专题07 幂的运算期中考试重难点专题训练2026-2027学年八年级上学期数学人教版

专题07 幂的运算（期中重难点复习） 【新教材人教版八年级上册】 题型归纳 【题型1 同底数幂相乘】 1 【题型2 同底数幂乘法的逆用】 2 【题型3 幂的乘方运算】 3 【题型4 幂的乘方的逆用】 4 【题型5 积的乘方运算】 6 【题型6 积的乘方的逆用】 7 【题型7 幂的混合运算】 7 【题型1 】 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．化简，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．已知，则______． 5．计算（结果用幂的形式表示）：_____． 6．计算的结果为________． 7．计算： (1) (2) 8．定义新运算∶，例： (1)求的值； (2)试说明与是否相等． 【题型2 】 9．可写成（     ） A． B． C． D． 10．若则的值为（     ） A． B． C． D． 11．学校体育器材室有甲、乙、丙三个球袋，分别装有篮球19个、19个、7个，管理员先从甲袋中取出个篮球放入乙袋，再从乙袋中取出个篮球放入丙袋，最后从丙袋中取出个篮球放入甲袋，此时三只袋中篮球的个数相同，则的值等于（     ） A．32 B．64 C．30 D．26 12．已知，，则的值为_______ 13．若关于x，y的方程组的解满足，则的值为_____________． 14．我们知道，同底数幂的乘法法则为：（其中，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，比如：如果，那么，请根据这种新运算填空：若，则_______（用含n和k的代数式表示，其中n为正整数）． 15．我们知道会是一个很大很大的数，但“一峰数学小组”的小芊同学断定这个数一定能被整除，你认为他们的判断有道理吗？请说明理由． 【题型3 】 16．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 17．下列说法正确的是（     ） A．的系数是 B．的次数是3 C．和一定互为相反数 D．若，则都为偶数 18．若为正整数，则（     ） A． B． C． D． 19．若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 20．已知，则的值为______； 已知，，多项式的值为______. 21．数学世界里，新定义的运算常常能为我们探索数的规律打开新的窗口．有一种名为“梅石记号”的新定义：若、、是整数，且，则我们规定其梅石记号为，例如，那么记作．现已知、是正整数，且满足，，，利用定义可以得到________．（用含、的代数式表示） 22．下列各式中，错误的有_______ （填序号）． ①；②；③；④． 23．阅读材料：若（且），则．解决问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 24．计算： (1)； (2)． 25．规定一种运算：若，则．例如：若，则． (1)根据上述规定填空： ，（， ）； (2)小语在研究这种运算时发现一种现象：．下面是她的证明过程． 证明：设，则，即． ∴．∴．∴． 请用这种方法证明：． 【题型4 】 26．若，则的值为（     ） A．8 B．6 C．5 D．4 27．已知，则的值为（     ） A．16 B．24 C．32 D．8 28．已知，则a，b，c，d的大小关系是（     ） A． B． C． D． 29．若，则______． 30．已知，则的值为___________． 31．（1）若，，则_________； （2）若，则=__________； （3）若，则__________． 32．利用幂的运算解决下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 33．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，；，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，． ． ， 即． (1)根据上述规定，填空： ①________②若，则________；③________； (2)记，，．求证：． 【题型5 】 34．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 35．下列说法错误的个数是（     ） ① ②的底数是 ③ ④（为正整数） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 36．下列运算中，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 37．______． 38．计算：_______． 39．若，则_____． 40．计算：． 41．回答下列问题： (1)填空：①______，______； ②______，______． (2)观察（1）结果可得，当为正整数时，______； (3)计算：． 【题型6 】 42．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 43．的值为（     ） A． B． C．5 D． 44．已知，则的值等于（     ） A．2 B． C． D． 45．若，则________． 46．计算：__________． 47．已知，则n的值为_____ ． 48．计算下列各题： (1) (2) 49．阅读下列各式：，，．回答下列三个问题： (1)验证：________，________； (2)通过上述验证，归纳得出：________，________； (3)请应用上述性质计算：． 【题型7 】 50．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 51．_____，______． 52．计算： (1)； (2)． 53．计算与解方程组： (1)计算：； (2)计算：； (3)解方程组：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 幂的运算（期中重难点复习） 【新教材人教版八年级上册】 题型归纳 【题型1 同底数幂相乘】 1 【题型2 同底数幂乘法的逆用】 3 【题型3 幂的乘方运算】 6 【题型4 幂的乘方的逆用】 11 【题型5 积的乘方运算】 15 【题型6 积的乘方的逆用】 18 【题型7 幂的混合运算】 22 【题型1 】 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．化简，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法法则分别计算，即可判断． 【详解】解：，A选项计算错误，不合题意； ，B选项计算正确，符合题意； ，C选项计算错误，不合题意； ，D选项计算错误，不合题意． 4．已知，则______． 【答案】 【分析】利用同底数幂的乘法法则即可计算出结果． 【详解】解：根据同底数幂乘法法则，可得， ∵ ，， ∴ ． 5．计算（结果用幂的形式表示）：_____． 【答案】 【分析】把看作是一个整体，利用同底数幂的乘法解答即可． 【详解】解： 6．计算的结果为________． 【答案】/ 【分析】本题为同底数幂的乘法计算，运用同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】解：． 7．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则计算，再合并同类项． （2）直接利用同底数幂的乘法法则计算． 【详解】（1）解： （2）解： 8．定义新运算∶，例： (1)求的值； (2)试说明与是否相等． 【答案】(1) (2)不相等 ，，二者不相等 【分析】（1）把、代入新运算的定义式计算； （2）分别按定义计算与，利用同底数幂相乘的运算性质比较两个结果． 【详解】（1）解：☆． （2）略 【题型2 】 9．可写成（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】拆分指数为与的和，匹配同底数幂相乘形式． 【详解】解：． 10．若则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂相乘的法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，解决本题的关键是能逆用同底数幂相乘的法则．本题 由逆用即可． 【详解】解：，故选． 11．学校体育器材室有甲、乙、丙三个球袋，分别装有篮球19个、19个、7个，管理员先从甲袋中取出个篮球放入乙袋，再从乙袋中取出个篮球放入丙袋，最后从丙袋中取出个篮球放入甲袋，此时三只袋中篮球的个数相同，则的值等于（     ） A．32 B．64 C．30 D．26 【答案】A 【分析】根据题意分别表示出三只袋中篮球的个数，由题意列式进行变形，计算出，的值即可． 【详解】解：取完后甲袋中篮球的数量为， 乙袋中篮球的数量为 丙袋中篮球的数量为 由题意知 ， ， ， ． 12．已知，，则的值为_______ 【答案】 【分析】已知和的值，利用同底数幂的乘法法则将变形，代入计算即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ． 13．若关于x，y的方程组的解满足，则的值为_____________． 【答案】 【分析】对方程组两个方程作差得到与的关系，代入求出的值，再根据同底数幂的乘法法则计算结果． 【详解】解：记方程组，，用， 代入中，得到，解得， 所以． 14．我们知道，同底数幂的乘法法则为：（其中，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，比如：如果，那么，请根据这种新运算填空：若，则_______（用含n和k的代数式表示，其中n为正整数）． 【答案】 【分析】根据新的运算定义，将原式化成n个的积乘以2026个的积，再代入值进行计算便可． 【详解】解：∵， ∴ ． 15．我们知道会是一个很大很大的数，但“一峰数学小组”的小芊同学断定这个数一定能被整除，你认为他们的判断有道理吗？请说明理由． 【答案】有道理，理由如下： ， 因为能被整除，所以能被整除． 【详解】略 【题型3 】 16．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，整式的加减，解答即可． 【详解】解：∵ ，∴ ，故A错误； ∵ ， ∴ ，故B错误 ∵ 与不是同类项， ∴ 无法合并，故C错误； ∵ ， ∴ D正确． 17．下列说法正确的是（     ） A．的系数是 B．的次数是3 C．和一定互为相反数 D．若，则都为偶数 【答案】B 【分析】单项式次数仅由字母指数决定，可先判断B选项，再结合幂的运算符号规律排除其余选项． 【详解】解：对选项A，的系数为，故A错误； 对选项B，的次数为，故B正确； 对选项C，当为奇数时，，两式相等，故C错误； 对选项D，当为偶数，为奇数时，仍成立，如，故D错误． 18．若为正整数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用乘法的意义化简括号内的加法，再进行幂的乘方运算． 【详解】解：括号内为个相加，得，原式． 19．若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三个幂的底数统一为3，通过比较指数大小判断数值大小关系． 【详解】解：，， ∵，， ∴． 20．已知，则的值为______； 已知，，多项式的值为______. 【答案】 【分析】将不同底数的幂转化为同底数幂，结合同底数幂的乘法、幂的乘方法则，通过指数相等建立等式求解． 【详解】解：∵ ，， ∴ ，， ∴ ， ∵ ∴ 解得； ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 21．数学世界里，新定义的运算常常能为我们探索数的规律打开新的窗口．有一种名为“梅石记号”的新定义：若、、是整数，且，则我们规定其梅石记号为，例如，那么记作．现已知、是正整数，且满足，，，利用定义可以得到________．（用含、的代数式表示） 【答案】/ 【分析】将梅石记号的定义转化为对应的幂等式，结合幂的乘方、同底数幂的乘法法则化简目标式，对比指数关系即可得到z的表达式 【详解】解：根据梅石记号的定义， 由，得 ． 由，得 ． ∵，， ∴． ∴， ∴． 22．下列各式中，错误的有_______ （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】①③ 【分析】根据幂的乘方和积的乘方法则，计算每个式子的正确结果，对比原式判断对错． 【详解】解：① ，，故①错误； ② ，且，，故②正确； ③，，故③错误； ④，故 ④正确； 综上，错误的式子为①③． 23．阅读材料：若（且），则．解决问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将等式左侧的幂统一为以2为底的同底数幂，合并后根据指数相等列方程求解． （2）逆用积的乘方法则将左侧化为以15为底的幂，根据指数相等列方程求解． 【详解】（1）解：，，． ∵， ∴． ∵且， ∴， 解得． （2）解：． ∵， ∴． ∵且， ∴， 解得． 24．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简各根式后，按有理数运算法则计算； （2）化简各幂运算项后，合并同类项得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．规定一种运算：若，则．例如：若，则． (1)根据上述规定填空： ，（， ）； (2)小语在研究这种运算时发现一种现象：．下面是她的证明过程． 证明：设，则，即． ∴．∴．∴． 请用这种方法证明：． 【答案】(1)2； (2)证明：设， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）根据所给的定义求解即可； （2）设，根据定义得到，根据同底数幂乘法的运算法则推出，则，据此证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）略 【题型4 】 26．若，则的值为（     ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】将等式两边化为底数为的幂，根据指数相等求解． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴． 27．已知，则的值为（     ） A．16 B．24 C．32 D．8 【答案】C 【分析】将待求式中的、化为以2为底的幂，使指数出现，整体代入已知条件求值． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴原式． 28．已知，则a，b，c，d的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题先计算各数的最高次指数，化简各数后，利用幂的性质比较大小：同底数且底数大于1时，指数越大幂越大；同正指数时，底数越大幂越大． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ，，， ① 比较和：底数，指数，∴ ； ② 比较和：，同指数，底数，∴ ，即； ③ 比较和：，， ∵ ，∴ ，即； 综上可得 ，故选C． 29．若，则______． 【答案】 【分析】将和利用幂的运算法则变形为只含和的式子，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 30．已知，则的值为___________． 【答案】8 【详解】解：∵， ∴， ∴． 31．（1）若，，则_________； （2）若，则=__________； （3）若，则__________． 【答案】 60 64 1000 【分析】 解题思路为利用积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法法则对所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】（1） 解：根据同底数幂的乘法法则，得 ， 将，代入，得 原式； （2）解： 由，移项，得， 将原式变形，得 ， 将代入，得 原式； （3）解： 根据积的乘方法则化简，得 ，即， 根据幂的乘方法则变形，得 ， 将代入，得 原式． 32．利用幂的运算解决下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将等式左侧各幂统一为以为底的同底数幂，根据指数相等列方程求解； （2）利用幂的运算法则将所求式子变形为含的形式，代入已知值计算． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴，解得.； （2）解： ， ∵， ∴原式 ． 33．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，；，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，． ． ， 即． (1)根据上述规定，填空： ①________②若，则________；③________； (2)记，，．求证：． 【答案】(1)①3；②；③14 (2)证明：∵，，， ∴，，， ， ， ∵， ∴， ∴， ． 【分析】（1）①根据“雅对”的定义计算即可；②根据“雅对”的定义可得，解方程即可；③设，仿照示例求解即可； （2）根据题意可得，，，则可证明，根据推出，据此证明即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； ③设， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）略 【题型5 】 34．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，该项错误； B．，该项错误； C．与不是同类项，不能合并， 该项错误； D．，该项正确． 35．下列说法错误的个数是（     ） ① ②的底数是 ③ ④（为正整数） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据整式的加法运算法则，有理数幂的概念，同底数幂相乘和积的乘方的运算法则进行判断即可． 【详解】解：，故①说法错误； 的底数是，不是，故说法②错误； ，故说法③错误； 为正整数时，为偶数，故，与不一定相等，故说法④错误， 综上，错误的说法共4个． 36．下列运算中，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方的法则逐一判断即可得到结果． 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并， A错误； 选项B：根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得， B错误； 选项C：根据积的乘方法则，得， C错误； 选项D：计算得， D正确． 37．______． 【答案】 【分析】先利用积的乘方法则运算，再根据同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ， ． 38．计算：_______． 【答案】 【分析】根据积的乘方、幂的乘方的法则、同底数幂的乘法法则计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则合并同类项即可． 【详解】解： ． 39．若，则_____． 【答案】24 【分析】利用积的乘方运算，逆用积的乘方法则，将所求式子变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】根据积的乘方法则可得：． 40．计算：． 【答案】 【分析】根据同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方的运算法则计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 41．回答下列问题： (1)填空：①______，______； ②______，______． (2)观察（1）结果可得，当为正整数时，______； (3)计算：． 【答案】(1)，；， (2) (3) 【详解】（1）解：①，； ②，． （2）解：观察可得，当为正整数时，； （3）解： ． 【题型6 】 42．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把转化成，然后逆用积的乘方的运算法则即可． 【详解】原式 ． 43．的值为（     ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【详解】解： ． 44．已知，则的值等于（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由非负数和为0的性质求出的值，再逆用积的乘方运算简化待求式. 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，. ∴ . 45．若，则________． 【答案】 【分析】先利用幂的乘方法则化简等式左侧，再将等式右侧的代数式转化为同指数的幂形式，结合奇数次幂的性质求出M的值． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 46．计算：__________． 【答案】 【分析】将原式变形为同底数幂的形式，利用幂的乘方、同底数幂的乘法逆运算、积的乘方逆运算计算． 【详解】解： ． 47．已知，则n的值为_____ ． 【答案】 【详解】 ， 解得：． 48．计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 49．阅读下列各式：，，．回答下列三个问题： (1)验证：________，________； (2)通过上述验证，归纳得出：________，________； (3)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2)； (3) 【分析】（1）根据有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题． （2）通过猜想归纳解决此题． （3）根据积的乘方、有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题． 【详解】（1）解：； ； （2）解：；； （3）解： ． 【题型7 】 50．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的相关运算与合并同类项法则，根据对应运算法则逐个计算选项即可得到正确结果． 【详解】解：， 选项A不符合题意； ， 选项B不符合题意； ， 选项C不符合题意； ， 选项D符合题意． 51．_____，______． 【答案】 4 16 【分析】本题考查幂的运算和平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则以及平方差公式． ①将变形为，再利用积的乘方逆运算进行计算；②把变形为，然后运用平方差公式计算． 【详解】①解： ； ② ． 故答案为：4； 16 52．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加法则计算；直接合并的指数，计算负数偶次幂即可； （2）把改写为，统一底数为，指数相加，再化简符号得到结果． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ， ， ． 53．计算与解方程组： (1)计算：； (2)计算：； (3)解方程组：． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值，再计算加减即可得出结果； （2）根据整式的混合运算法则计算即可得出结果； （3）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：      ； （3）解：由①知③， 由知， ∴， 把代入①知， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $