛物线的图象掌握抛物线的性质是解本题的关键． 5. 如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面宽，则水深是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，根据C是的中点，D是的中点，垂径定理推出，，，推出O、C、D三点共线，得到，设，，根据勾股定理推出，得到． 【详解】解：连接，， ∵是横放圆柱形的玻璃水杯内水最深处， ∴C是的中点，D是的中点， ∴，，， ∴O、C、D三点共线， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得，，（不合题意，舍去）， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，一元二次方程等，解题的关键是熟练掌握垂径定理的推论，勾股定理解直角三角形，解一元二次方程． 6. 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．中心线可看做半径为，圆心角为所对的圆弧，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算公式．根据弧长公式进行计算即可．弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）． 【详解】解：的长为， 故选：B． 7. 如图，、、是上的三点，并且，点是圆上的一个动点（点不与点、、重合），连接、，则的度数是（ ） A. 65 B. 130 C. 65或130 D. 65或115 【答案】D 【解析】 【分析】根据同弧所对的圆周角相等以及圆内接四边形对角互补即可求解．本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，解决本题的关键是掌握圆内接四边形对角互补． 【详解】解：如图所示， 当P在上时，， 当P在上时，， 故选：D． 8. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函的图象与性质．由二次函数的解析式可得，开口向下，对称轴为，利用二次函数的性质，求解即可． 【详解】解：二次函数， 则，开口向下，对称轴为， 则函数图像上的点，离对称轴越远函数值越小， 点到对称轴的距离分别为：1、0、， ∵ ∴， 故选：C 9. 若二次函数y＝ax2﹣4ax＋c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣4ax＋c＝0的解为（ ） A. x1＝﹣1，x2＝﹣5 B. x1＝5，x2＝1 C. x1＝﹣1，x2＝5 D. x1＝1，x2＝﹣5 【答案】C 【解析】 【分析】先确定抛物线的对称轴方程，再利用抛物线的对称性得到二次函数y=ax24ax+c的图象与x轴的两个交点坐标为（1，0），（5，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题确定方程ax24ax+c=0的解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∴点（1，0）关于直线x=2的对称点的坐标为（5，0）， 即二次函数y=ax24ax+c的图象与x轴的两个交点坐标为（1，0），（5，0）， ∴方程ax24ax+c=0的解为x1=1，x2=5． 故选：C 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 10. 如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连接，相交于点，连接，．已知于点，下列结论：①若，则；②若点为的中点，则；其中正确的是（ ） A. ①正确②正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②错误 D. ①错误②正确 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理得出，根据得出，则，得出为等边三角形，由，即可得出继而判断①；点为的中点，得出，进而证明，得到，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴，故①正确； ∵点为的中点， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 综上，①②都正确． 二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分） 11. 抛物线与y轴的交点为_____． 【答案】 【解析】 【分析】y轴上的点横坐标为0，将代入抛物线解析式，计算对应的函数值即可得到交点的纵坐标． 【详解】解：∵ 抛物线与y轴的交点在y轴上， ∴ 该交点的横坐标为， 将代入抛物线解析式， 得， ∴ 抛物线与y轴的交点坐标为． 12. 若一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形是正____________边形． 【答案】十 【解析】 【详解】解：∵一个正多边形的一个外角为， ∴这个正多边形的边数为， 即这个正多边形是正十边形． 13. 已知扇形的圆心角为，扇形弧长为，则扇形面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】已知扇形的圆心角度数与弧长，先通过弧长公式求出扇形半径，再代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为 ∵ 已知扇形圆心角为，弧长为 ∴ 由弧长公式，将，代入，得 等式两边同时除以，化简得 解得 ∵ 扇形面积公式为 ∴ 将，代入公式，得 ． 14. 如图，四边形内接于，是的直径，点E是下方上一点．若，则的大小为________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补的性质求出的度数，利用直径所对的圆周角是直角得出，在直角三角形中求出的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等求解． 【详解】如图，连接， ∵四边形内接于 ， ∴， ∵ ， ∴， ∵是的直径 ， ∴， 在中，， ∵与都是所对的圆周角， ∴． 15. 在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是___． 【答案】2或14 【解析】 【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①， 过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图， 过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 同理，， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 16. 已知二次函数的图象上有两点、，若，，都有，则的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】先将二次函数因式分解得到其与x轴的交点，结合a的范围和推出c的范围，再根据的恒成立条件，确定抛物线在c、a之间的x轴交点位置，进而求出m的值. 【详解】解：∵ ∴ 抛物线开口向下，与x轴的交点为，， 第一种情况，∵ 抛物线开口向下，当时， ∵ ∴ ∵ ∴ ，即 此时，，则不满足条件 第二种情况，当时， ∵ 抛物线开口向下，因此当时，函数值为正；当或时，函数值为负 ∵ ∴ ∵ ∴ ，即 ∵ ∴ 点与点的函数值异号 ∵ ∴ 要使两点函数值恒异号，需满足对任意、，都有 ∵ 当时，对任意、，恒有， ∴ 此时点B的横坐标，对应函数值；点A的横坐标，对应函数值，恒有 若，取，则， 此时，两点函数值均为负，，不符合要求 若，取，则， 此时，两点函数值均为正，，不符合要求 ∴ ． 三、解答题（本题共8题，共72分） 17. 已知二次函数，求出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】 开口方向：向上；对称轴：直线；顶点坐标：； 【解析】 【分析】通过配方法把一般式化成顶点式，根据的正负判断开口方向，直接读出对称轴与顶点坐标． 【详解】解： ， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 18. 已知等边三角形（如图）． （1）用直尺和圆规作的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）． （2）若，求的外接圆半径． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）按尺规作图方法，作出其中两边的垂直平分线，以此交点为圆心，圆心到三角形任意顶点的距离为半径画圆即可； （2）连接OB，利用等边三角形的性质，垂径定理，再结合三角函数解直角三角形即可求出半径． 【详解】（1）如图：圆O即为所求 （2）如图，连接OB，设的垂直平分线交AB于点E，AC的垂直平分线交AC于点F，则点B、O、F在同一条直线上， ，， ， ， 在中，， ， ， 的外接圆半径为． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图，等边三角形的性质，垂径定理，解直角三角形等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题关键． 19. 已知二次函数的图象顶点坐标为，且过点． （1）求该二次函数解析式； （2）当时，求函数值y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知二次函数顶点坐标，设顶点式，再将抛物线上已知点代入解析式，求出参数，即可得到二次函数解析式； （2）由解析式得到抛物线开口方向与对称轴，对称轴在自变量取值区间内，顶点就是最小值点，再计算区间两端点对应的函数值，结合自变量能否取到端点，确定的取值范围． 【小问1详解】 解： 抛物线顶点为， 设顶点式：， 把代入： ， 二次函数解析式为，即． 【小问2详解】 解：抛物线，对称轴为直线，，抛物线开口向上， 在处取得最小值，当时，． 当时，； 当时，． ，不能取到， 函数值的取值范围是． 20. 如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：过O作于M，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2） 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ． 【解析】 【分析】本题考查圆心角、弦、弧的关系，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键 （1）过O作于M，连接、，利用等腰三角形三线合一证明，，则问题可证； （2）利用等腰三角形三线合一，可证明，，进行角的组合可证明，利用圆心角、弦、弧的关系，即可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形（篱笆只围，两边），设时，花园的面积为． （1）求关于的函数关系式； （2）若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 【答案】（1） （2）96平方米 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，根据长方形面积公式即可求解； （2）先将二次函数解析式配方为顶点式，再根据题意确定自变量取值范围为，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 则； 【小问2详解】 解：由题意得． 在处有一棵树与墙，的距离是和6m， ， ， ∴当时，y随x的增大而增大， 当时，（）． 答：花园面积的最大值是96． 【点睛】本题考查了二次函数的应用-面积问题，理解题意，确定二次函数的自变量取值范围，熟知二次函数的性质是解题关键． 22. 如图，点是内部一点，连接，平分，以点为圆心，为半径的圆经过点，交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 【答案】（1）证明：平分， ， 由题意得：， ， ∵， ∴， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平分，推出；根据，推出；结合即可求证； （2）设，，则，，，推出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，， ，，， ， ∵， ∴， 在中，， ， 解得， ． 23. 已知二次函数（m，n是实数） （1）当时，若该函数图象经过，求函数的表达式． （2）若， ①当时，y随x的增大而减小，求m的取值范围； ②若该函数图象经过，两点，当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）①求得抛物线与轴的交点坐标，即可求得抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质即可得出，即可求解； ②把，两点代入，表示出和，然后将求出即可求得． 【小问1详解】 解：当时，则， 把点代入得，， ， ，即； 【小问2详解】 ①解：， 抛物线与轴的交点为，， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 对称轴为直线， 抛物线开口向上且当时，随的增大而减小， ， ∴； ②解：把，代入解析式，得， ，， ∵， 化简得，， ， ， 当时，的值随的增大而增大， 当时， 时，； 时，； ． 24. 已知：AB，CF都是⊙O的直径，AH，CD都是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，AH＝CD． （1）如图1，求证：AH⊥CF； （2）如图2，延长AH，CD交于点P，求证：PH＝PD； （3）如图3，在（2）的条件下，延长AC，HE交于点Q，若∠Q＝45°，CQ＝2，求HE的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）要证明AH⊥CF，只要证明即可，根据垂径定理和∠AOF=∠BOC，即可证明结论成立； （2）要证明PH=PD，只要证明PA=PC即可，根据AH=CD，即可得到进而得到 ，然后即可得到结论成立； （3）要求的长，过点A作AK⊥QH于点K，连接DH，如图3所示，证明，再根据∠Q=45°，CQ=2，证明，再利用全等三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理即可求得的长． 【详解】解：（1）证明：∵AH＝CD， ∴ ∵AB是直径，CD⊥AB， ∴ ∵∠AOF＝∠BOC，∴ ∴AH⊥CF； （2）证明：连接AC，如图2所示， ∵AH＝CD， ∴ ∴ ∴， ∴∠PCA＝∠PAC， ∴PC＝PA， 又∵CD＝AH， ∴PD＝PH， 即PH＝PD； （3）过点A作AK⊥QH于点K，连接DH，如图3所示， ∵四边形ACDH内接于⊙O， ∴∠PAC＝∠PDH， 由（2）知，∠PAC＝∠PCA， ∴∠PDH＝∠PCA， ∴DH∥AC， ∴∠CQE＝∠DHE， ∵∠CEQ＝∠DHE，CE＝DE， ∴（AAS）， ∴EQ＝EH，CQ＝DH＝2， ∵∠Q＝45°，AK⊥QH， ∴∠Q＝∠QAK＝45°，∴AK＝QK， ∵∠CEQ+∠AEK＝180°﹣∠AEC＝90°，∠AEK+EAK＝90°， ∴∠EAK＝CEQ＝∠PCA﹣∠Q＝∠PAC﹣∠QAK＝∠HAK， ∵∠AKE＝∠AKH＝90°，AK＝AK，∠EAK＝∠HAK， ∴（ASA）， ∴EK＝HK，AE＝AH＝CD， 设EK＝x，则EH＝EQ＝2x， ∴AK＝QK＝3x，AQ＝， AE＝＝＝AH＝CD， ∴CE＝＝， ∴AC＝＝， ∵AQ﹣AC＝CQ， ∴ 解得，x＝， ∴EH＝ 【点睛】本题是一道圆的综合题目，主要考查垂径定理、弧、弦、圆心角之间的关系、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求需要的条件，利用数形结合的思想解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期作业（一）九年级数学 一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为3，若，则点P与的位置关系是（    ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法判断 3. 将二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到二次函数表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 对于的性质，下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 当时，有最大值 D. 当时，随增大而减小 5. 如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面宽，则水深是（ ） A. B. C. D. 6. 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．中心线可看做半径为，圆心角为所对的圆弧，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，、、是上的三点，并且，点是圆上的一个动点（点不与点、、重合），连接、，则的度数是（ ） A. 65 B. 130 C. 65或130 D. 65或115 8. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 若二次函数y＝ax2﹣4ax＋c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣4ax＋c＝0的解为（ ） A. x1＝﹣1，x2＝﹣5 B. x1＝5，x2＝1 C. x1＝﹣1，x2＝5 D. x1＝1，x2＝﹣5 10. 如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连接，相交于点，连接，．已知于点，下列结论：①若，则；②若点为的中点，则；其中正确的是（ ） A. ①正确②正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②错误 D. ①错误②正确 二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分） 11. 抛物线与y轴的交点为_____． 12. 若一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形是正____________边形． 13. 已知扇形的圆心角为，扇形弧长为，则扇形面积为_____． 14. 如图，四边形内接于，是的直径，点E是下方上一点．若，则的大小为________． 15. 在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是___． 16. 已知二次函数的图象上有两点、，若，，都有，则的值为_____． 三、解答题（本题共8题，共72分） 17. 已知二次函数，求出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 18. 已知等边三角形（如图）． （1）用直尺和圆规作的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）． （2）若，求的外接圆半径． 19. 已知二次函数的图象顶点坐标为，且过点． （1）求该二次函数解析式； （2）当时，求函数值y的取值范围． 20. 如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且． （1）求证：； （2）求证：． 21. 某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形（篱笆只围，两边），设时，花园的面积为． （1）求关于的函数关系式； （2）若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 22. 如图，点是内部一点，连接，平分，以点为圆心，为半径的圆经过点，交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 23. 已知二次函数（m，n是实数） （1）当时，若该函数图象经过，求函数的表达式． （2）若， ①当时，y随x的增大而减小，求m的取值范围； ②若该函数图象经过，两点，当时，求的取值范围． 24. 已知：AB，CF都是⊙O的直径，AH，CD都是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，AH＝CD． （1）如图1，求证：AH⊥CF； （2）如图2，延长AH，CD交于点P，求证：PH＝PD； （3）如图3，在（2）的条件下，延长AC，HE交于点Q，若∠Q＝45°，CQ＝2，求HE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $