精品解析：浙江省杭州市滨江区杭州二中白马湖学校（公办） 2025-2026学年九年级上学期数学第二次独立作业试题卷（1月月考）

2025学年第一学期初三年级数学学科第二次独立作业试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，试题卷4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，必须在答题卷内相应位置填写班级、姓名、试场号、座位号，填涂准考证号． 3．所有答案都必须写在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 4．沉着应试，认真书写，祝你取得满意成绩！ 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知⊙O的半径为5，一条弦的弦心距为3，则此弦的长为（　　） A. 6 B. 4 C. 8 D. 1 4. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ） A. B. C. D. 5. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是半圆O的直径，，则的度数是（ ） A. 70° B. 100° C. 110° D. 120° 7. 如图，在中，点D在BC边上，连接AD，点C在线段AD上，，且交AD于点E，，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以此实现对的近似估算．他由正六边形开始，逐次倍增边数，当计算到圆内接正十二边形时，如图，设定⊙O的半径为1，将圆内接正十二边形分成十二个全等的三角形，每个三角形的顶角为，将这十二个全等三角形的面积之和作为面积的近似值．据此计算，可得的估计值为（ ） A. B. 3 C. 3.14 D. 3.13 9. 如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，此时点E落在上，，下列关于与描述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（ ） A. 当且时，则 B. 当时，则 C. 当且时，则 D. 当时，则 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 已知点是线段的黄金分割点，且，若，则_____． 12. 如图，、是的切线，A、B为切点，是圆O的直径，若，则的度数为_______． 13. 如图，在中，，、分别是边和上的点，且，若的值为10，则的长为 __． 14. 如图，将一把宽为的刻度尺（单位：）放在一个圆形茶杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿相交的两个交点的读数恰好是2和10，则茶杯的杯口外沿半径为_______． 15. 在直角平面坐标系中，已知二次函数图像（a，b，c为常数，）经过点，．当时，有．点，也在函数图像上，则_______． 16. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，将沿着折叠得到，与相交于点E，则________． 三、解答题（第17-21题，每题8分；第22-23题，每题10分；第24题，12分，共72分） 17. 已知二次函数y＝x2﹣2x＋a过点（1，1）． （1）求二次函数解析式； （2）把函数图象向下平移2个单位，得到的函数图象与x轴交于A，B两点，求线段AB的长． 18. 一个布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球． （1）从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率． （2）从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球．小滨认为摸到同色的可能性大，小江觉得摸到不同色的可能性大，请判断谁说的正确，并说明理由，要求画树状图或列表． 19. 如图，在等腰中，，，的平分线交边上的中线于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 20. 如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上．（要求仅用无刻度的直尺，在给定的网格中作图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． （2）在图2中，在线段上作点M，使得． 21. 如图，为的直径，点C在上，延长到D，连接并延长，与交于点E，连接、，使得． （1）求证：． （2）若，弧的长为，连接，求扇形的面积． 22. 某超市销售一种商品，成本价为元/千克，经市场调查，每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于元，且不高于元． （1）求出与之间的函数关系式； （2）如果该超市销售这种商品每天获得元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？ （3）小滨说：“该超市每天的利润最大为元”；小江说：“该超市每天的利润最大为元”．你认为谁说得对？请说明理由． 23. 已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． （1）当、时，求此函数图象的对称轴； （2）当时，若该函数在时，随的增大而减小；在时随的增大而增大，求的取值范围； （3）若点，，均在该函数的图象上，若常数满足，求的值． 24. 已知是的直径，是的弦，是弧的中点（如图），弦与交于点． （1）连结，求证：． （2）求证：． （3）当时，求的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期初三年级数学学科第二次独立作业试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，试题卷4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，必须在答题卷内相应位置填写班级、姓名、试场号、座位号，填涂准考证号． 3．所有答案都必须写在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 4．沉着应试，认真书写，祝你取得满意成绩！ 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据题意设，则，代入代数式计算即可解题． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴， 故选：A． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．通过配方法将二次函数化为顶点形式，从而直接读出顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴配方得， ∴顶点坐标为， 故选：C． 3. 已知⊙O的半径为5，一条弦的弦心距为3，则此弦的长为（　　） A. 6 B. 4 C. 8 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，连接OA，根据勾股定理求出AC，根据垂径定理求出AC=BC，再求出答案即可． 【详解】解：如图所示：连接OA， ∵弦AB的弦心距OC=3， ∴OC⊥AB， ∴∠ACO=90°， 由勾股定理得：AC==4， ∵OC⊥AB，OC过圆心O， ∴AC=BC=4， ∴AB=4+4=8， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦． 4. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值即可得答案． 【详解】解：设袋子中红球有x个， 根据题意，得： 解得 答：袋子中红球有5个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 5. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由二次函数解析式可知抛物线开口向下，对称轴为直线，根据点与对称轴的距离比较函数值大小即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵点，，在二次函数的图象上，且， ∴根据二次函数的开口向下，离对称轴越近，其对应的函数值也就越大可知：； 故选C． 6. 如图，是半圆O的直径，，则的度数是（ ） A. 70° B. 100° C. 110° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆周角定理可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据圆内接四边形的性质即可得． 【详解】是半圆O的直径， ， ， ， 又四边形ABCD是圆O内接四边形， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 7. 如图，在中，点D在BC边上，连接AD，点C在线段AD上，，且交AD于点E，，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质及判定，根据，可得，根据，可得，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 故选项A错误； ∵， ∴，，， ∴ 故选项B错误；C正确， ∵，， ∵，， 故选项D错误； 故选：C． 8. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以此实现对的近似估算．他由正六边形开始，逐次倍增边数，当计算到圆内接正十二边形时，如图，设定⊙O的半径为1，将圆内接正十二边形分成十二个全等的三角形，每个三角形的顶角为，将这十二个全等三角形的面积之和作为面积的近似值．据此计算，可得的估计值为（ ） A. B. 3 C. 3.14 D. 3.13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，含30度角的直角三角形性质． 根据正十二边形的性质求出中心角的度数，再根据直角三角形的边角关系求出，进而求出三角形的面积，求出正十二边形的面积即是圆的面积即可． 【详解】解：如图，设是正十二边形的一边，过点A作，垂足为M， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴正十二边形的面积为， 即的面积为3， 此时． 故选：B． 9. 如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，此时点E落在上，，下列关于与描述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过点A作于M，过点E作于N，则，证明四边形是矩形，可得，结合旋转可得，可得，，设，则，可得，结合，可得，再进一步分两种情况解答即可. 【详解】解：如图，过点A作于M，过点E作于N，则 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 而 ∴四边形是矩形， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转到的位置， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 当时， ∴，即，， ∴，故A，B错误； 当时， ∴，即，， ∴，故C正确，D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键. 10. 在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（ ） A. 当且时，则 B. 当时，则 C. 当且时，则 D. 当时，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，顶点为，与x轴交于和，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把代入，得， ∴顶点为， ∵两点，在抛物线， ∴当且时，（因时抛物线在x轴上方）， 故， 此时 故A选项的结论正确； 当时，抛物线在时递减， 故越大，越小， 即， 故B选项的结论错误； 当且时，， 此时应满足或， 故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增， 故越大，越大， 即， 故D选项的结论错误； 故选：A 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 已知点是线段的黄金分割点，且，若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，掌握线段黄金分割的意义是解题的关键，利用黄金分割的定义得到，再把代入后进行计算即可． 【详解】解：∵点为线段的黄金分割点（），， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，、是的切线，A、B为切点，是圆O的直径，若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的判定定理、切线长定理等知识，求得是解题的关键． 由、是的切线，A、B为切点，得，由切线的性质得，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵、是的切线，A、B为切点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，、分别是边和上的点，且，若的值为10，则的长为 __． 【答案】2 【解析】 【分析】由相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解： ， ． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键． 14. 如图，将一把宽为的刻度尺（单位：）放在一个圆形茶杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿相交的两个交点的读数恰好是2和10，则茶杯的杯口外沿半径为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质，勾股定理的应用．作于C，的延长线交圆于D，其中点为圆心，为半径，，；设茶杯的杯口外沿半径为，在中，由勾股定理知，进而得出结果． 【详解】解：作于C，的延长线交圆于D，其中点为圆心，为半径， 由题意可知，； ∵ ∴， 设茶杯的杯口外沿半径为 则在中，由勾股定理知 解得 故答案为：． 15. 在直角平面坐标系中，已知二次函数图像（a，b，c为常数，）经过点，．当时，有．点，也在函数图像上，则_______． 【答案】 4 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由点 ，的纵坐标相同，可知二次函数的对称轴为直线，由条件当时，有，结合对称轴位置，可推断抛物线开口向下且顶点在处，所以顶点坐标为，然后问题可求解． 【详解】解：由点，可知：该两点关于对称轴对称，则有对称轴为直线， ∵当时，有，且对称轴为直线， ∴抛物线开口向下，且该抛物线的顶点坐标为， ∴该二次函数的表达式为， ∴把点，分别代入二次函数得：， ∴； 故答案为4． 16. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，将沿着折叠得到，与相交于点E，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，关键主要考查学生的推理和计算能力． 连接交于点，连接，由折叠可得，，根据矩形性质和勾股定理可得，利用，可得，所以，然后证明，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，连接交于点，连接， 由折叠可知：，， 在矩形中， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ∴，， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（第17-21题，每题8分；第22-23题，每题10分；第24题，12分，共72分） 17. 已知二次函数y＝x2﹣2x＋a过点（1，1）． （1）求二次函数解析式； （2）把函数图象向下平移2个单位，得到的函数图象与x轴交于A，B两点，求线段AB的长． 【答案】（1）y＝x2﹣2x+2；（2）2 【解析】 【分析】（1）将点（1,1）代入y＝x2﹣2x＋a中求出a值即可； （2）根据平移的性质得到平移后的函数解析式，计算出y=0时的x值，将两值相减即可得到线段AB的长． 【详解】解：（1）将点（1,1）代入y＝x2﹣2x＋a中，得-1+a=1， 得a=2， ∴二次函数解析式为y＝x2﹣2x+2； （2）∵， ∴函数图象向下平移2个单位，得到函数解析式为， 当y=0时，，得， ∴AB=2-0=2． 【点睛】此题考查求函数解析式，二次函数图象平移的性质，函数图象与x轴交点的计算方法，正确掌握各知识并熟练应用是解题的关键． 18. 一个布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球． （1）从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率． （2）从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球．小滨认为摸到同色的可能性大，小江觉得摸到不同色的可能性大，请判断谁说的正确，并说明理由，要求画树状图或列表． 【答案】（1） （2）小滨的说法正确， 理由如下： 由题意可列表如下： 红1 红2 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，白） 由表可知一共有9种等可能的情况，其中两次都摸到同色的有5种等可能的情况，所以两次都摸到同色的概率为，摸到不同色的概率为， ∵， ∴摸到同色的可能性大， ∴小滨的说法正确． 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键； （1）根据概率公式可进行求解； （2）根据列表法可进行求解概率． 【小问1详解】 解：由题意得：从中任意摸出一个球，摸出的是红球的概率为； 【小问2详解】 解：小滨的说法正确，理由如下： 由题意可列表如下： 红1 红2 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，白） 由表可知一共有9种等可能的情况，其中两次都摸到同色的有5种等可能的情况，所以两次都摸到同色的概率为，摸到不同色的概率为， ∵， ∴摸到同色的可能性大， ∴小滨的说法正确． 19. 如图，在等腰中，，，的平分线交边上的中线于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】根据平分，可得，再由等腰直角三角形的性质可得，即可求证； （2）根据勾股定理可得，再由相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 证明∶∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证明是解题的关键． 20. 如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上．（要求仅用无刻度的直尺，在给定的网格中作图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． （2）在图2中，在线段上作点M，使得． 【答案】（1） 如图，即为所求作的三角形； （2） 如图，取格点C和点D，连接，交于点M，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作位似图形，平行线分线段成比例定理在作图中的应用，相似三角形在作图中的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据位似图形的定义，延长到点，使得，延长到点，使得，连结，可证明与位似，位似比为； （2）取格点C和点D，连接，交于点M，根据相似三角形的判定和性质，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， ，故点即为所求． 21. 如图，为的直径，点C在上，延长到D，连接并延长，与交于点E，连接、，使得． （1）求证：． （2）若，弧的长为，连接，求扇形的面积． 【答案】（1） 证明：所对应的圆周角为和， ， ， 为等腰三角形， 为的直径， ，即， 是等腰三角形底边的高， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，弧长的计算，圆周角定理，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系，弧长、扇形面积计算公式是解题的关键． （1）得到，结合已知条件得到为等腰三角形，同时根据直径所对的圆周角是直角，得到是等腰三角形底边的高，在根据等腰三角形三线合一证得； （2）根据弧长公式计算得到圆心角的度数，利用扇形面积公式计算得到扇形面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图所示， 直径， 圆的半径， 设， ， ， ， ，即扇形的面积为． 22. 某超市销售一种商品，成本价为元/千克，经市场调查，每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于元，且不高于元． （1）求出与之间的函数关系式； （2）如果该超市销售这种商品每天获得元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？ （3）小滨说：“该超市每天的利润最大为元”；小江说：“该超市每天的利润最大为元”．你认为谁说得对？请说明理由． 【答案】（1） （2）该商品的销售单价为元 （3）小江说的是正确的，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用、一元二次方程的求解以及二次函数的最值问题，结合实际销售的取值范围分析是解题关键． （1）通过图像上的两点坐标，利用待定系数法求出销量与单价的一次函数关系式； （2）根据“利润（单价成本）销量”列出方程，求解后结合单价的取值范围确定有效解； （3）构建利润的二次函数表达式，结合二次函数的性质与单价的取值范围，判断利润的最大值． 【小问1详解】 解：设函数关系式为 将点、代入得： 解得：， 函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得：，（舍去）， 答：该商品的销售单价为元． 【小问3详解】 解：小江说的是正确的，理由如下： 设该超市的每日利润为元， ， 且对称轴为， 时取得最大值6000， 该超市每天的利润最大为元， 小江说的是正确的． 23. 已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． （1）当、时，求此函数图象的对称轴； （2）当时，若该函数在时，随的增大而减小；在时随的增大而增大，求的取值范围； （3）若点，，均在该函数的图象上，若常数满足，求的值． 【答案】（1）直线 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、因式分解的应用等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）将，代入化简，然后根据二次函数的性质即可解答； （2）将代入化简可得，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求出的表达式，然后代入进行求解即可． 【小问1详解】 解：当，时，二次函数 ， ∴此函数图象的对称轴为直线 【小问2详解】 当时，二次函数 ， ∴抛物线对称轴为直线 ∵， ∴抛物线开口向上 ∵在时，y随x的增大而减小，∴ ，即； ∵在时，y随x的增大而增大，∴，即， ∴ 【小问3详解】 若点，，均在该函数的图象上， ∵， ∴ ∴ ， ∴； ∵， ∴， 即， ∵，为两个不相等的实数， ∴， ∴ 解得 24. 已知是的直径，是的弦，是弧的中点（如图），弦与交于点． （1）连结，求证：． （2）求证：． （3）当时，求的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查圆的性质、相似三角形判定与性质、等腰三角形性质及三角函数计算，需结合圆的弧、直径性质，利用平行、相似、角度关系逐步推导． （1）要证，需结合“弧中点”的性质（弧中点与弦的垂线关系）和“直径所对圆周角为直角”的性质，通过证明同位角（或内错角）相等，推导两直线平行； （2）要证，先利用小问（1）的推导，再结合相似三角形的边长比例，将转化为，最后结合的定义完成推导； （3）已知，需结合圆的弧中点性质推导等腰三角形，再通过设角度、利用相似三角形的比例关系，结合三角形内角和定理求出角度，最终计算的正弦值． 【小问1详解】 证明：如图， 是弧的中点， ， ， 又是的直径， ， ； 【小问2详解】 证明：， ， ； 【小问3详解】 解：如图，连接、， ， ， ， ， 是弧的中点， ， ， ， 是等腰三角形， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， 在中，， ， 则， 设，，则， 则， 解得：，（舍去）， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $