精品解析：广东省深圳实验光明部学校2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

深圳实验学校光明部 2026-2027 学年度第一学期期中考试 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 则， 所以. 2. 已知直线过、两点，且倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为直线过、两点，且倾斜角为，故. 由斜率公式可得，解得. 3. 椭圆的两个焦点坐标分别为 ，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 20，则此椭圆的标准方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，椭圆焦点在轴上，， 又∵椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，∴，即， ，椭圆的标准方程为. 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，， 则. 5. 经过点的直线被两条直线和所截得的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定斜率是否存在，然后写出直线方程，联立方程组解得交点坐标，由中点坐标解得直线方程. 【详解】当直线斜率不存在时，， 则直线与两条直线和的交点分别为和， 两交点的中点坐标为，不符合题意； 当直线斜率存在时，设，由题意可知，. 联立，解得交点为， 联立，解得交点为， 由题意可知，所以， 所以. 6. 已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先利用对称性将转化为（为原点关于直线的对称点），从而将问题转化为，求圆上动点到定点的最短距离，再由圆心到定点的距离减去半径即可得到最小值． 【详解】圆的方程为，圆心，半径， 原点关于直线的对称点为，设， 则：，解得，所以， 由对称性，， 所以， 当为线与直线的交点时取等号， 所以问题转化为求圆上的动点到定点距离的最小值， 因为圆心到的距离为， 所以圆上点到 的最小距离为． 所以的最小值为． 7. 如图，在棱长为的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和，再由点到直线向量法距离公式即可计算求解. 【详解】以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系． 因为正方体的棱长为，， 所以，，，， 不妨设，， 所以， 又，所以在直线上的投影数量的绝对值为， 所以点到直线的距离， 当且仅当时等号成立， 即点到直线距离的最小值为． 故选：A 8. 已知直线恒过定点，圆上的两点满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，由得到三点共线，设弦的中点为，得到，利用，得到E的轨迹是以为圆心，为半径的圆，设直线l为，利用点到直线的距离求出E到l的最小距离，过P、E、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为M、R、N，则四边形是直角梯形，且R是的中点，则是直角梯形的中位线，即，计算得解. 【详解】， ，解得，则， ,三点共线， 设弦的中点为，连接，则，即， ∴，，， 所以点E的轨迹方程为， 即E的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设直线l为， 则到的最小距离为， 过P、E、Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、R、N， 则四边形是直角梯形，且R是的中点， 则是直角梯形的中位线， ∴， 即， 即， 所以的最小值为． 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）． 9. 关于直线，下列说法正确的有（ ） A. 原点到直线距离为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线与直线垂直 D. 直线与直线平行，且距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，由点到直线距离公式求结论即可判断，对于选项B，根据截距的定义求截距即可判断，对于选项C，根据斜率关系判断两直线是否垂直即可，对于选项D，由斜率关系和截距关系判断两直线是否平行，结合平行直线距离公式求距离判断结论. 【详解】对于选项A：根据点到直线的距离公式，原点到直线的距离​，A正确； 对于选项B：由，令，可得，即，直线在轴上的截距为而非，B错误； 对于选项C：直线的斜率，直线的斜率，满足，因此两直线互相垂直，C正确； 对于选项D：直线的斜率为，在轴上的截距为， 直线的斜率为，在轴上的截距为， 因为两条直线的斜率相等、在轴上的截距不同，所以两直线平行； 根据平行线距离公式可得两直线间的距离，D错误. 10. 已知圆和直线：，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 四边形的面积的最小值为4 D. 的最大值为4 【答案】BC 【解析】 【分析】分析可知，当时，取最小值，结合勾股定理可判断A选项；推导出，可得出，利用三角形的面积公式可判断B选项；分析可知，当最小时，四边形为正方形，求出线段的中点坐标，结合直线的点斜式方程可判断C选项；分析可知，，可判断D选项. 【详解】圆心为，半径为，连接、，则. 对于A选项，由勾股定理可得， 当时，取最小值，此时，也取最小值， 且，则，A错； 对于B选项，越小，越大，越大. ， ，，，故B正确. 对于C选项，由切线长定理可得， 又因为，，所以，， 故， 当且仅当时，等号成立，故四边形面积的最小值为4,C对； 对于 D 选项，设， 因为，则， 因为，则，且E为的中点， 所以，，()，D 错. 11. 如图，若正方体的棱长为2，点M是正方体侧面上的一个动点（含边界），点P是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面PCD截该正方体的截面面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 若，则线段长度最小值为 D. 若点Q为棱BC中点，点M在线段上移动（含端点），则与平面DPC所成角正弦值的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A ，利用面面平行性质确定截面为矩形，求出矩形邻边长，直接计算矩形面积完成判断；对B ，等体积转化，找到到平面距离的最大值，代入体积公式算出体积上限，对照选项判断正误；对C，由推出侧面内动点是以为圆心、半径为的圆弧，利用圆外一点到圆上点距离最小值判断；对D ，找出与平面线面角，建立三角函数表达式，分析函数单调性，得到正弦值的取值范围. 【详解】对于A：由面面平行的性质可知截面如图，其中为中点，四边形为矩形， 在直角三角形ADP中，，，所以， 所以矩形CDPH的面积，A正确； 对于B：因为，设点到平面CDPH的距离为，如图： 设过点作交CH于． 因为在正方体中，平面，平面，所以． 又因为，，平面CDPH，所以平面CDPH． 所以就是点到平面的距离，当且仅当M与重合时，到平面的距离有最大值． 在直角三角形中，，所以． 所以三棱锥的体积 ，B错误； 对于C：连接，平面，，所以 在侧面中，动点到定点的距离为，动点在一段圆弧上， 由圆的几何性质，线段，C正确； 对于D：取棱的中点，连接，，再过点作． 因为，因此平面． 又因为，，所以，且是动点， 所以平面或平面，且平面， 故就等于与平面所成角． 在直角三角形中，，， 当时，； 当时，在单调递增，所以． 综上所述，，即与平面DPC所成角正弦值的取值范围为，D正确． 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡中的横线上）． 12. 已知 ，， 与 的夹角为 ，则 __________． 【答案】 【解析】 【详解】∵， ， ∴， 即. 13. 若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可. 【详解】因为，可知直线过定点， 由曲线，两边平方得， 则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点）， 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点， 此时，解得， 当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点， 圆心到直线的距离，解得， 要使直线与曲线恰有两个交点， 则直线夹在两条直线之间，因此， 故答案为：. 14. 体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，点，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先构造一个正方体，再用正方体截成一个正四面体，从而可得正四面体棱长，再通过等体积法计算内切球的半径及外接球的半径，再由向量的运算得，从而可得所求值. 【详解】由题意，球是正四面体的内切球，设正四面体棱长为，所以截四面体的正方体的棱长为， 正四面体的体积由正方体的体积减去个体积相等的三棱锥的体积得到， 所以正四面体的体积，因此，解得. 设正四面体的内切球半径为，正四面体表面积​​， 由等体积法：，即​​，解得. 因为球面上两点的最大距离为球的直径， 因此当最大时，是球的一条直径，此时. 因为中点即球心，有，，且， 因此： ， 因为点在正四面体表面上，正四面体的内切球心到正四面体顶点的距离（即外接球半径）， 也是正方体的外接球半径​​， 即正四面体表面上的点到的最大距离为，所以， 所以. 因此的最大值为. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 已知直线与直线的交点为M． （1）求过点和点M的直线方程； （2）求过点M，且与垂直的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立两直线方程，可求出交点M的坐标，进而可得直线AM的斜率，代入点斜式方程，即可得答案. （2）根据两直线的位置关系，可得与垂直的直线的斜率k，代入点斜式方程，即可得答案. 【小问1详解】 联立两直线方程，解得，即交点， 又，则， 所以直线AM的方程为，即. 【小问2详解】 直线变形为，斜率， 则与垂直的直线斜率， 则过点M，且与垂直的直线方程为，即. 16. 已知以点为圆心的圆与直线相切. (1)求圆A的方程； (2)过点的直线l与圆A相交于M、N两点, 当时，求直线l方程． 【答案】（1）（2）或 【解析】 【详解】（1）由题意知到直线的距离为圆半径，且 , 所以圆的方程为 . （2）记MN中点为Q，则由垂径定理可知且， 在中由勾股定理易知，，设动直线方程为：或，显然合题意.由到距离为1知，解得, ∴或 为所求方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若点N为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若点在棱上，且平面与平面夹角的余弦值为，请确定点的位置． 【答案】（1）证明：底面，底面， ， 又，且，，平面， 平面， 又平面， ∴平面平面． （2）． （3）点N为上靠近点C的三等分点． 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质定理可得，结合及线面垂直的判定定理可得平面，即可得证； （2）以A为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）结合（2）设（），分别求出平面与平面的法向量，，利用，求出的值，即可得点的位置. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知平面，平面，故， ∵，， 又底面，底面， 所以， 故以A为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，则，， ，， ，， 则，，， 所以, N为中点，故． 向量， 设平面的法向量， 由，即， 令，得． 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由（2）知，，， 设（），， 则，， 设平面的一个法向量为，， 则， 令，则， 设平面的一个法向量为，， 则， 令，则， ∵平面与平面夹角的余弦值为， ， 整理得：， 解得或（舍去）， 因此，点N为上靠近点的三等分点． 18. 设椭圆的离心率为，左、右焦点为，，且，为上的点． （1）求的方程； （2）若在第一象限，，求点的坐标； （3）若，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由焦距、离心率求出，写椭圆方程； （2）垂直转向量点积得圆方程，联立椭圆取第一象限解； （3）用椭圆定义得两边长，余弦定理求夹角正弦，代入面积公式计算. 【小问1详解】 由焦距. 离心率 ，所以, 椭圆方程： 【小问2详解】 由已知，，设， 则, 因为，所以， 故. 联立椭圆方程： ,由①得 代入②可得 ， . 在第一象限，，，，. 故. 【小问3详解】 根据椭圆定义可得， 又，设，则. 故， 所以，，又 . 设，由余弦定理在中有， 代入数值可得， ，故. 由同角三角关系得. ，所以. 19. 已知点，的坐标分别为和，动点满足到点的距离是它到点 的距离的2倍，动点的轨迹为曲线，曲线与轴的交点分别为，点（在的上面）．点是直线上的一个动点，直线，分别与曲线相交于，两点（均与，不重合）． （1）求动点的轨迹方程； （2）若是等腰三角形，求点的坐标； （3）①设直线，的斜率为，，求的值； ②求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】（1） （2）或； （3）①3； ②由题意知，所以直线的斜率 ，即 ， 设，设直线的方程为， 将其代入曲线中，消去可得， 则，即， 则 ， 因为， 整理可得， 则 ， 由，可解得，此时恒成立， 所以直线恒过定点； 【解析】 【分析】（1）由题意可得，转化为方程，即可求出点Q的轨迹方程； （2）设点，由是等腰三角形得到，由此列出方程，即可求出点P的坐标； （3）①表示出直线和的斜率，得到，即可求出的值；②由题意知，可得 ，设直线的方程为， 并将其代入曲线中，利用韦达定理及求出值，即可证明直线过定点； 【小问1详解】 设点，点，的坐标分别为和， 由题意可知，即 ， 两边平方整理可得点Q的轨迹方程为. 【小问2详解】 由对称性不妨令，设点， 设直线与轴交于点. 因为，，所以，， 所以若是等腰三角形，则 ，解得， 所以点P的坐标为或； 【小问3详解】 ①由题意知，设， 则直线的斜率 ，直线的斜率 ，则有， 又直线，的斜率为，所以 ； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳实验学校光明部 2026-2027 学年度第一学期期中考试 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知直线过、两点，且倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆的两个焦点坐标分别为 ，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 20，则此椭圆的标准方程为（　　） A. B. C. D. 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 经过点的直线被两条直线和所截得的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 7. 如图，在棱长为的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知直线恒过定点，圆上的两点满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）． 9. 关于直线，下列说法正确的有（ ） A. 原点到直线距离为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线与直线垂直 D. 直线与直线平行，且距离为 10. 已知圆和直线：，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 四边形的面积的最小值为4 D. 的最大值为4 11. 如图，若正方体的棱长为2，点M是正方体侧面上的一个动点（含边界），点P是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面PCD截该正方体的截面面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 若，则线段长度最小值为 D. 若点Q为棱BC中点，点M在线段上移动（含端点），则与平面DPC所成角正弦值的取值范围为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡中的横线上）． 12. 已知 ，， 与 的夹角为 ，则 __________． 13. 若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是_______ 14. 体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，点，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是______． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 已知直线与直线的交点为M． （1）求过点和点M的直线方程； （2）求过点M，且与垂直的直线方程． 16. 已知以点为圆心的圆与直线相切. (1)求圆A的方程； (2)过点的直线l与圆A相交于M、N两点, 当时，求直线l方程． 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若点N为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若点在棱上，且平面与平面夹角的余弦值为，请确定点的位置． 18. 设椭圆的离心率为，左、右焦点为，，且，为上的点． （1）求的方程； （2）若在第一象限，，求点的坐标； （3）若，求的面积． 19. 已知点，的坐标分别为和，动点满足到点的距离是它到点 的距离的2倍，动点的轨迹为曲线，曲线与轴的交点分别为，点（在的上面）．点是直线上的一个动点，直线，分别与曲线相交于，两点（均与，不重合）． （1）求动点的轨迹方程； （2）若是等腰三角形，求点的坐标； （3）①设直线，的斜率为，，求的值； ②求证：直线过定点，并求出定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $