精品解析：广东江门市新会第一中学2026-2027学年高一上学期质量检测（一）数学试题

2026-2027学年第一学期高一级质量检测(一) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 金钱豹是猫科豹属中的一种猫科动物.根据以上信息，可知“甲是猫科动物”是“甲是金钱豹”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 不等式的解集是（    ） A. B. 或 C. D. 5. 已知 ，且 ，则（　　） A. B. C. D. 6. 已知命题，，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，都是正实数，且.则下列不等式成立的有（    ） A. B. C. D. 11. 江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（ ） A. 同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B. 只参加球类一项比赛的人数有2人 C. 只参加径赛一项比赛的人数为0人 D. 只参加田赛一项比赛的人数为3人 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，的取值范围是__________. 13. 已知集合，有下列三个关系①；②；③，若三个关系中有且只有一个正确的，则_______________. 14. 如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形的中心位置建造一个面积为50的矩形（）花园，在矩形的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽0.5m，东西两侧的草坪宽1m，则当______m时，矩形的面积最小，且最小值为______. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程算步骤. 15. （1）已知全集，集合，，求：和； （2）设全集，，，求、. 16. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小为多少？ （2）若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？最大为多少？ （3）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 17. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； （3）若，求m的取值范围. 18. 已知函数 （1）若的解集为，求实数的值； （2）若，求不等式的解集； （3）若且，求的最小值. 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一级质量检测(一) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由元素、集合间的关系可解. 【详解】对于A，应为；对于B，应为； 对于 C，空集是任何集合的子集，故； 对于D，是点集，是数集，故说法错误． 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题“，”的否定是“，”. 3. 金钱豹是猫科豹属中的一种猫科动物.根据以上信息，可知“甲是猫科动物”是“甲是金钱豹”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的判定方法进行判断. 【详解】由“甲是金钱豹”可推出“甲是猫科动物”，由“甲是猫科动物”不能推出“甲是金钱豹”， 所以“甲是猫科动物”是“甲是金钱豹”的必要不充分条件. 故选：B 4. 不等式的解集是（    ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】将原不等式化为， 解得或， 所以原不等式的解集为或． 5. 已知 ，且 ，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 ，且 ， 对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，由，得，D正确. 6. 已知命题，，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得命题的否定，结合不等式恒成立，求解即可. 【详解】命题，是假命题， ，恒成立是真命题； 当时，恒成立， 当时，需，，解得， 当时，，不可能满足恒成立， 综上可得a的取值范围为. 故选：. 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法比较的大小，再结合中间值比较即可. 【详解】易知， 因为，，所以， 则，即. 因为，，所以. 综上，. 故选：A 8. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，再利用基本不等式即可得出答案. 【详解】解： ， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图知集合是集合的真子集，结合图形由集合的交并补运算逐一判断即可. 【详解】选项A：因为集合 是集合 的真子集，所以  ，故A正确； 选项B：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故B正确； 选项C: 因为集合 是集合 的真子集，所以集合 在全集 中的补集与集合 的交集非空， 例如 ,而,则，故C错误； 选项D：由图知，集合是集合的真子集，则是的真子集，而,故，即D正确. 10. 已知，都是正实数，且.则下列不等式成立的有（    ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用已知条件，通过直接使用基本不等式，代换构造定值，平方等方法，判断选项的正误. 【详解】因为a，b都是正实数，且， 对于A， 由基本不等式，当且仅当时等式成立，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即，时等式成立，故B错误； 对于C，因为， 所以，当且仅当时等式成立，故C错误； 对于D，， 当且仅当时等式成立，故D正确. 故选：AD. 11. 江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（ ） A. 同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B. 只参加球类一项比赛的人数有2人 C. 只参加径赛一项比赛的人数为0人 D. 只参加田赛一项比赛的人数为3人 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意画出韦恩图，标出各集合包含的元素个数，列方程即可逐一求得. 【详解】设全班同学组成全集，参加田赛的同学组成集合，参加径赛的同学组成集合， 参加球类比赛的同学组成集合，设同时参加径赛和球类比赛的人数为， 根据题意，画出韦恩图如图所示， 则，解得. 对于A，由图知同时参加径赛和球类比赛的人数为人，故A错误； 对于B，只参加球类一项比赛的人数为人，故B错误； 对于C，只参加径赛一项比赛的人数为人，故C正确； 对于D，由图知只参加田赛一项比赛的人数为3人，故D正确. 故选：CD． 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 又， 两式同向相加得： ， 即. 13. 已知集合，有下列三个关系①；②；③，若三个关系中有且只有一个正确的，则_______________. 【答案】5 【解析】 【分析】依次讨论①②③正确性，确定的值，得到答案. 【详解】若①正确，②③错误，则，，，矛盾，不成立； 若②正确，①③错误，则，，，矛盾，不成立； 若③正确，①②错误，则，，，成立，； 综上所述：. 故答案为：. 【点睛】本题考查了逻辑推理，相等集合，意在考查学生的计算能力和逻辑推理能力. 14. 如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形的中心位置建造一个面积为50的矩形（）花园，在矩形的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽0.5m，东西两侧的草坪宽1m，则当______m时，矩形的面积最小，且最小值为______. 【答案】 ①. 5 ②. 72 【解析】 【分析】利用基本不等式可求面积的最小值及何时取最小值. 【详解】设的长度为，的长度为，得， 则矩形的面积为， 而，当且仅当，即，时，等号成立. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程算步骤. 15. （1）已知全集，集合，，求：和； （2）设全集，，，求、. 【答案】（1），；（2），. 【解析】 【详解】（1）因为全集，集合，， 所以，故， 因为，，故； （2）因为全集，，， 所以， 因为或，故. 16. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小为多少？ （2）若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？最大为多少？ （3）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】（1）长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小为 （2）菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大，最大为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用不等式求和的最小值. （2）利用不等式求积的最大值. （3）先把化成，再利用“1”的妙用求和的最小值. 【小问1详解】 由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小为. 【小问2详解】 由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大，最大为. 【小问3详解】 由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 17. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； （3）若，求m的取值范围. 【答案】（1），或． （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 当时，， 因为，所以，或． 【小问2详解】 因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． 【小问3详解】 因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 18. 已知函数 （1）若的解集为，求实数的值； （2）若，求不等式的解集； （3）若且，求的最小值. 【答案】（1）， （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）借助韦达定理计算即可得； （2）借助根的判别式，分、、与进行讨论即可得； （3）借助基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 由已知的解集为， 所以是方程的解，且， 所以，， 所以，. 【小问2详解】 若，不等式可化为， 方程的判别式， 当，即且时， 方程的两根为，， 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 【小问3详解】 因为，所以， 因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，时等号成立， 即当且仅当，或，，时等号成立； 所以的最小值为. 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 【答案】（1） 由，所以集合是“完美集”； （2） 若是两个不同的正数， 且是“完美集”， 设， 根据根与系数关系可知相当于方程的两根， 由于，解得或（舍）， 所以， 又均为正数， 所以，当且仅当时成立 是两个不同的正数， 所以至少有一个大于2； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设设中，得到，分，，进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设中， 由， 得， 当时，即有， 又为正整数，所以， 则，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，即有， 故只能， 则，可求得， 于是此时“完美集”只有一个为； 当时，由， 即有， 又， 又，所以， 即， 又， 即，与矛盾， 所以当时，不存在“完美集”； 综上所述，“完美集”为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $