精品解析：浙江温州市平阳县平阳新纪元蓝田学校2026-2027学年 九年级上学期10月学情自测数学试卷

2026学年第一学期第一次学习品质检测 九年级数学试题卷 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，有三大题，24小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，把x用含y的式子表示，再代入所求分式，合并、约分算出结果． 【详解】解：， ， ． 2. 下列成语所反映事件中，发生的可能性最大的是（ ） A. 竹篮打水 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 水涨船高 【答案】D 【解析】 【分析】必然事件发生的可能性最大，只需找出对应必然事件的选项． 【详解】解：竹篮打水、水中捞月均为不可能事件，发生可能性为； 守株待兔是随机事件，发生可能性介于与之间； 水涨船高是必然事件，发生可能性为； 故水涨船高发生的可能性最大，答案为D． 3. 已知外一点，若线段，则的半径为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵点在外， ∴点到圆心O的距离大于半径， 结合线段，可得半径小于7， 选项中只有6符合条件. 4. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式判断出开口方向和对称轴，再判断出离对称轴越远函数值越大即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为y轴， ∴离y轴越远函数值越大， ∵， ∴， 故选：A． 5. 如图，，直线a，b与，，分别相交于点A，B，C和点D，E，F．若，，则DF的长是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例的知识作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. 将抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数平移规律得出答案即可． 【详解】解：将向左平移3个单位得： ， 再向下平移2个单位得： ． 7. 如图，是的弦，点，都在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对圆周角相等，根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 8. 如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理、相似三角形的判定，先分别算出每条边的长度，再根据三边成比例进行判定两个三角形相似，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，，，， 则 ∵， ∴与不相似， 故A选项不符合题意； 则 ∵， ∴与不相似， 故B选项不符合题意； 则 ∵， ∴与相似， 故C选项符合题意； 则 ∵， ∴与不相似， 故D选项不符合题意； 故选：C． 9. 如图，由四个全等的直角三角形和小正方形拼成正方形，连接交于．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明，得出，根据勾股定理得出，求出，得出，根据勾股定理得出． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵为直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵图中为四个全等的直角三角形， ∴， ∴， ∵正方形中， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值，结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可． 【详解】二次函数 的大致图象如下： ①当时, 当时，取最小值，即， 解得：（正数舍去）， 当时，取最大值，即， 解得：或(均不合题意，舍去)； ②当时, 当时，取最小值，即， 解得：（正数舍去）， 当时，取最大值，即, 解得： 或时，取最小值， 时取最大值， ， ， ， ∴此种情形不合题意， 所以， 故选：D． 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的图象与轴有______个交点． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图象与轴的交点个数等价于对应一元二次方程的实数根个数，可通过计算根的判别式的值进行判断． 【详解】解：令， ∵该一元二次方程中，，， ∴， ∴该一元二次方程无实数根， ∴二次函数的图象与轴有个交点． 12. 若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵扇形面积公式为， ∴将，代入得， ． 13. 如图，将矩形对折后展开，得到矩形和矩形，记．若矩形与矩形相似，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似多边形，根据相似多边形的对应边成比例，列式计算即可． 【详解】解：∵对折， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍掉）； 故答案为：． 14. 甲、乙、丙三人玩传球游戏，拿到球的人须将球随机传给另外两人中的一人．若开始传球时球在甲手上，第一次传球时甲将球随机传给乙或丙，由此经历三次传球．问第三次传球完成时，球回到甲手中的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先画树状图可得三次传球所有等可能的结果，再找出第三次传球后球回到甲手中的结果数，然后利用概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有8种等可能的结果，经三次随机传球后回到甲的情况有2种，根据概率公式，可得所求概率为． 15. 设二次函数与x轴的交点为，．若二次函数，则时自变量x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先由原二次函数与x轴的两个交点求出原函数的对称轴，进而计算得到h的值，再结合两函数二次项系数、常数项完全相同的特点，通过图象平移规律得到与x轴的交点坐标，最后根据开口方向确定时x的取值范围． 【详解】解：∵原二次函数与x轴的交点为，， ∴原函数的对称轴为直线， ∵顶点式二次函数的对称轴为直线， ∴原函数的对称轴满足， 解得：， ∵二次函数的二次项系数、常数项与原函数完全相同， ∴的图象与原函数图象形状、开口方向完全一致，仅对称轴位置存在差异， ∴的对称轴为直线， ∴两个函数对称轴的间距为， 即的图象是由原函数图象向右平移5个单位长度得到的， ∴与x轴的交点为原交点向右平移5个单位，即，， ∵，抛物线开口向上， ∴当时，自变量x的取值范围是． 16. 如图，于点，过，，三点作圆弧，其圆心为，作于点，于点．若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识．连接，设，，得到，，．根据，，，得到四边形为矩形，，，进而求出，根据勾股定理得到，，进而得到，求出，即可求出． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵， ∴， ∴，． ∵，，， ∴，． ∴四边形为矩形，， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 一个不透明的箱子里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个黑球，2个白球，从箱子里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．利用树状图或列表求下列事件发生的概率： （1）事件A：摸出1个红球，1个黑球． （2）事件B：摸出2个白球． 【答案】（1）事件A发生的概率为 （2）事件B发生的概率为 【解析】 【分析】（1）根据题意画出树状图，确定事件A情况数为，即可求解； （2）根据（1）的树状图，确定事件B情况数为，即可求解． 【小问1详解】 解：树状图如下： 总的情况数为25，事件A：摸出1个红球，1个黑球的情况数为4， ∴事件A发生的概率为； 【小问2详解】 结合上述树状图可知： 总的情况数为25，事件B：摸出2个白球的情况数为4， ∴事件B发生的概率为． 18. 已知：抛物线，经过． （1）求a的值． （2）求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）抛物线与x轴的交点坐标为和；与y轴的交点坐标为 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴、y轴的交点坐标． （1）将代入即可求解； （2）首先得到抛物线解析式为，然后分别令和即可求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标． 【小问1详解】 解：将代入 得， 解得； 【小问2详解】 解：∵ ∴ 当时， ∴抛物线与y轴的交点坐标为； 当时， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和． 19. 如图，是的直径，是的弦，如果 （1）求的度数． （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，据此求出的度数，再由同弧所对的圆周角相等可得答案； （2）根据直径所对的圆周角是直角得到，再由同弧所对的圆周角相等得到，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴； ∵， ∴， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，绕原点O顺时针旋转得到（点，分别是点A，B的对应点）．已知点，． （1）在坐标系中画出旋转后的； （2）直接写出点，的坐标； （3）在这个旋转过程中，求点B经过的路径的长． 【答案】（1） 如图，为所作图形； ； （2）点的坐标为，点的坐标为； （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图，旋转作图，坐标点，弧长公式等知识，准确作图是解题关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出对应点，从而得到旋转后的图形； （2）根据图形写出点，的坐标即可； （3）先计算出的长，然后利用弧长公式计算即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点的坐标为，点的坐标为； 【小问3详解】 解：， 点经过的路径的长为． 21. 掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球行进路线可以看成抛物线的一部分．某男生训练掷实心球时，该实心球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示．掷出时，起点处高度为1.9米，当水平距离为3.5米时，实心球行进至最高点米处，温州市中考掷实心球得分标准如下表． （1）求图中抛物线的解析式 （2）根据温州市中考掷实心球的得分标准，求该男生此次训练的得分． 掷实心球（米） 10.0 9.5 9.0 8.5 8.0 7.5 7.0 6.5 6.0 5.5 分值 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 表：温州市中考掷实心球得分标准 【答案】（1） （2）9分 【解析】 【分析】（1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，过点，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解； （2）令，解方程即可得出x的值，然后对照表格数据即可知该男生的得分 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，即，过点， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得： ， 解得：， ∵，舍去负根， ∴， 对照表格可得掷出9.5米，分值9分 22. 如图，已知是的直径，D是上一点，连接、，点C为延长线上一点，连接．且． （1）证明：； （2）若的半径为2，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ． 又， ． ． ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质、圆周角定理等： （1）证得，进而求得 ，即可求得答案； （2）根据，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的半径为2， ． 由（1）可得， 又， ． 或． ， ． 23. 已知抛物线（t为常数）． （1）求抛物线的对称轴． （2）若抛物线与y轴交于点． ①求t的值． ②设，且，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线，之间，当直线，之间的距离为时，求n的值． 【答案】（1）直线． （2）①或；②． 【解析】 【分析】（1）把解析式配方成顶点式，由顶点式直接写出对称轴； （2）①把点的坐标代入解析式，得关于的一元二次方程，解方程后由取舍；②先由①与确定并配方，把两条平行线之间的距离转化为这段图象最高点与最低点纵坐标之差，再由这段图象的两端落在上方直线上求． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：①把点的坐标代入，得， ∴，即， ∴或． ②由得，此时， ∴抛物线的顶点为． ∵， ∴，即顶点横坐标在这段图象上， ∴当时，的最小值为． ∵这段图象夹在两条均与轴平行的直线、之间，即它的最低点与最高点分别落在这两条直线上，而两线之间的距离为， ∴这段图象的最高点的纵坐标为，即为直线、为直线． ∵由知，抛物线与直线只有一个公共点，而顶点在这段图象的内部， ∴这段图象的两端都在直线上，即与时， ∴， ∴， ∴或． ∵， ∴，． ∴的值为． 24. 如图，在矩形中，点为线段上一个动点，过点作交线段于点． （1）若，，，求的长； （2）如图，若，，，连接交于点，求的长； （3）如图，连接，若平分，延长至点，使得，连接交线段于点，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质得出比例式，代入数据进行计算即可求解； （2）由（1）得出，过点作交于点，根据平行线分线段成比例得出，证明，，得出比例式，代入数据即可求解． （3）根据已知条件证明，根据，证明，延长至，至，使得，，补形为正方形，证明是菱形，由，设，则，设，则，在中，根据勾股定理得出，的关系，进而求得，，由（1）得，进而根据，等量代换得出，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， 四边形是矩形， ， 则， ， ， ， ，，， ； 【小问2详解】 解：，，， ，， ， ， ， ， 如图，过点作交于点， ， ，， 解得， ，， ， ， ， ， ， 解得； 【小问3详解】 解：平分， ， ， ， 又， ， ， ， ， 设，， ，，， ， 如图，延长至，至，使得，， 四边形是正方形， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 在中，， 在中，， 又， ， ， ，即是菱形， ， 又， 设，则， ， 设，则， ， ， 在中，，，， ， ， 整理得， ， ，即， ， ， ， 由（1）可得， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期第一次学习品质检测 九年级数学试题卷 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，有三大题，24小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语所反映事件中，发生的可能性最大的是（ ） A. 竹篮打水 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 水涨船高 3. 已知外一点，若线段，则的半径为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 10 4. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，直线a，b与，，分别相交于点A，B，C和点D，E，F．若，，则DF的长是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 将抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的弦，点，都在上，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 9. 如图，由四个全等的直角三角形和小正方形拼成正方形，连接交于．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的图象与轴有______个交点． 12. 若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为______． 13. 如图，将矩形对折后展开，得到矩形和矩形，记．若矩形与矩形相似，则______． 14. 甲、乙、丙三人玩传球游戏，拿到球的人须将球随机传给另外两人中的一人．若开始传球时球在甲手上，第一次传球时甲将球随机传给乙或丙，由此经历三次传球．问第三次传球完成时，球回到甲手中的概率是______． 15. 设二次函数与x轴的交点为，．若二次函数，则时自变量x的取值范围是_________． 16. 如图，于点，过，，三点作圆弧，其圆心为，作于点，于点．若，则的值为__________． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 一个不透明的箱子里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个黑球，2个白球，从箱子里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．利用树状图或列表求下列事件发生的概率： （1）事件A：摸出1个红球，1个黑球． （2）事件B：摸出2个白球． 18. 已知：抛物线，经过． （1）求a的值． （2）求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标． 19. 如图，是的直径，是的弦，如果 （1）求的度数． （2）若，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，绕原点O顺时针旋转得到（点，分别是点A，B的对应点）．已知点，． （1）在坐标系中画出旋转后的； （2）直接写出点，的坐标； （3）在这个旋转过程中，求点B经过的路径的长． 21. 掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球行进路线可以看成抛物线的一部分．某男生训练掷实心球时，该实心球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示．掷出时，起点处高度为1.9米，当水平距离为3.5米时，实心球行进至最高点米处，温州市中考掷实心球得分标准如下表． （1）求图中抛物线的解析式 （2）根据温州市中考掷实心球的得分标准，求该男生此次训练的得分． 掷实心球（米） 10.0 9.5 9.0 8.5 8.0 7.5 7.0 6.5 6.0 5.5 分值 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 表：温州市中考掷实心球得分标准 22. 如图，已知是的直径，D是上一点，连接、，点C为延长线上一点，连接．且． （1）证明：； （2）若的半径为2，，求的长． 23. 已知抛物线（t为常数）． （1）求抛物线的对称轴． （2）若抛物线与y轴交于点． ①求t的值． ②设，且，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线，之间，当直线，之间的距离为时，求n的值． 24. 如图，在矩形中，点为线段上一个动点，过点作交线段于点． （1）若，，，求的长； （2）如图，若，，，连接交于点，求的长； （3）如图，连接，若平分，延长至点，使得，连接交线段于点，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $