精品解析：吉林省吉林市昌邑区2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

昌邑区2025-2026学年度上学期期中学业质量检测 八年级数学试题 本试卷包括三道大题，共22道小题．共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下图为常用玻璃仪器组成的几种实验装置，均可根据不同的实验需求在其中加入不同的液体或固体试剂，在如图的平面图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 5，6，10 B. 5，6，11 C. 3，4，8 D. 4，4，10 3. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，那么补充下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图1，用尺规作图的方法“过直线外一点作直线的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，下列说法正确的是（ ） A. 甲错乙对 B. 甲对乙错 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 6. 如图，在中，，，，D是中点，垂直平分，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，主要运用的几何原理是_________． 8. 如图,点O是△ABC内的一点，且点O到三边AB、BC、CA的距离相等，连接OB，OC，若∠A＝78°，则∠BOC的度数为________． 9. 如图，是蜡烛平面镜成像原理图，以桌面为轴，镜面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．若某时刻火焰顶尖点的坐标为，虚像对称点的坐标为，则的值为___________． 10. 晓晓在如图所示部分象棋棋盘（四个小正方形边长均相同）中画出了“马”从点可以行棋的路线和，则的度数为___________°． 11. 如图，，，，垂足为，若，那么的长为___________． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 如图，中，点在边上，若，且，求的度数． 13. 如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC是等边三角形． 14. 如图，已知，，，且B、C、D三点在同一直线上． 求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：， ________________， ________________． 在和中， （________）． ． 15. 常见的“角平分线+平行线→等腰三角形”模型有以下两种： （1）如图①，平分，，则； （2）如图②，，平分，则是等腰三角形． 16. 已知的三边长分别为． （1）若满足，试判断的形状； （2）若，且c为奇数，求的周长． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）请在坐标系中画出； （2）画，使它与关于轴对称； （3）画出的重心点． 18. 如图，在中，，，平分． （1）求的度数； （2）若于点D，，证明：是直角三角形． 19. 图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 20. 如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯高度相同（），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为6米的卷尺 测量步骤 ①测量线段的长度；②测量线段的长度 测量数据 米，米 （1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由； （2）猜想两个滑梯和所在直线的位置关系，并证明． 21. （1）【综合与探究】如图1，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．小明观察图形特征后，猜想线段，和之间存在的数量关系，请判断他的猜想是否正确，并说明理由； （2）【拓展与应用】如图2，将探究中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任何锐角或钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 22. 如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，设运动的时间为秒． （1）_____________，_____________（用含的代数式表示）； （2）当点在边上运动时， ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ （3）当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌邑区2025-2026学年度上学期期中学业质量检测 八年级数学试题 本试卷包括三道大题，共22道小题．共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下图为常用玻璃仪器组成的几种实验装置，均可根据不同的实验需求在其中加入不同的液体或固体试剂，在如图的平面图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知轴对称图形的定义是解题的关键． 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴； 根据轴对称图形的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A选项不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B选项不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C选项不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D选项是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 5，6，10 B. 5，6，11 C. 3，4，8 D. 4，4，10 【答案】A 【解析】 【分析】根据组成三角形的条件“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行逐项判断即可得出结论． 【详解】解：A、5+6＞10，则这三条线段可以组成三角形，符合题意； B、5+6＜11，则这三条线段不可以组成三角形，不符合题意； C、3+4＜8，则这三条线段不可以组成三角形，不符合题意； D、4+4＜10，则这三条线段不可以组成三角形，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查三角形三边关系的运用，掌握三角形的三边关系是解题关键． 3. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 4. 如图，已知，那么补充下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，根据，结合补充条件，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， 补充， ∴，故A不符合题意； ∵， 补充， ∴， ∴，故B不符合题意； ∵， 补充， ∴不能判定，全等，故C符合题意； ∵， 补充， ∴， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 5. 如图1，用尺规作图的方法“过直线外一点作直线的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，下列说法正确的是（ ） A. 甲错乙对 B. 甲对乙错 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本作图，平行线的判定定理，等腰三角形的性质；利用同位角相等，两直线平行可判断甲学作法正确；利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可判断乙同学的作法正确． 【详解】解：利用平行线的判定方法可判断甲同学的作图正确． 根据作图可得，则 利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可判断乙同学的作图正确； ∵ ∴， ∵是角平分线， ∴ 又∵ ∴ ∴ 故选：C． 6. 如图，在中，，，，D是中点，垂直平分，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】如图：连接，先根据等腰三角形的性质和三角形的面积可得，再根据垂直平分线的性质、轴对称的性质可得，进而说明的最小值为即可解答． 【详解】解：如图所示：连接． ∵，D是中点， ∴于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为6． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，确定的长度的最小值是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，主要运用的几何原理是_________． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性. 8. 如图,点O是△ABC内的一点，且点O到三边AB、BC、CA的距离相等，连接OB，OC，若∠A＝78°，则∠BOC的度数为________． 【答案】129° 【解析】 【分析】已知∠A，则可得∠ABC与∠ACB的和，再根据点O到三边AB、BC、CA的距离相等，可得点O是∠ABC和∠ACB的交点，进而可求出∠ABC与∠ACB的和的一半，再在△BOC中运用三角形内角和定理即可求出结果. 【详解】解：在△ABC中，∵∠A＝78°， ∴∠ABC+∠ACB=180°－∠A=180°－78°=102°， ∵点O到三边AB、BC、CA的距离相等， ∴点O是∠ABC和∠ACB的交点， ∴，， ∴. 故答案为129°. 【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形内角和定理以及整体代入的数学方法，难度不大，属于常考题型，熟练运用角平分线的性质和三角形内角和定理是解答的关键. 9. 如图，是蜡烛平面镜成像原理图，以桌面为轴，镜面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．若某时刻火焰顶尖点的坐标为，虚像对称点的坐标为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，求代数式的值，根据点和关于轴对称，得出，，代入进行计算即可，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：和关于轴对称， ，， ，， ， 故答案为：． 10. 晓晓在如图所示部分象棋棋盘（四个小正方形边长均相同）中画出了“马”从点可以行棋的路线和，则的度数为___________°． 【答案】180 【解析】 【分析】本题考查网格证明全等三角形，利用全等可证，则，即可求解. 【详解】解：如图； 由题得，四个小正方形边长均相同 ∴ ∴ ∴ 则 ∴ 故答案为：180. 11. 如图，，，，垂足为，若，那么的长为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，含直角三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键，过点作，根据角平分线的性质得到，由平行线的性质得，再利用含直角三角形的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， 故答案为：8． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 如图，中，点在边上，若，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和． 设，则，，根据三角形内角和列方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∴， ， ， ∵ 解得， 所以，． 13. 如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC是等边三角形． 【答案】 ∵DC＝DB， ∴∠B＝∠DCB＝30°， ∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝60°， 又∵AD＝DC， ∴△ADC是等边三角形 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质得到∠DCB=∠B=30°，求得∠ADC=60°，即可得到结论． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练性质定理是解题关键． 14. 如图，已知，，，且B、C、D三点在同一直线上． 求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：， ________________， ________________． 在和中， （________）． ． 【答案】；；；；； 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 由得出，再证明，即可得解． 【详解】证明：， ． ． 在和中， ， ． 15. 常见的“角平分线+平行线→等腰三角形”模型有以下两种： （1）如图①，平分，，则； （2）如图②，，平分，则是等腰三角形． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边． （1）由角平分线的定义求得，由平行线的性质求得，推出 ，再根据等角对等边即可证明； （2）由平行线的性质求得，，再由角平分线的定义求得，推出，即可证明是等腰三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知的三边长分别为． （1）若满足，试判断的形状； （2）若，且c为奇数，求的周长． 【答案】（1）等边三角形 （2）12 【解析】 【分析】（1）直接根据，得出，整理得，进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为奇数得出c的值，进而可得出结论． 本题考查的是等边三角形的判定与性质，三角形的三边关系，非负数的性质，熟知以上知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：是等边三角形，过程如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：∵的三边长分别为 ∴， 即 ∵c为奇数， ∴， ∴的周长． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）请在坐标系中画出； （2）画，使它与关于轴对称； （3）画出的重心点． 【答案】（1） 如下图，即为所作， （2） 如图，即为所作， （3） 如图，点即为所作 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，坐标与图形，三角形的重心，全等三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质，三角形三条中线的交点为三角形的重心，采用数形结合的思想是解此题的关键 （1）在坐标系中，找出三点，再顺次连接即可； （2）在坐标系中，找出三点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （3）根据三角形三条中线的交点为三角形的重心，找出点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由格点可知点为的中点，连接，则为的中线， 在上取一点使，连接交于点， 则， ， ， ， ， 则点为的中点，连接，交于点，点即为所求． 18. 如图，在中，，，平分． （1）求的度数； （2）若于点D，，证明：是直角三角形． 【答案】（1）44° （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，解题的关键是掌握垂直的定义、角平分线的性质和三角形的内角和定理等知识点． （1）先根据内角和定理求得，再由角平分线性质可得答案； （2）先根据知，，结合可得，即可得证． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． 【小问2详解】 略 19. 图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 【答案】（1） 是的平分线 理由如下： 在和中， ， ∴ ∴， ∴平分． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． （1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ∵平分，， ∴的高等于， ∵． ∴， ∵ ∴． 20. 如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯高度相同（），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为6米的卷尺 测量步骤 ①测量线段的长度；②测量线段的长度 测量数据 米，米 （1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由； （2）猜想两个滑梯和所在直线的位置关系，并证明． 【答案】（1） ． 理由：∵米，米 ∴米，， ∵米， ∴， 在和中， ∴ ∴，即和的长相等． （2） ． 理由：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，直角三角形的性质，关键是掌握全等三角行的判定以及性质． （1）证明，由全等三角形的性质得出； （2）延长交于点，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. （1）【综合与探究】如图1，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．小明观察图形特征后，猜想线段，和之间存在的数量关系，请判断他的猜想是否正确，并说明理由； （2）【拓展与应用】如图2，将探究中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任何锐角或钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】 解：（1）他的猜想正确．理由如下： 直线，直线， ． ， ， ， ． 在和中， ， ． （2）（1）中的结论依然成立证明如下： ， ． 在和中， ，． . 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质． （1）证明，由全等三角形的性质得出， ， 再根据线段的和差以及等量代换即可得出． （2）证明，由全等三角形的性质得出， ， 再根据线段的和差以及等量代换即可得出． 【详解】（1）略 （2）略 22. 如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，设运动的时间为秒． （1）_____________，_____________（用含的代数式表示）； （2）当点在边上运动时， ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ （3）当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时的值． 【答案】（1）， ； （2）①秒， ②能，当点在上时， ∵，， ∴ 即 解得：秒 ∴当运动的时间为8秒时，能否把的周长平分 （3）为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形 【解析】 【分析】（1）设运动的时间为秒，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，即可求解； （2）① 当点在边上运动时，是等腰三角形时，则 ，联立方程即可求解；②根据题意得，联立方程即可； （3）当点在边上运动时，分类讨论，①若是以为底边的等腰三角形； ②若是以为底边的等腰三角形；联立方程或中线即可求解. 【小问1详解】 解：∵设运动的时间为秒，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为1cm/s，点从点开始沿的方向运动，且速度为2cm/s，，两点同时出发， ∴ 故答案为：， ； 【小问2详解】 ①当点在边上运动时，是等腰三角形时，则 ∴ 解得：； ∴出发秒后； ②略 【小问3详解】 当点在边上运动时， ①若是以为底边的等腰三角形 则 ∴ ∴ 解得： ②若是以为底边的等腰三角形 则 解得： 综上所述：为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，动点问题的存在问题，掌握各个知识点的衔接性是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $