精品解析：吉林吉林市第十三中学2026-2027学年度八年级上学期期中考试数学

吉林市第十三中学2026-2027学年度八年级上期中考试数学 一、单选题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式，平方差公式，完全平方公进行计算可得出答案． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了整式的运算，正确掌握相关运算法则和乘法公式是解题的关键． 2. 如图，在中，为边上的高，平分，，相交于点F．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． 先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据垂直的定义可得，最后根据直角三角形两锐角互余的即可得． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， 为边上的高， ， ． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的运算法则判断选项的正确性． 【详解】解：A选项错误，； B选项正确； C选项错误，； D选项错误，． 故选：B． 【点睛】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的运算法则． 4. 在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件：三角形任意两边之和必须大于第三边． 根据构成三角形的条件判断各选项即可． 【详解】解：A：，∵，等于第三边，∴不能组成三角形； B：，∵，∴不能组成三角形； C：，∵，∴能组成三角形； D：，∵，等于第三边，∴不能组成三角形； ∴能组成三角形的是选项C． 故选：C． 5. 已知(为常数)是一个完全平方式，则的值为(     ) A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式．根据完全平方式的定义，得，则，解得的值，即可作答． 【详解】解：∵ 是一个完全平方式， ∴， ∴ ， 即， 故选：D． 6. 如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由作法可知，，， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 若一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，主要运用的几何原理是_________． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性. 8. 若等腰三角形的两边长分别为2和6，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，掌握这些是解题的关键． 对等腰三角形的腰长进行分类讨论：腰长为2或腰长为6，同时利用三角形的三边关系判断三边长度是否能构成三角形，再计算可以构成三角形的周长即可． 【详解】解：当腰长为2时，三边分别为2、2、6， 由于，不能构成三角形； 当腰长为6时，三边分别为6、6、2， 由于，，能构成三角形； 所以等腰三角形周长为． 故答案为：14． 9. 如图，已知，且，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 由全等三角形的性质可得，进一步即得，再根据题中数据可求得BF的长，进而可求得BC的长． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的是_______（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得到，，，从而得到，最后证明不成立即可． 【详解】解：∵， ∴，故①、③符合题意， ∵， ∴， ∴，故④符合题意， ∵， ∴， ∴不一定成立，故②不符合题意， 故答案为：①③④． 11. 如图，的角平分线相交于点，过点作，垂足为点，若点到的距离为2，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上点到角两边距离相等． 【详解】解：点是的角平分线交点， 点到的距离等于点到的距离， 到的距离为2， ， 故答案为：2． 三、解答题（共87分） 12. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 13. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2． 【解析】 【分析】先化简多项式除以单项式的部分，展开完全平方项后合并同类项得到最简整式，再代入给定的a、b值计算结果． 【详解】解 ：   ， 当，时，原式． 14. 如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先证明△ADB≌△AEC，从而得到∠BAD＝∠CAE，根据等式的性质可证得∠BAC＝∠DAE． 【详解】证明：在△ADB和△AEC中， ∴ ∴ ∴ 即 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，证得△ADB≌△AEC是解题的关键． 15. 如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． （1）用含，的代数式表示花园的面积； （2）小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积； （3）若，，预计每平方米铺设地砖的价格是元，那么购买所需地砖需要多少元？ 【答案】（1） （2） （3）元 【解析】 【分析】本题主要考查了利用整式解决实际问题，整式的混合运算，代数求值等，解题的关键是掌握整式的各运算法则． （1）根据题意列出代数式，利用多项式乘多项式进行化简即可； （2）根据题意列出代数式，利用多项式乘多项式进行化简即可； （3）代数求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：当，时，， （元）， 所以购买所需地砖需要元． 16. 2025年第十二届世界运动会在成都圆满闭幕．成都射击馆的外墙采用三角形结构支撑，如图所示的是其结构示意图，设计师在中设置了一块玻璃幕墙，平分，，与交于点O，根据测算，为符合结构强度，设计为．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为．先根据三角形内角和求出，再根据角平分线定义求出，最后根据三角形外角的性质，求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 17. 如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，请按要求在正方形网格中作图，并解答相关问题． （1）在图1中作出的边上的高，的面积为 ； （2）在图2中作出的边上的中线，并计算的面积； （3）已知是以为腰的等腰三角形，面积为6，且点在格点上，请在图3中作出所有满足条件的． 【答案】（1） 边上的高，如图所示： 6 （2） 中线，如图所示： 5.5 （3） 以为腰的等腰三角形，如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，画三角形的高，中线，运用网格求三角形的面积，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据网格特征，作出的边上的高，运用底乘高乘算出的面积，即可作答． （2）运用网格特征找出边上的中点G，再连接，即可作答． （3）结合以为腰的等腰三角形，以及面积为6，且点在格点上，可以画出底为，高为的等腰三角形或者画出底为4，高为3的等腰三角形，即可作答． 【小问1详解】 解：则的面积为， 故答案为：6 【小问2详解】 解：则， ∴． 【小问3详解】 略 18. 如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）4． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 19. 学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A、B两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸A、B两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在一条直线上，且； ②测得； ③在的延长线上取点E，使得； ④测得的长度为30米． 请你根据以上方案求出A、B两点间的距离． 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理 ，解题的关键是熟练掌握三角形全等的方法． 证明，得出，根据，求出米． 【详解】解：，， ， ∵ ， 在与中， ， ， 又， 米． 20. 如图，已知在正方形中，，，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动，同时点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿正方形的边向终点运动．设点的运动时间为（秒），连接． （1）当点停止运动时，_______； （2）用含的代数式表示线段的长； （3）当的面积为40时，求的值； （4）直接写出当为何值时，以点及正方形的某两个顶点组成的三角形和全等． 【答案】（1）8 （2） （3）的值为或； （4）秒或秒或秒或秒 【解析】 【分析】（1）根据点停止运动时走过的路程即可求解； （2）分两种情况讨论求解； （3）分两种情况讨论，根据面积公式即可求解； （4）分三种情况、和，求解即可. 【小问1详解】 解：当点停止运动时，所走的路程为：， ∴（秒）， 故答案为：8； 【小问2详解】 解：当点在线段上时，此时， ∴； 当点在线段延长线上时，此时， ∴； 综上，； 【小问3详解】 解：当时， 由题可知：，， ∴， 解得：； 当时， 由题可知：，， ∴， 解得：； 综上，的值为或； 【小问4详解】 解：当时，如图所示， ∵，，， ①当时，，此时，解得， ②当时，，此时，解得， ③当时，，此时，解得， 当时，如图所示， 当点在延长线上时，， 或中没有直角边会大于， 所以此情况不存在； 当时，此时点重合， ， 综上所述，的值为秒或秒或秒或秒时，以点及正方形的某两个顶点组成的三角形和全等. 21. 如图①是一个长为，宽为的长方形（），沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形，如图②所示． （1）观察图②，请你写出，，之间的等量关系：______； （2）根据（1）中的结论，若，，求； （3）如图③，正方形的边长为，，，长方形的面积是20，四边形和四边形都是正方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）2 （3）84 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，图形的面积，关键是能从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，并能进行公式的变形应用． （1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为的长方形面积，可得答案； （2）将，代入（1）中公式即可； （3）由正方形的边长为，则，得，设，得，则，代入即可． 【小问1详解】 解：由图形知，大正方形的面积为，中间小正方形的面积为， 大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为的长方形面积， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， 将，代入得：， ， ， ∵， ， 故答案为：2； 【小问3详解】 解：∵正方形的边长为， ， ， 设， ， ， ∴图中阴影部分的面积为84． 22. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】 （1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市第十三中学2026-2027学年度八年级上期中考试数学 一、单选题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，为边上的高，平分，，相交于点F．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知(为常数)是一个完全平方式，则的值为(     ) A. 4 B. C. D. 6. 如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 若一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，主要运用的几何原理是_________． 8. 若等腰三角形的两边长分别为2和6，则这个等腰三角形的周长为______． 9. 如图，已知，且，，则_____． 10. 如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的是_______（填序号）． 11. 如图，的角平分线相交于点，过点作，垂足为点，若点到的距离为2，则______． 三、解答题（共87分） 12. 计算： （1）； （2）． 13. 先化简，再求值：，其中，． 14. 如图，，，．求证：． 15. 如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． （1）用含，的代数式表示花园的面积； （2）小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积； （3）若，，预计每平方米铺设地砖的价格是元，那么购买所需地砖需要多少元？ 16. 2025年第十二届世界运动会在成都圆满闭幕．成都射击馆的外墙采用三角形结构支撑，如图所示的是其结构示意图，设计师在中设置了一块玻璃幕墙，平分，，与交于点O，根据测算，为符合结构强度，设计为．求的度数． 17. 如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，请按要求在正方形网格中作图，并解答相关问题． （1）在图1中作出的边上的高，的面积为 ； （2）在图2中作出的边上的中线，并计算的面积； （3）已知是以为腰的等腰三角形，面积为6，且点在格点上，请在图3中作出所有满足条件的． 18. 如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A、B两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸A、B两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在一条直线上，且； ②测得； ③在的延长线上取点E，使得； ④测得的长度为30米． 请你根据以上方案求出A、B两点间的距离． 20. 如图，已知在正方形中，，，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动，同时点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿正方形的边向终点运动．设点的运动时间为（秒），连接． （1）当点停止运动时，_______； （2）用含的代数式表示线段的长； （3）当的面积为40时，求的值； （4）直接写出当为何值时，以点及正方形的某两个顶点组成的三角形和全等． 21. 如图①是一个长为，宽为的长方形（），沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形，如图②所示． （1）观察图②，请你写出，，之间的等量关系：______； （2）根据（1）中的结论，若，，求； （3）如图③，正方形的边长为，，，长方形的面积是20，四边形和四边形都是正方形，求图中阴影部分的面积． 22. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $